Корни неразрешимого уравнения

[terminator-II]

мат-ламер в сообщении #340426 писал(а):

Если допускаются бесконечные процессы, то можно за основу взять какой-нибудь численный метод нахождения корня, и плясать от него. Можно и в ряд его преобразовать.

+1

[alex1910]

maxal в сообщении #340378 писал(а):

alex1910 в сообщении #340362 писал(а):

Например, сумму какого-то ряда, члены которого - значения элементарных функций.

Уравнение

$$x^5 - x - a = 0$$

имеет корень

$$ x = -\sum_{k=0}^{\infty} \binom{5k}{k} \frac{a^{4k+1}}{4k+1}.$$

(отсюда)

Спасибо. Тему можно закрывать.

[arqady]

alex1910 в сообщении #340345 писал(а):

Возник (совершенно дурацкий) вопрос: кто-нибудь знает пример многочлена с целыми коэфициентами, неразрешимого в радикалах, такого, что его корень можно точно предъявить, используя какие-то "почти элементарные" функции?
Про решение уравнений пятой степени в модулярных формах знаю, хочется чего-то более наглядного-элементарного.

Может, такое Вас устроит:

$$x^5+x^4-12x^3-21x^2+x+5=0$$

Корни у него очень даже симпатичные и выражаются через элементарные функции.
Согласно результату terminator-II:

terminator-II в сообщении #340358 писал(а):

alex1910 в сообщении #340345 писал(а):

Возник (совершенно дурацкий) вопрос: кто-нибудь знает пример многочлена с целыми коэфициентами, неразрешимого в радикалах, такого, что его корень можно точно предъявить, используя какие-то "почти элементарные" функции?

нет нельзя. Это результаты Хованского. Если в радикалах уравнение неразрешимо, то оно неразрешимо и в элементарных функциях и в функциях выразимых квадратурами от элементарных

получаем, что корни моего уравнения выражаются в радикалах. Интересно было бы взглянуть, как?
Или terminator-II с А.Г.Хованским ошиблись?

[ShMaxG]

arqady
Выражаются. Но формулы такие длинные, что боюсь не поместятся на полях приведу, пожалуй только один из них. Обработую и могу выложить.

[arqady]

Здорово! Выложитe, пожалуйста (лучше здесь), а я бы проверил с одним из корней, которые у меня получились.

[math_lover]

ShMaxG в сообщении #340346 писал(а):

Не знаю, что за "почти элементарные функции"... Но может такой подойдет: $p(x)=8x^3-6x+1$? Его корни: $\[\sin {10^ \circ },\sin {50^ \circ },\sin \left( { - {{70}^ \circ }} \right)\]$.

А можно самому такие уравнения составлять? И как это делать?
Вот я одно знаю:

$\[{x^6} - 33{x^4} + 27{x^2} - 3 = 0\] $

$\[\left[ \begin{array}{l} {x_1} = \tan 20^\circ \\ {x_2} = \tan 40^\circ \\ {x_3} = \tan 80^\circ \\ \end{array} \right.\] $

Это конечно, только три корня...

[ShMaxG]

math_lover
Можно. Например -- посмотреть формулы $\[\sin 3x,\cos 3x,\operatorname{tg} 3x\]$ в терминах соответственно $\[\sin x,\cos x,\operatorname{tg} x\]$. Можно и от $4x$, $5x$.

Например в моем случае $\[\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\]$. Пусть, например, $\[x = \frac{\pi } {{18}}\] $, тогда $\[\sin 3x = \frac{1} {2}\]$ и, обозначая $\[\sin x = t\]$ приходим к соотв. уравнению.

[sergei1961]

Корни любого алгебраического уравнения выражаются в виде достаточно простого явного ряда. Это результат Меллина. Посмотрите:

post479325.html#p479325