Корни неразрешимого уравнения

[alex1910]

Возник (совершенно дурацкий) вопрос: кто-нибудь знает пример многочлена с целыми коэфициентами, неразрешимого в радикалах, такого, что его корень можно точно предъявить, используя какие-то "почти элементарные" функции?

Про решение уравнений пятой степени в модулярных формах знаю, хочется чего-то более наглядного-элементарного.

[ShMaxG]

Не знаю, что за "почти элементарные функции"... Но может такой подойдет: $p(x)=8x^3-6x+1$? Его корни: $\[\sin {10^ \circ },\sin {50^ \circ },\sin \left( { - {{70}^ \circ }} \right)\]$.

[alex1910]

нет, такой не подойдет.
Так как его корни выражаются через квадратные и кубические радикалы.

Естественно, пример не может быть менее 5-й степени.

И, конечно, он не должен быть тавтологией.
То есть функция G(f)=первый (в какой-то нумерации) корень f тоже не подходит.

[ShMaxG]

Над полем действительных чисел - не выражается (я думал неразрешимость - в этом смысле).
Ну тогда я не в курсе...

[alex1910]

ShMaxG в сообщении #340352 писал(а):

Над полем действительных чисел - не выражается (я думал неразрешимость - в этом смысле).
Ну тогда я не в курсе...

Тогда бы и x^2+1 подошел:)

Конечно нет - хочется несложный пример алгебраического числа, не выражаемого в радикалах.

[ShMaxG]

(Оффтоп)

alex1910 в http://dxdy.ru/post340354.html#p340354 писал(а):

Тогда бы и x^2+1 подошел:)

А у него нет действительных корней, а у того - есть.

[terminator-II]

alex1910 в сообщении #340345 писал(а):

Возник (совершенно дурацкий) вопрос: кто-нибудь знает пример многочлена с целыми коэфициентами, неразрешимого в радикалах, такого, что его корень можно точно предъявить, используя какие-то "почти элементарные" функции?

нет нельзя. Это результаты Хованского. Если в радикалах уравнение неразрешимо, то оно неразрешимо и в элементарных функциях и в функциях выразимых квадратурами от элементарных

[alex1910]

terminator-II в сообщении #340358 писал(а):

alex1910 в сообщении #340345 писал(а):

Возник (совершенно дурацкий) вопрос: кто-нибудь знает пример многочлена с целыми коэфициентами, неразрешимого в радикалах, такого, что его корень можно точно предъявить, используя какие-то "почти элементарные" функции?

нет нельзя. Это результаты Хованского. Если в радикалах уравнение неразрешимо, то оно неразрешимо и в элементарных функциях и в функциях выразимых квадратурами от элементарных

Ну я и не просил элементарные. Я просил "почти элементарные".

Например, сумму какого-то ряда, члены которого - значения элементарных функций. Как вариант - радикал Бринга, но хочется чего-то еще проще.

Или прямое задание числа в каком-то виде: десятичной записи, цепной дроби, еще как-то.

[maxal]

alex1910 в сообщении #340362 писал(а):

Например, сумму какого-то ряда, члены которого - значения элементарных функций.

Уравнение

$$x^5 - x - a = 0$$

имеет корень

$$ x = -\sum_{k=0}^{\infty} \binom{5k}{k} \frac{a^{4k+1}}{4k+1}.$$

(отсюда)

[terminator-II]

alex1910 в сообщении #340362 писал(а):

Ну я и не просил элементарные. Я просил "почти элементарные".

такого термина никто кроме Вас не знает

alex1910 в сообщении #340362 писал(а):

Например, сумму какого-то ряда, члены которого - значения элементарных функций

ну так сразу и сказали б. Поскольку решение уравнения это аналитическая функция коэффициентов, а любая аналитическая функция есть сумма ряда Тейлора, то любое уравнение решается в Ваших почти элементарных функциях. Если решите получать Филдса за это достижение, то меня можно не упоминать.

[arseniiv]

(Оффтоп)

terminator-II в сообщении #340404 писал(а):

Поскольку решение уравнения это аналитическая функция коэффициентов

Интересно! Можно посмотреть, где это доказывается?

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #340405 писал(а):

terminator-II в сообщении #340404 писал(а):

Поскольку решение уравнения это аналитическая функция коэффициентов

Интересно! Можно посмотреть, где это доказывается?

Ну простые корни -- тривиально доказываются. Кратные -- естественно, не аналитичны.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Какой-то я глупый...

[terminator-II]

ewert в сообщении #340408 писал(а):

Ну простые корни -- тривиально доказываются. Кратные -- естественно, не аналитичны.

кратные корни бывают при определенных значениях коэффициентов, а я говорю о корнях как о функциях коэффициентов уравнения эти функции являются аналитическими. Многозначными ,естесна

[мат-ламер]

Цитата:

Ну я и не просил элементарные. Я просил "почти элементарные".

Например, сумму какого-то ряда, члены которого - значения элементарных функций.

Если допускаются бесконечные процессы, то можно за основу взять какой-нибудь численный метод нахождения корня, и плясать от него. Можно и в ряд его преобразовать.