2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 12:08 
Возник (совершенно дурацкий) вопрос: кто-нибудь знает пример многочлена с целыми коэфициентами, неразрешимого в радикалах, такого, что его корень можно точно предъявить, используя какие-то "почти элементарные" функции?

Про решение уравнений пятой степени в модулярных формах знаю, хочется чего-то более наглядного-элементарного.

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 12:16 
Аватара пользователя
Не знаю, что за "почти элементарные функции"... Но может такой подойдет: $p(x)=8x^3-6x+1$? Его корни: $\[\sin {10^ \circ },\sin {50^ \circ },\sin \left( { - {{70}^ \circ }} \right)\]$.

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 12:37 
нет, такой не подойдет.
Так как его корни выражаются через квадратные и кубические радикалы.

Естественно, пример не может быть менее 5-й степени.

И, конечно, он не должен быть тавтологией.
То есть функция G(f)=первый (в какой-то нумерации) корень f тоже не подходит.

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 12:44 
Аватара пользователя
Над полем действительных чисел - не выражается (я думал неразрешимость - в этом смысле).
Ну тогда я не в курсе...

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 12:53 
ShMaxG в сообщении #340352 писал(а):
Над полем действительных чисел - не выражается (я думал неразрешимость - в этом смысле).
Ну тогда я не в курсе...


Тогда бы и x^2+1 подошел:)

Конечно нет - хочется несложный пример алгебраического числа, не выражаемого в радикалах.

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 12:55 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

alex1910 в http://dxdy.ru/post340354.html#p340354 писал(а):

Тогда бы и x^2+1 подошел:)


А у него нет действительных корней, а у того - есть.

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 13:47 
alex1910 в сообщении #340345 писал(а):
Возник (совершенно дурацкий) вопрос: кто-нибудь знает пример многочлена с целыми коэфициентами, неразрешимого в радикалах, такого, что его корень можно точно предъявить, используя какие-то "почти элементарные" функции?

нет нельзя. Это результаты Хованского. Если в радикалах уравнение неразрешимо, то оно неразрешимо и в элементарных функциях и в функциях выразимых квадратурами от элементарных

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 13:59 
terminator-II в сообщении #340358 писал(а):
alex1910 в сообщении #340345 писал(а):
Возник (совершенно дурацкий) вопрос: кто-нибудь знает пример многочлена с целыми коэфициентами, неразрешимого в радикалах, такого, что его корень можно точно предъявить, используя какие-то "почти элементарные" функции?

нет нельзя. Это результаты Хованского. Если в радикалах уравнение неразрешимо, то оно неразрешимо и в элементарных функциях и в функциях выразимых квадратурами от элементарных


Ну я и не просил элементарные. Я просил "почти элементарные".

Например, сумму какого-то ряда, члены которого - значения элементарных функций. Как вариант - радикал Бринга, но хочется чего-то еще проще.

Или прямое задание числа в каком-то виде: десятичной записи, цепной дроби, еще как-то.

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 15:39 
Аватара пользователя
alex1910 в сообщении #340362 писал(а):
Например, сумму какого-то ряда, члены которого - значения элементарных функций.


Уравнение
$$x^5 - x - a = 0$$
имеет корень
$$ x = -\sum_{k=0}^{\infty} \binom{5k}{k} \frac{a^{4k+1}}{4k+1}.$$

(отсюда)

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 18:50 
alex1910 в сообщении #340362 писал(а):
Ну я и не просил элементарные. Я просил "почти элементарные".

такого термина никто кроме Вас не знает
alex1910 в сообщении #340362 писал(а):
Например, сумму какого-то ряда, члены которого - значения элементарных функций

ну так сразу и сказали б. Поскольку решение уравнения это аналитическая функция коэффициентов, а любая аналитическая функция есть сумма ряда Тейлора, то любое уравнение решается в Ваших почти элементарных функциях. Если решите получать Филдса за это достижение, то меня можно не упоминать. :lol1:

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 19:00 

(Оффтоп)

terminator-II в сообщении #340404 писал(а):
Поскольку решение уравнения это аналитическая функция коэффициентов
Интересно! :-) Можно посмотреть, где это доказывается?

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 19:15 

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #340405 писал(а):
terminator-II в сообщении #340404 писал(а):
Поскольку решение уравнения это аналитическая функция коэффициентов
Интересно! :-) Можно посмотреть, где это доказывается?

Ну простые корни -- тривиально доказываются. Кратные -- естественно, не аналитичны.

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 19:19 

(Оффтоп)

Какой-то я глупый... :?

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 20:10 
ewert в сообщении #340408 писал(а):
Ну простые корни -- тривиально доказываются. Кратные -- естественно, не аналитичны.

кратные корни бывают при определенных значениях коэффициентов, а я говорю о корнях как о функциях коэффициентов уравнения эти функции являются аналитическими. Многозначными ,естесна

 
 
 
 Re: Корни неразрешимого уравнения
Сообщение22.07.2010, 20:21 
Аватара пользователя
Цитата:
Ну я и не просил элементарные. Я просил "почти элементарные".

Например, сумму какого-то ряда, члены которого - значения элементарных функций.
Если допускаются бесконечные процессы, то можно за основу взять какой-нибудь численный метод нахождения корня, и плясать от него. Можно и в ряд его преобразовать.

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group