1>0.(9)
Доказательства из википедии о 1=0.(9): 1. 0.(1) = 1/9, далее умножение левой и правой части на 9. Исходное выражение не доказано, так же как и 1=0.(9) Использование недоказанного выражения - логическая ошибка.
2. Манипуляция цифрами: 2.1. х = 0.999... 2.2. 10х = 9.999... 2.3. 10х - х = 9.999... - 0.999... 2.4. 9х = 9 2.5. х = 1 эти 5 уравнений действительно манипуляция, а не доказательство. Противоречие легко получить, подставив 2.5 в левую часть 2.2 10*1 = 10, а не 9.999...
Третье и последующие доказательства википедии, как и многие в этом форуме, основаны на теории исчисления бесконечно малых. Эта теория сама не имеет достаточных оснований для строгого доказательста. См. например Морис Клайн, Математика. Утрата определенности. М.2007. 640с.
1>0.(9) 1. Лексикографическое: нетрудно заметить, что использование обозначений 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 дают и должны давать уникальное число. Как только какая-нибудь "теория" покажет, например, что 5=7, там будет конец математике, а желающие "докажут", что у них семь пальцев на руке. В теории, содержащей противоречие можно доказать что угодно. Поскольку 1 и 0.(9) имеют разный вид, они должны обозначать разные числа. 1 > 0.9, 0.1 > 0.09, ... то 1>0.(9).
2. Пусть 1=0.(9). Тогда 1 - 0.(9) = 0 Но, по определению 0, 1 - 0 = 1, а не 0.(9) и 0.(9) + 0 = 0.(9), а не 1.
3. Теория бесконечно малых, как и предположение о бесконечной делимости конечного числа, или конечного отрезка, содержат внутреннее противоречие, как предложение "бесконечность имеет конец". Мы можем записать limXn = 1, n->inf, но не можем Xinf = 1, в теории мы договариваемся так считать, и этот договор работает в физике, но сторого говоря Xinf < 1. Рассмотрим конечный отрезок прямой с концами 0 и 1. Можно видеть, что любая точка внутри этого отрезка делит этот отрезок опять на конечные отрезки. Если мы рассматриваем бесконечную последовательность, стремящуюся к 1, и положим, что Xinf=1, то предыдущая число последовательности будет соответсвовать внутренней точки отрезка, делящей этот отрезок на конечные отрезки, которые могут быть опять разделены на бесконечное число частей, и следовательно, между Xinf и 1 находятся бесконечно много чисел.
|