2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17  След.
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение07.10.2009, 18:52 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
Очевидно, Sergey-Cop не знает понятия "предел".
Если все выражения написать правильно, как $x=\lim \limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}$, то "парадокс" пропадёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение07.10.2009, 19:42 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
А чем спор?
$\frac{1}{3}=\frac{3}{10}+\frac{1}{30}=\frac{33}{100}+\frac{1}{300}=\frac{333}{1000}+\frac{1}{3000}=...$ умножив любое из выражений на 3 получете 1. А для того чтобы это все не писать придумали такое число $0,(3)$,
$0,(3)*3=1$,
$0,(3)*3=0,(9)$,
$0,(9)=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение07.10.2009, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Мне больше всего понравилось вот это:
Someone в сообщении #249342 писал(а):
Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

Это означает, что для условия $1-x=10^{-n}$ при $n \to \infty$ существует $y$, такое что $1-y=10^{-(n+1)}$.


Опять та же ошибка: оба равенства невозможны, так как в правых частях стоят величины, зависящие от переменной $n$ (переменной, ибо написано: "при $n\to\infty$"), а в левых - не зависящие.
Замечательно. Обязательно где-нибудь еще покажу.


Показывайте где хотите, пусть люди посмеются. Не забудьте только написать, что $x=0{,}(9)$, а то не так смешно будет.

Кстати, давайте уж подставим в Ваше "равенство" вместо $x$ его определение: $1-0{,}(9)=10^{-n}$. Укажите, где в левой части стоит буковка $n$.

Вам же показывали, как правильно надо писать. Написали бы $1-x=\lim\limits_{n\to\infty}10^{-n}$, и ни один комар бы носа не подточил.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Смотрите внимательно:
$x=\sum\limits_{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}, \quad \textit{при} \quad n \to \infty $


Неверно. Поскольку по определению $x=0{,}(9)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}$, то, разумеется, $x\neq\sum\limits_{k=1}^n9\cdot 10^{-k}$ ни при каком $n$. Даже "при $n\to\infty$".

Правильная запись, разумеется, такая: $x=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n9\cdot 10^{-k}$. Это обычное определение суммы числового ряда как предела последовательности его частичных сумм.

Дальше там опять такая же белиберда идёт, я её пропущу, а то уже наскучило одну и ту же ошибку сто раз указывать.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Кроме того, в прошлом моем сообщении вот это решение было сделано «на ходу»:
$(1-q)S=b_1+0+0+0+…-b_1q^n, \quad n \to \infty $
$S=\frac{b_1}{1-q} - \frac{b_1q^n}{1-q}$ при $q=0.1$ и $b_1=0.9$
Следовательно
$S=1-0.1^n, \quad n \to \infty $


Собственно говоря, и это можно бы пропустить, ибо глупость та же самая: во всех трёх равенствах, содержащих сумму ряда $S$, слева стоит постоянная величина, а справа - выражение, зависящее от переменной $n$, поэтому равенство невозможно.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
К нему еще должно было быть следующее (еще не вся «ерунда» была написана).


Как, ещё какую-то ерунду можно сюда приписать? Посмотрим.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
По теореме 3 от Jnrty, ряды $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ мы преобразуем вот в такую разность сумм:
$ a_1 +\sum\limits_{k=2}^n (a_k-b_{k-1})- b_n, \quad n \to \infty$


О! А это какой из двух рядов Вы так преобразовали?

Вообще-то, в теореме 3 речь идёт о ряде $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k-b_k)$, а не о том выражении, которое Вы сочинили.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Либо то же самое запишем так: $ a_1 +\sum\limits_{k=2}^{n \to \infty} (a_k-b_{k-1})- b_n$


Оригинально! Шедевр! А я уж было думал, что у Вас фантазия иссякла.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Далее, смотрим на условие задачи:
ScarAngel в сообщении #239987 писал(а):
$S=b_1+b_1q+b_1q^2+...$
домножим обе части уравнения на $q$
$qS=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+...$
вычтем второе уравнение из первого
При таком умножении, сколько бы ни было слагаемых, но в новом ряду $qS$ их то же самое количество. Ни больше, ни меньше.


А какое их там "количество"? Сколько штук?

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Теорема 3 от Jnrty, «дает право» вычитать вот так и только так:
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k-b_k)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k-\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$
Заметьте, что сам Jnrty сделал иначе.
Заметьте, что Sergey-Cop именно так и вычитал с самого начала, строго по условию этой теоремы:
Sergey-Cop в сообщении #249226 писал(а):
$S- qS =(b_1- b_1q) +(b_1q- b_1q^2)+(b_1q^2- b_1q^3)+...$
$S- qS =b_1(1- q) +b_1q(1- q)+b_1q^2(1- q)+...$


И в результате ничего полезного Sergey-Cop не получил. Заметим, кстати, что Jnrty также строго следовал теореме 3. Это выяснится чуть далее.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Посмотрим, что делает Jnrty. И куда у него делась величина «$-b_1q^n, \quad n \to \infty $»?
Jnrty в сообщении #249251 писал(а):

2) ряд $S=(b_1+b_1q)+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots$ сходится по теореме 1

3) ряд $ qS=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots)$

4) ряд
$ S-qS=((b_1+b_1q)-b_1q)+(b_1q^2-b_1q^2)+(b_1q^3-b_1q^3)+(b_1q^4-b_1q^4)+\ldots)$ сходится …
Как мы видим, ряд 2) содержит на одно слагаемое больше


На одно больше? По сравнению с каким рядом? С 3)? А сколько членов в том и в другом ряде? В штуках?

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
(прим., расстановка скобок, выдавая два за одного, не приводит к уменьшению количества слагаемых)


Ой! Да Вы, оказывается, не знаете, зачем нужны скобки в вычислениях. А меня этому ещё в первом классе научили. Попробую объяснить, хотя, может быть, уже поздно.
Скобки нужны для изменения порядка вычислений. В первую очередь вычисляется выражение, заключённое в скобки, а потом этот результат используется в дальнейших вычислениях как одно число, совершенно независимо от того, сколько чисел было в скобках. Кстати, смысл теоремы 1 (она называется теоремой о скобках) в том и состоит: она разрешает объединить последовательные члены ряда скобками и рассматривать их сумму как один член. Поэтому Jnrty совершенно прав: первым членом ряда 2) является $(b_1+b_1q)$, и это один член ряда, независимо от того, что написано внутри скобок.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
пять против четырех.


Ах, вон Вы сколько насчитали... Это довольно распространённая глупость. Например, я пишу $a_1,a_2,\ldots,a_n$ и спрашиваю у студента: а сколько здесь членов последовательности написано? А он, ничтоже сумняшеся, отвечает: три!

А когда-то давным-давно был такой случай. На экзамене студент рассказывал мне определение предела последовательности. И вот я у него спрашиваю: а может ли вне окрестности, о которой Вы говорите, оказаться миллион членов последовательности? И он, ни на секунду не задумываясь, отвечает: конечно, нет; ведь тогда почти все члены последовательности окажутся вне этой окрестности.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
В условиях, когда:
ряд 3) $qS$ — это произведение ряда 2) $S$ на $q$.


А неправда. Ряд 3) не есть произведение ряда 2) на $q$. Ряд 3) есть произведение ряда 1) на $q$. Потому что в ряде 2) первый член есть $(b_1+b_1q)$, а в ряде 3) первым членом является $b_1q\neq(b_1+b_1q)q$.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Итак, вопрос: Куда делась величина «$-b_1q^n, \quad n \to \infty $»?


Никуда она не делась, находится на положенном месте:
\begin{multline*}((b_1+b_1q)-b_1q)+(b_1q^2-b_1q^2)+(b_1q^3-b_1q^3)+(b_1q^4-b_1q^4)+\ldots+\\ +(b_1q^{n-1}-b_1q^{n-1})+(b_1q^n-b_1q^n)+(b_1q^{n+1}-b_1q^{n+1})+\ldots\text{.}\end{multline*}

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Ответ: «не законно» добавлено лишнее слагаемое в ряд $S$, которое добавило величину «$+b_1q^n$» в разность рядов.


Совершенно бредовый "ответ". Никто никаких "лишних слагаемых" не добавлял, какие были в рядах 2) и 3), такие и остались в их разности.

Итак, в этом сообщении, как и в предыдущем, невозможно найти какое-нибудь правильное равенство или утверждение (не считая, конечно, того, что Вы процитировали; ну, ещё есть правильные равенства $q=0{,}1$ и $b_1=0{,}9$).

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение08.10.2009, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Позволю напомнить первоначальный вопрос
Pripyat в сообщении #228068 писал(а):
Здравствуйте, скажите, правда ли, что 0,(9)=1. И если есть, какие нибудь доказательства того что это так, или не так.


Чего здесь только не написали? До нестандартного анализа добрались! :D
Нашлись и несогласные с равенством $0,(9)=1$. Вот, к примеру, Sergey-Cop, оттолкнувшись от механического переноса позиционного сравнения с конечных десятичных дробей на бесконечные, начинает строить число, строго большее $0,(9)$ и строго меньшее $1$. А чего его строить, если уже сделано допущение, что $0,(9)<1$? Достаточно просто взять середину $\frac{0,(9)+1}{2}$. Вряд ли Sergey-Cop или топикстартер станет возражать против согласованности порядка с операциями, даже если не знает откуда эта согласованность берётся.

К чему я веду - уже прозрачно вырисовывается. В ответе на наивный вопрос надо ограничиться "наивными рассуждениями". Преждевременно и бесполезно читать лекцию, как определяются вещественные числа, как на них определяются операции, вводится отношение порядка и какие свойства отсюда вытекают. Надо просто выстроить последовательность переходов, против которой спрашивающему будет невозможно возражать, с одной стороны, но которую легко превратить в строгую, сопроводив рассуждения ссылками на соответствующие аксиомы или свойства - с другой.

Ну, попробую. Докажем от противного. Пусть $0,(9)<1$. (Вряд ли спрашивающий допускал возможность $0,(9)>1$ и совсем невероятно предположить, что он предполагал нелинейность порядка).

1) Тогда для любого натурального $n$ выполняются неравенства $0,\underbrace{9\dots 9}\limits_n\leqslant 0,(9)<1$. (С этим даже "позиционно сравнивающий" согласится и скорее всего справедливо заметит, что первое неравенство строгое)
2) Отсюда $0<1-0,(9)\leqslant 1-0,\underbrace{9\dots 9}\limits_n=0,\underbrace{0\dots 01}\limits_n=10^{-n}$

3) Переходя к обратным величинам получим неравенство $\frac{1}{1-0,(9)} \geqslant 10^n$, верное для всех натуральных $n$.

Здесь можно поставить точку и не доводить до противоречия с аксиомой Архимеда с помощью доказываемого индукцией неравенства $10^n>n$.
Ну а если всё-таки возникнет вопрос "где противоречие?", то прологарифмировать (!) :D

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение08.10.2009, 21:22 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):
Столько понаписано...


Ваще удивительно! Сказали бы, что по такому пустяковому поводу столько напишут --- не поверил бы.

-- Пт окт 09, 2009 00:25:28 --

По теме: $1 = 0.(9) + 0.(0)1$ :)

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение12.10.2009, 10:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Я так понимаю, что в слагаемом $0.(0)1$ единичка стоит на $\omega +1-$м месте? :D
А что на этом месте в первом слагаемом? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение12.10.2009, 16:00 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
bot в сообщении #251073 писал(а):
Я так понимаю, что в слагаемом $0.(0)1$ единичка стоит на $\omega +1-$м месте? :D
Хмм... Почему на $(\omega+1)$-м? Чем $\omega$-е место провинилось?

bot в сообщении #251073 писал(а):
А что на этом месте в первом слагаемом? :D
Наверное, $9$. Иначе равенство не получится.
Видать, в первом слагаемом $({\boldsymbol\cdot})$ трансфинитнее: $1=0.(9_n)_{n<\omega+1}+0.(0_n)_{n<\omega}1_\omega$.
Но тут иная бяка вылезает.
Поскольку у нас нету $\omega-1$, неясно, что делать при переполнении $\omega$-й позиции.
Чему, например, равна сумма $0.(1_n)_{n<\omega}9_\omega+0.(0_n)_{n<\omega}1_\omega$?

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение13.10.2009, 22:43 


22/11/07
98
как же после периода может стоять число???? если мы попытаемся найти его позицию например n, то окажется что она последняя, однако дробь бесконечная и единица однозначно сместится. мы её в числе просто не найдем, т.к. всегда на её место можно поставить 0 а её сдвигать и сдвигать.

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение13.10.2009, 22:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Pripyat в сообщении #251472 писал(а):
как же после периода может стоять число????

Никак. Ребяты просто развлекаются. Кто просто ради развлечения, а кто как может.

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение05.01.2010, 00:47 


05/01/10
7
0,(a) для одиннадцатиричной системы счисления (0,1,....,9,а) будет больше или равно 0,(9).

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение05.01.2010, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
sham в сообщении #277568 писал(а):
0,(a) для одиннадцатиричной системы счисления (0,1,....,9,а) будет больше или равно 0,(9).

Конечно больше (на $0{,}(1)_{11}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение05.01.2010, 01:35 


05/01/10
7
А значит ли это, что 0,(9) и 1 не равны. :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение05.01.2010, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
sham
Нет

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение05.01.2010, 13:44 


05/01/10
7
0,(a) находится между 0,(9) и 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: 0,(9)=1
Сообщение05.01.2010, 13:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
sham в сообщении #277636 писал(а):
0,(a) находится между 0,(9) и 1.

Не "между". $0,(a)=1$, в то время как $0,(9)={9\over10}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 255 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group