0,(9)=1

venco · 04/05/09 4582

Очевидно, Sergey-Cop не знает понятия "предел".
Если все выражения написать правильно, как $x=\lim \limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}$ , то "парадокс" пропадёт.

master · 12/08/09 ∞ 1284 Самодуровка

А чем спор?
$\frac{1}{3}=\frac{3}{10}+\frac{1}{30}=\frac{33}{100}+\frac{1}{300}=\frac{333}{1000}+\frac{1}{3000}=...$ умножив любое из выражений на 3 получете 1. А для того чтобы это все не писать придумали такое число $0,(3)$ ,
$0,(3)*3=1$ ,
$0,(3)*3=0,(9)$ ,
$0,(9)=1$

Someone · 23/07/05 17973 Москва

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Мне больше всего понравилось вот это:

Someone в сообщении #249342 писал(а):

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

…
Это означает, что для условия $1-x=10^{-n}$ при $n \to \infty$ существует $y$ , такое что $1-y=10^{-(n+1)}$ .

Опять та же ошибка: оба равенства невозможны, так как в правых частях стоят величины, зависящие от переменной $n$ (переменной, ибо написано: "при $n\to\infty$ "), а в левых - не зависящие.

Замечательно. Обязательно где-нибудь еще покажу.

Показывайте где хотите, пусть люди посмеются. Не забудьте только написать, что $x=0{,}(9)$ , а то не так смешно будет.

Кстати, давайте уж подставим в Ваше "равенство" вместо $x$ его определение: $1-0{,}(9)=10^{-n}$ . Укажите, где в левой части стоит буковка $n$ .

Вам же показывали, как правильно надо писать. Написали бы $1-x=\lim\limits_{n\to\infty}10^{-n}$ , и ни один комар бы носа не подточил.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Смотрите внимательно:
$x=\sum\limits_{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}, \quad \textit{при} \quad n \to \infty$

Неверно. Поскольку по определению $x=0{,}(9)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}$ , то, разумеется, $x\neq\sum\limits_{k=1}^n9\cdot 10^{-k}$ ни при каком $n$ . Даже "при $n\to\infty$ ".

Правильная запись, разумеется, такая: $x=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n9\cdot 10^{-k}$ . Это обычное определение суммы числового ряда как предела последовательности его частичных сумм.

Дальше там опять такая же белиберда идёт, я её пропущу, а то уже наскучило одну и ту же ошибку сто раз указывать.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Кроме того, в прошлом моем сообщении вот это решение было сделано «на ходу»:
$(1-q)S=b_1+0+0+0+…-b_1q^n, \quad n \to \infty$
$S=\frac{b_1}{1-q} - \frac{b_1q^n}{1-q}$ при $q=0.1$ и $b_1=0.9$
Следовательно
$S=1-0.1^n, \quad n \to \infty$

Собственно говоря, и это можно бы пропустить, ибо глупость та же самая: во всех трёх равенствах, содержащих сумму ряда $S$ , слева стоит постоянная величина, а справа - выражение, зависящее от переменной $n$ , поэтому равенство невозможно.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

К нему еще должно было быть следующее (еще не вся «ерунда» была написана).

Как, ещё какую-то ерунду можно сюда приписать? Посмотрим.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

По теореме 3 от Jnrty, ряды $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ мы преобразуем вот в такую разность сумм:
$a_1 +\sum\limits_{k=2}^n (a_k-b_{k-1})- b_n, \quad n \to \infty$

О! А это какой из двух рядов Вы так преобразовали?

Вообще-то, в теореме 3 речь идёт о ряде $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k-b_k)$ , а не о том выражении, которое Вы сочинили.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Либо то же самое запишем так: $a_1 +\sum\limits_{k=2}^{n \to \infty} (a_k-b_{k-1})- b_n$

Оригинально! Шедевр! А я уж было думал, что у Вас фантазия иссякла.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Далее, смотрим на условие задачи:

ScarAngel в сообщении #239987 писал(а):

$S=b_1+b_1q+b_1q^2+...$
домножим обе части уравнения на $q$
$qS=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+...$
вычтем второе уравнение из первого

При таком умножении, сколько бы ни было слагаемых, но в новом ряду $qS$ их то же самое количество. Ни больше, ни меньше.

А какое их там "количество"? Сколько штук?

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Теорема 3 от Jnrty, «дает право» вычитать вот так и только так:
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k-b_k)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k-\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$
Заметьте, что сам Jnrty сделал иначе.
Заметьте, что Sergey-Cop именно так и вычитал с самого начала, строго по условию этой теоремы:

Sergey-Cop в сообщении #249226 писал(а):

$S- qS =(b_1- b_1q) +(b_1q- b_1q^2)+(b_1q^2- b_1q^3)+...$
$S- qS =b_1(1- q) +b_1q(1- q)+b_1q^2(1- q)+...$

И в результате ничего полезного Sergey-Cop не получил. Заметим, кстати, что Jnrty также строго следовал теореме 3. Это выяснится чуть далее.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Посмотрим, что делает Jnrty. И куда у него делась величина « $-b_1q^n, \quad n \to \infty$ »?

Jnrty в сообщении #249251 писал(а):

…
2) ряд $S=(b_1+b_1q)+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots$ сходится по теореме 1
…
3) ряд $qS=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots)$
…
4) ряд
$S-qS=((b_1+b_1q)-b_1q)+(b_1q^2-b_1q^2)+(b_1q^3-b_1q^3)+(b_1q^4-b_1q^4)+\ldots)$ сходится …

Как мы видим, ряд 2) содержит на одно слагаемое больше

На одно больше? По сравнению с каким рядом? С 3)? А сколько членов в том и в другом ряде? В штуках?

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

(прим., расстановка скобок, выдавая два за одного, не приводит к уменьшению количества слагаемых)

Ой! Да Вы, оказывается, не знаете, зачем нужны скобки в вычислениях. А меня этому ещё в первом классе научили. Попробую объяснить, хотя, может быть, уже поздно.
Скобки нужны для изменения порядка вычислений. В первую очередь вычисляется выражение, заключённое в скобки, а потом этот результат используется в дальнейших вычислениях как одно число, совершенно независимо от того, сколько чисел было в скобках. Кстати, смысл теоремы 1 (она называется теоремой о скобках) в том и состоит: она разрешает объединить последовательные члены ряда скобками и рассматривать их сумму как один член. Поэтому Jnrty совершенно прав: первым членом ряда 2) является $(b_1+b_1q)$ , и это один член ряда, независимо от того, что написано внутри скобок.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

пять против четырех.

Ах, вон Вы сколько насчитали... Это довольно распространённая глупость. Например, я пишу $a_1,a_2,\ldots,a_n$ и спрашиваю у студента: а сколько здесь членов последовательности написано? А он, ничтоже сумняшеся, отвечает: три!

А когда-то давным-давно был такой случай. На экзамене студент рассказывал мне определение предела последовательности. И вот я у него спрашиваю: а может ли вне окрестности, о которой Вы говорите, оказаться миллион членов последовательности? И он, ни на секунду не задумываясь, отвечает: конечно, нет; ведь тогда почти все члены последовательности окажутся вне этой окрестности.

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

В условиях, когда:
ряд 3) $qS$ — это произведение ряда 2) $S$ на $q$ .

А неправда. Ряд 3) не есть произведение ряда 2) на $q$ . Ряд 3) есть произведение ряда 1) на $q$ . Потому что в ряде 2) первый член есть $(b_1+b_1q)$ , а в ряде 3) первым членом является $b_1q\neq(b_1+b_1q)q$ .

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Итак, вопрос: Куда делась величина « $-b_1q^n, \quad n \to \infty$ »?

Никуда она не делась, находится на положенном месте:
$\begin{multline*}((b_1+b_1q)-b_1q)+(b_1q^2-b_1q^2)+(b_1q^3-b_1q^3)+(b_1q^4-b_1q^4)+\ldots+\\ +(b_1q^{n-1}-b_1q^{n-1})+(b_1q^n-b_1q^n)+(b_1q^{n+1}-b_1q^{n+1})+\ldots\text{.}\end{multline*}$

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Ответ: «не законно» добавлено лишнее слагаемое в ряд $S$ , которое добавило величину « $+b_1q^n$ » в разность рядов.

Совершенно бредовый "ответ". Никто никаких "лишних слагаемых" не добавлял, какие были в рядах 2) и 3), такие и остались в их разности.

Итак, в этом сообщении, как и в предыдущем, невозможно найти какое-нибудь правильное равенство или утверждение (не считая, конечно, того, что Вы процитировали; ну, ещё есть правильные равенства $q=0{,}1$ и $b_1=0{,}9$ ).

bot · 21/12/05 5907 Новосибирск

Позволю напомнить первоначальный вопрос

Pripyat в сообщении #228068 писал(а):

Здравствуйте, скажите, правда ли, что 0,(9)=1. И если есть, какие нибудь доказательства того что это так, или не так.

Чего здесь только не написали? До нестандартного анализа добрались!

Нашлись и несогласные с равенством $0,(9)=1$ . Вот, к примеру, Sergey-Cop, оттолкнувшись от механического переноса позиционного сравнения с конечных десятичных дробей на бесконечные, начинает строить число, строго большее $0,(9)$ и строго меньшее $1$ . А чего его строить, если уже сделано допущение, что $0,(9)<1$ ? Достаточно просто взять середину $\frac{0,(9)+1}{2}$ . Вряд ли Sergey-Cop или топикстартер станет возражать против согласованности порядка с операциями, даже если не знает откуда эта согласованность берётся.

К чему я веду - уже прозрачно вырисовывается. В ответе на наивный вопрос надо ограничиться "наивными рассуждениями". Преждевременно и бесполезно читать лекцию, как определяются вещественные числа, как на них определяются операции, вводится отношение порядка и какие свойства отсюда вытекают. Надо просто выстроить последовательность переходов, против которой спрашивающему будет невозможно возражать, с одной стороны, но которую легко превратить в строгую, сопроводив рассуждения ссылками на соответствующие аксиомы или свойства - с другой.

Ну, попробую. Докажем от противного. Пусть $0,(9)<1$ . (Вряд ли спрашивающий допускал возможность $0,(9)>1$ и совсем невероятно предположить, что он предполагал нелинейность порядка).

1) Тогда для любого натурального $n$ выполняются неравенства $0,\underbrace{9\dots 9}\limits_n\leqslant 0,(9)<1$ . (С этим даже "позиционно сравнивающий" согласится и скорее всего справедливо заметит, что первое неравенство строгое)
2) Отсюда $0<1-0,(9)\leqslant 1-0,\underbrace{9\dots 9}\limits_n=0,\underbrace{0\dots 01}\limits_n=10^{-n}$

3) Переходя к обратным величинам получим неравенство $\frac{1}{1-0,(9)} \geqslant 10^n$ , верное для всех натуральных $n$ .

Здесь можно поставить точку и не доводить до противоречия с аксиомой Архимеда с помощью доказываемого индукцией неравенства $10^n>n$ .
Ну а если всё-таки возникнет вопрос "где противоречие?", то прологарифмировать (!)

Профессор Снэйп · 18/12/07 8774 Новосибирск

Sergey-Cop в сообщении #249876 писал(а):

Столько понаписано...

Ваще удивительно! Сказали бы, что по такому пустяковому поводу столько напишут --- не поверил бы.

-- Пт окт 09, 2009 00:25:28 --

По теме: $1 = 0.(9) + 0.(0)1$

bot · 21/12/05 5907 Новосибирск

Я так понимаю, что в слагаемом $0.(0)1$ единичка стоит на $\omega +1-$ м месте?

А что на этом месте в первом слагаемом?

AGu · 09/05/08 1155 Новосибирск

bot в сообщении #251073 писал(а):

Я так понимаю, что в слагаемом $0.(0)1$ единичка стоит на $\omega +1-$ м месте?

Хмм... Почему на $(\omega+1)$ -м? Чем $\omega$ -е место провинилось?

bot в сообщении #251073 писал(а):

А что на этом месте в первом слагаемом?

Наверное, $9$ . Иначе равенство не получится.
Видать, в первом слагаемом $({\boldsymbol\cdot})$ трансфинитнее: $1=0.(9_n)_{n<\omega+1}+0.(0_n)_{n<\omega}1_\omega$ .
Но тут иная бяка вылезает.
Поскольку у нас нету $\omega-1$ , неясно, что делать при переполнении $\omega$ -й позиции.
Чему, например, равна сумма $0.(1_n)_{n<\omega}9_\omega+0.(0_n)_{n<\omega}1_\omega$ ?

Pripyat · 22/11/07 93

как же после периода может стоять число???? если мы попытаемся найти его позицию например n, то окажется что она последняя, однако дробь бесконечная и единица однозначно сместится. мы её в числе просто не найдем, т.к. всегда на её место можно поставить 0 а её сдвигать и сдвигать.