0,(9)=1

[viktormn]

1>0.(9)

Доказательства из википедии о 1=0.(9):
1. 0.(1) = 1/9, далее умножение левой и правой части на 9.
Исходное выражение не доказано, так же как и 1=0.(9)
Использование недоказанного выражения - логическая ошибка.

2. Манипуляция цифрами:
2.1. х = 0.999...
2.2. 10х = 9.999...
2.3. 10х - х = 9.999... - 0.999...
2.4. 9х = 9
2.5. х = 1
эти 5 уравнений действительно манипуляция, а не доказательство.
Противоречие легко получить, подставив 2.5 в левую часть 2.2
10*1 = 10, а не 9.999...

Третье и последующие доказательства википедии, как и многие в этом форуме,
основаны на теории исчисления бесконечно малых. Эта теория сама не имеет
достаточных оснований для строгого доказательста. См. например
Морис Клайн, Математика. Утрата определенности. М.2007. 640с.

1>0.(9)
1. Лексикографическое: нетрудно заметить, что использование
обозначений 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 дают и должны давать уникальное число.
Как только какая-нибудь "теория" покажет, например, что 5=7, там будет
конец математике, а желающие "докажут", что у них семь пальцев на руке.
В теории, содержащей противоречие можно доказать что угодно.
Поскольку 1 и 0.(9) имеют разный вид, они должны обозначать разные числа.
1 > 0.9, 0.1 > 0.09, ... то 1>0.(9).

2. Пусть 1=0.(9). Тогда 1 - 0.(9) = 0
Но, по определению 0, 1 - 0 = 1, а не 0.(9)
и 0.(9) + 0 = 0.(9), а не 1.

3. Теория бесконечно малых, как и предположение о бесконечной делимости
конечного числа, или конечного отрезка, содержат внутреннее противоречие,
как предложение "бесконечность имеет конец".
Мы можем записать limXn = 1, n->inf, но не можем Xinf = 1,
в теории мы договариваемся так считать, и этот договор работает в физике,
но сторого говоря Xinf < 1.
Рассмотрим конечный отрезок прямой с концами 0 и 1. Можно видеть, что любая точка
внутри этого отрезка делит этот отрезок опять на конечные отрезки.
Если мы рассматриваем бесконечную последовательность, стремящуюся к 1,
и положим, что Xinf=1, то предыдущая число последовательности будет соответсвовать внутренней точки
отрезка, делящей этот отрезок на конечные отрезки, которые могут быть
опять разделены на бесконечное число частей, и следовательно, между Xinf и 1
находятся бесконечно много чисел.

[master]

$\frac{1}{3}=0,(3)$
$0,(3)*3=0,(9)$
$\frac{1}{3}*3=1$
$0,(9)=1$
хватит ерундой страдать

[AGu]

viktormn в сообщении #331310 писал(а):

Третье и последующие доказательства википедии, как и многие в этом форуме,
основаны на теории исчисления бесконечно малых. Эта теория сама не имеет
достаточных оснований для строгого доказательста. См. например
Морис Клайн, Математика. Утрата определенности. М.2007. 640с.

Во-первых, в статье «0,(9)» Википедии бесконечно малые упомянуты
лишь в классическом контексте (как стремящиеся к нулю последовательности).

Во-вторых, нестандартный анализ (включающий обоснование бесконечно малых)
является математической теорией с современным уровнем строгости.

В-третьих, Клайн подтверждает сказанное «во-вторых».

В-четвертых, данная тема математически ничтожна,
и я бы рекомендовал закрыть ее от греха подальше.

[viktormn]

Полностью согласен, что лучше закрыть тему,
тем более, что математики и математических аргументов здесь мало.
Даже master мастерски использует недоказанное выражение: 1/3=0.(3).
Обязуюсь больше не беспокоить ерундой форум.

По существу, по Клайну, в математике нет строгого определения строгости.
Нестандартный анализ пытается переопределить бесконечно малую величину,
чтобы избежать известные противоречия, но не доказывает их отсутствие.
При этом возникают свои проблемы, так как невозможно определить величину
одновременно отличную от нуля и равную нулю.

[arseniiv]

viktormn в сообщении #331603 писал(а):

Даже master мастерски использует недоказанное выражение: 1/3=0.(3).

В чём его недоказанность? (Я уверен, вы следите за темой.)

[viktormn]

Правильно: 1/3 > 0.(3), поскольку у "бесконечности нет конца" по определению.

Я не согласен с "математической ничтожностью" данной темы,
поскольку даже в ней видна нестрогость бесконечных выражений,
переполняющих математику и физику.

[venco]

viktormn в сообщении #331635 писал(а):

Правильно: 1/3 > 0.(3), поскольку у "бесконечности нет конца" по определению.

Два вопроса:

1. Чему равна дробь $\frac13$ в десятичной записи?

2. Что означает запись $0.(3)$?

[viktormn]

venco в сообщении #331638 писал(а):

viktormn в сообщении #331635 писал(а):

Правильно: 1/3 > 0.(3), поскольку у "бесконечности нет конца" по определению.

Два вопроса:

1. Чему равна дробь $\frac13$ в десятичной записи?

2. Что означает запись $0.(3)$?

Ответы:
1. 1/3 не имеет точного десятичного выражения.
2. 0.(3) = 0.333... или счетно-бесконечное множество троек.

[venco]

viktormn в сообщении #331641 писал(а):

venco в сообщении #331638 писал(а):

Два вопроса:

1. Чему равна дробь $\frac13$ в десятичной записи?

2. Что означает запись $0.(3)$?

Ответы:
1. 1/3 не имеет точного десятичного выражения.
2. 0.(3) = 0.333... или счетно-бесконечное множество троек.

Т.е. разница в определениях.

Общепринятое определение периодической десятичной записи:

2.
$0.(3) \equiv \lim \limits_{k\to \infty}0.(3)_k$

1.
Соответственно, любая рациональная дробь может быть записана в виде периодической дроби, например
$\frac13=0.(3)$

Общепринятые определения более удобные, т.к. позволяють больше записать.

[viktormn]

Поздравляю, обсуждаемая проблема спряталась от вас за угол
общепринятых определений.

[venco]

viktormn в сообщении #331658 писал(а):

Поздравляю, обсуждаемая проблема спряталась от вас за угол
общепринятых определений.

Какая проблема?

[Lyosha]

viktormn в сообщении #331310 писал(а):

2. Манипуляция цифрами:
2.1. х = 0.999...
2.2. 10х = 9.999...
2.3. 10х - х = 9.999... - 0.999...
2.4. 9х = 9
2.5. х = 1
эти 5 уравнений действительно манипуляция, а не доказательство.
Противоречие легко получить, подставив 2.5 в левую часть 2.2
10*1 = 10, а не 9.999...

В чём противоречие?Что 10=9,(9)?Тогда Вам надо доказать,что $10 \neq 9,(9)$.А Вы этого не сделали.И как справедливо замечено:

viktormn в сообщении #331310 писал(а):

Использование недоказанного выражения - логическая ошибка.

[viktormn]

Lyosha,
я привел три доказательства 1>0.(9), которых вы не заметили. Виноват, каюсь.

[venco]

viktormn в сообщении #331748 писал(а):

Lyosha,
я привел три доказательства 1>0.(9), которых вы не заметили.

Наверно, потому что это не доказательства.

1.
Необосновано.
$2^2$ и $4$ тоже по разному выглядят, тем не менее они равны.

2.
Нет противоречия.
Из $1=0.(9)$ вы получили, что $1=0.(9)$.

3.
Вы попытались ввести некую сущность Xinf, которой нет в математике, и у Вас это не получилось.
Всё.

[Lyosha]

viktormn в сообщении #331748 писал(а):

Lyosha,
я привел три доказательства 1>0.(9), которых вы не заметили.

То,что Вы привели доказательствами не является.И я докажу это.Клянусь Бахусом!Доказательство.Доказательство - это многа букаф,которые начинаются словом Доказательство и оканчиваются обозначением ч.т.д.Очевидно,что мои многа букаф доказательством являются.Далее,я возьму на себя нелёгкий труд и обобщу гениальную мысль

viktormn в сообщении #331310 писал(а):

Поскольку 1 и 0.(9) имеют разный вид, они должны обозначать разные числа.

:то,что имеет разный вид,должно обозначать что-то разное.В силу того,что мои многа букаф отличаются от Ваших многа букаф,и того,что мои многа букаф - доказательство,имеем:Ваши многа букаф не являются доказательством.ч.т.д.