0,(9)=1

[Garik2]

Самая правильная запись:

$0,(9)=lim_{i\rightarrow \infty }(1-{10}^{-i})=1$

[AGu]

Зачем из классической, четкой и совершенно элементарной мухи раздувать какого-то альтернативного, туманного и замороченного слона? Я с Зоричем не сверялся и сужу лишь по цитате, но уже из нее ясно (возможно, с точностью до незначительных деталей), что в данном конкретном случае под «символами» понимаются бесконечные последовательности $(a_n)_{n\in\mathbb Z\cap[p,\infty)}$ цифр $a_n$ (т.е. элементов множества $\{0,\dots,q-1\}$), где $p\le0$, причем не все такие последовательности, а лишь те, которые не устанавливаются на $q-1$ (т.е. на $9$ в случае $q=10$). Вот и все дела. При $q=10$ последовательность 0,(9) = $(0,9,9,9,\dots)$ с нулем в нулевой позиции не попадает во множество рассматриваемых символов, и в этом смысле этой последовательности «не отвечает никакое вещественное число». Все это, разумеется, относится к конкретному рассматриваемому определению (одному из кучи возможных).

[Garik2]

Если не отвечает никакое вещественное число, то оно что, - комплексное?. Я середины не знаю.

[Vallav]

AGu

Цитата:

под «символами» понимаются бесконечные последовательности

Если строкой 0,(9) обозначена последовательность, тогда 0,(9) не равно 1.
Последовательность не может равняться числу.
Или символом 1 у Вас обозначена последовательность?

[AGu]

Ребята, есть ли смысл спорить об определениях (коль скоро они корректны)? Возможно, Вы не заметили, но ellipse задал вопрос, касающийся конкретных определений, приведенных в конкретной книге Зорича, и я попытался ответить на его вопрос в контексте этих конкретных определений.

(Я сейчас заглянул в Зорича и понял, что не совсем точно угадал определения по цитате: у Зорича цифры в последовательности нумеруются с убыванием индексов. Но сути это не меняет.)

Garik2 в сообщении #233560 писал(а):

Если не отвечает никакое вещественное число, то оно что, - комплексное?. Я середины не знаю.

Повторяю: согласно определению Зорича последовательности $(0,9,9,9,\dots)$ не отвечает никакое вещественное число — просто по определению. «Не отвечает» — в том смысле, что не существует вещественного числа, которое по приведенному в Зориче алгоритму давало бы такую последовательность.

Vallav в сообщении #233569 писал(а):

AGu

Цитата:

под «символами» понимаются бесконечные последовательности

Если строкой 0,(9) обозначена последовательность, тогда 0,(9) не равно 1.
Последовательность не может равняться числу.
Или символом 1 у Вас обозначена последовательность?

В данном случае речь не идет о равенстве последовательности и числа.

На всякий случай — еще раз. По инициативе ellipse началось обсуждение позиционной системы, описанной в книге Зорича, причем в рамках предложенных там же сопутствующих определений. Это — хоть и распространенный, но не единственный подход к описанию позиционной системы. При других подходах вполне может оказаться, что записи 0,(9) отвечает какое-либо число, которое может оказаться (а может и не оказаться — мало ли) равным $1$.

[ScarAngel]

Pripyat в сообщении #228068 писал(а):

Здравствуйте, скажите, правда ли, что 0,(9)=1. И если есть, какие нибудь доказательства того что это так, или не так. Я читал про то, что "Если 1/3=0,(3), то 1=1/3*3 = 0,(3)*3=0,(9). Мне показалось это достаточно убедительным, но некоторым моим собеседникам нет, поэтому хочу докопаться до истины. Заранее спасибо.

$0,(9)=0,999...=0,9+0,09+0,009+...=\frac {0,9} {1-0,1}=1$
P.S.:Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
$S=b_1+b_1q+b_1q^2+...$
домножим обе части уравнения на $q$
$qS=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+...$
вычтем второе уравнение из первого
$S-qS=b_1$
откуда
$S=\frac {b_1} {1-q}$

[Sergey-Cop]

ScarAngel в сообщении #239987 писал(а):

$S=b_1+b_1q+b_1q^2+...$
домножим обе части уравнения на $q$
$qS=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+...$
вычтем второе уравнение из первого

Ну, да. Помножить, посолить-поперчить, мозги запудрить, вычесть и вернуться на исходную:
$S- qS =(b_1- b_1q) +(b_1q- b_1q^2)+(b_1q^2- b_1q^3)+...$
$S- qS =b_1(1- q) +b_1q(1- q)+b_1q^2(1- q)+...$
$S(1- q) =b_1(1- q) +b_1q(1- q)+b_1q^2(1- q)+...$
$S=b_1+b_1q+b_1q^2+...$

Получается, от чего ушли, к тому и вернулись.

[Maslov]

Sergey-Cop в сообщении #249226 писал(а):

Получается, от чего ушли, к тому и вернулись.

Это Вы вернулись к тому, от чего ушли. А ScarAngel пришел совсем к другому, а именно - к формуле для суммы геометрической прогрессии.

[Sergey-Cop]

Maslov в сообщении #249229 писал(а):

Sergey-Cop в сообщении #249226 писал(а):

Получается, от чего ушли, к тому и вернулись.

Это Вы вернулись к тому, от чего ушли. А ScarAngel пришел совсем к другому..

Шутите, наверное.

Покажите, как он пришел к чему-то иному.

[Maslov]

Sergey-Cop в сообщении #249231 писал(а):

Покажите, как он пришел к чему-то иному.

Там же всё написано. При вычитании второго из первого все члены в правой части, содержащие степени $q$, сокращаются. Остаётся только $b_1$.

[Sergey-Cop]

Maslov в сообщении #249233 писал(а):

Sergey-Cop в сообщении #249231 писал(а):

Покажите, как он пришел к чему-то иному.

Там же всё написано. При вычитании второго из первого все члены в правой части, содержащие степени $q$, сокращаются. Остаётся только $b_1$.

Там ничего не написано, покажите подробно.

Во-вторых, кто дал вам право так сокращать?


Анекдот:
Блондинку принимают на работу в бухгалтерию, дают ей задание:
— Вот вам пачка денег. Пересчитайте ее три раза.
Она сделала, приходит с результатом:
— Я пересчитала десять раз.
— Молодец, вы добросовестный сотрудник.
— Вот вам десять результатов.


Одним способом получилось одно, другим другое…
Это вам что, математика, или бухгалтерия для блондинок?

-------

Хорошо, ставим скобки иначе:
$S- qS =b_1+(- b_1q +b_1q)+(- b_1q^2+b_1q^2)- b_1q^3+...$
$S- qS =b_1- b_1q^3+...$

Ну вот, расширяем до бесконечности, и получаем:
$S- qS =b_1- b_1q^n+..., \quad n \to \infty $

Вопросы есть?

-- 05 окт 2009, 17:27 --

Нет вопросов.
У меня же есть вопрос: Куда ScarAngel дел величину "$-b_1q^n, \quad n \to \infty $"?
Ответ: Профукал, игнорируя подробности решения.

[Jnrty]

Sergey-Cop в сообщении #249238 писал(а):

Maslov в сообщении #249233 писал(а):

Sergey-Cop в сообщении #249231 писал(а):

Покажите, как он пришел к чему-то иному.

Там же всё написано. При вычитании второго из первого все члены в правой части, содержащие степени $q$, сокращаются. Остаётся только $b_1$.

Там ничего не написано, покажите подробно.

Во-вторых, кто дал вам право так сокращать?

Разжёвываю.

Теорема 1. Если ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ сходится, то ряд, полученный из него произвольной группировкой членов, также сходится и имеет ту же сумму.
Теорема 2. Если ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ сходится, $c$ - любое число, то ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}ca_k$ тоже сходится и выполняется равенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}ca_k=c\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$.
Теорема 3. Если ряды $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ сходятся, то ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k-b_k)$ тоже сходится и выполняется равенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k-b_k)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k-\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$.

Доказательства смотрите в учебнике по математическому анализу.

Имеем:
1) ряд $S=b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots$ сходится (геометрическая прогрессия со знаменателем $q=0.1$;
2) ряд $S=(b_1+b_1q)+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots$ сходится по теореме 1 и имеет ту же сумму $S$ (поэтому я сразу написал в левой части $S$);
3) ряд $qS=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots$ сходится по теореме 2 и его сумма равна $qS$ (поэтому я сразу написал в левой части $qS$);
4) ряд $S-qS=((b_1+b_1q)-b_1q)+(b_1q^2-b_1q^2)+(b_1q^3-b_1q^3)+(b_1q^4-b_1q^4)+\ldots)$ сходится по теореме 3 и его сумма равна $S-qS$ (поэтому я сразу написал в левой части $S-qS$);
5) равенство в предыдущем пункте имеет вид $(1-q)S=b_1+0+0+0+\ldots$, то есть, $(1-q)S=b_1$ (докажите это сами) и $1-q=0.9\neq 0$, поэтому $S=\frac{b_1}{1-q}$.

Jnrty:

Теперь дела модераторские.
Sergey-Cop, у меня большое желание Вас заблокировать насовсем. Если Вы опять будете идиотствовать, я так и сделаю. Предлагаю Вам выбрать формулировку из двух возможных:
1) за злокачественное невежество;
2) за троллинг.
Случаи блокировки и за то, и за другое у нас были. И не один.

[Sergey-Cop]

Jnrty в сообщении #249251 писал(а):

Разжёвываю.
…
Теорема 3. Если ряды $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ сходятся, то ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k-b_k)$ тоже сходится и выполняется равенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k-b_k)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k-\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$.


Имеем:
…
5) равенство в предыдущем пункте имеет вид $(1-q)S=b_1+0+0+0+\ldots$, то есть, $(1-q)S=b_1$ (докажите это сами) и $1-q=0.9\neq 0$, поэтому $S=\frac{b_1}{1-q}$.

Видимо, спрашивать, как человек решает задачу — это преступление. Ну, давайте, тогда, расстреляйте того, кто имеет иную точку зрения.


А пока что, я покажу, как я решаю.

По теореме 3, у нас есть ряды $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$

А фактически мы имеем то, что вторая сумма $\sum\limits_{m=k-1}^{\infty}b_m$ иная, нежели по теореме.

А в итоге у нас сумма такова: $a_1 +\sum\limits_{k=2}^{\infty}(a_k-b_{k-1})- b_k $

Так, что лично у меня теорема 3 здесь не при делах и «5) равенство в предыдущем пункте имеет вид»
$(1-q)S=b_1+0+0+0+…-b_1q^n, \quad n \to \infty $
$S=\frac{b_1}{1-q} - \frac{b_1q^n}{1-q}$

$q=0.1$ и $b_1=0.9$
Следовательно
$S=1-0.1^n, \quad n \to \infty $

Так что как оно было:

Garik2 в сообщении #233550 писал(а):

Самая правильная запись:

$0,(9)=lim_{i\rightarrow \infty }(1-{10}^{-i})$

так к этому же и вернулось.
$0,(9)=1-10^{-n}, \quad n \to \infty $

Так что, моя позиция иная, чем у Jnrty: теорема 3 здесь неуместна. Она не позволяет делать то, что сделал Jnrty при решении. За это, наверное, надо заблокировать его оппонента…


-------

Кроме того, здесь дружно хотели получить «указать число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1». Я его получил, и попробуйте доказать, что это не так. Только без хамства, по типу Jnrty, кто против, тот «злокачественное невежество».

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

…
Это означает, что для условия $1-x=10^{-n}$ при $n \to \infty$ существует $y$, такое что $1-y=10^{-(n+1)}$.
…
$x = 0,(9)$
$y=0,9+0,1x$
И это самое $y$ расположено …между значением $x = 0,(9)$ и единицей.
$x<y<1$

Подрбней:
$\left\{ \begin{array}{l} 1-x=10^{-n}\\ y=0,9+0,1x \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=0,9+0,1(1-10^{-n}) \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=0,9+0,1-0,1 \cdot 10^{-n} \end{array} \right \Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=1- 10^{-(n+1)} \end{array} \right$

Если этого мало, то еще добавим:
$\left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=1- 10^{-(n+1)}\\ z=0,9+0,1y \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=1- 10^{-(n+1)}\\ z=1- 10^{-(n+2)} \end{array} \right$
Следовательно:
$x<y<z \quad \textit{при}\quad z \to1$
Следовательно, $x<y<1$, что и требовалось доказать.

[Someone]

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

А пока что, я покажу, как я решаю.

Посмотрим.

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

По теореме 3, у нас есть ряды $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$

А фактически мы имеем то, что вторая сумма $\sum\limits_{m=k-1}^{\infty}b_m$ иная, нежели по теореме.

Неверно. Такой "второй суммы", как Вы написали, у нас нигде нет. А в теореме 3 ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ может быть совершенно произвольным сходящимся рядом. Он не может быть "иным", даже если вылезти из кожи вон. В той ситуации, в которой теорему 3 применял Jnrty, ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ есть ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_1q^k=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots$.

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

А в итоге у нас сумма такова: $a_1 +\sum\limits_{k=2}^{\infty}(a_k-b_{k-1})- b_k $

Неверно, такой "суммы" у нас нигде нет.

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

Так, что лично у меня теорема 3 здесь не при делах и «5) равенство в предыдущем пункте имеет вид»
$(1-q)S=b_1+0+0+0+…-b_1q^n, \quad n \to \infty $
$S=\frac{b_1}{1-q} - \frac{b_1q^n}{1-q}$

Напомню, что величина $S$ была определена как сумма ряда $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_1q^{k-1}$. В результате оба процитированных равенства неверны: слева стоит величина, не зависящая от переменной $n$, справа - явно зависящая. То, что $n$ - переменная, следует из приписки "$n\to\infty$".

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

$q=0.1$ и $b_1=0.9$
Следовательно
$S=1-0.1^n, \quad n \to \infty $

Та же история, так что это равенство также неверное.

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

Так что как оно было:

Garik2 в сообщении #233550 писал(а):

Самая правильная запись:

$0,(9)=lim_{i\rightarrow \infty }(1-{10}^{-i})$

так к этому же и вернулось.
$0,(9)=1-10^{-n}, \quad n \to \infty $

Garik2 написал правильную формулу. Вы - неправильную.

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

Так что, моя позиция иная, чем у Jnrty: теорема 3 здесь неуместна. Она не позволяет делать то, что сделал Jnrty при решении.

Теорема 3 позволяет аккуратно оформить доказательство формулы суммы геометрической прогрессии. Вы же понаписали кучу ерунды.

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

За это, наверное, надо заблокировать его оппонента…

Это интересная мысль...

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

Кроме того, здесь дружно хотели получить «указать число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1». Я его получил, и попробуйте доказать, что это не так. Только без хамства, по типу Jnrty, кто против, тот «злокачественное невежество».

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

…
Это означает, что для условия $1-x=10^{-n}$ при $n \to \infty$ существует $y$, такое что $1-y=10^{-(n+1)}$.

Опять та же ошибка: оба равенства невозможны, так как в правых частях стоят величины, зависящие от переменной $n$ (переменной, ибо написано: "при $n\to\infty$"), а в левых - не зависящие. То, что $x$ и $y$ - постоянные, подчёркивается следующими равенствами:

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

$x = 0,(9)$
$y=0,9+0,1x$

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

И это самое $y$ расположено …между значением $x = 0,(9)$ и единицей.
$x<y<1$

Неверно, поскольку $x=1$ и $y=1$.

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

Подрбней:
$\left\{ \begin{array}{l} 1-x=10^{-n}\\ y=0,9+0,1x \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=0,9+0,1(1-10^{-n}) \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=0,9+0,1-0,1 \cdot 10^{-n} \end{array} \right \Rightarrow$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=1- 10^{-(n+1)} \end{array} \right$

Если этого мало, то еще добавим:
$\left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=1- 10^{-(n+1)}\\ z=0,9+0,1y \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1-10^{-n}\\ y=1- 10^{-(n+1)}\\ z=1- 10^{-(n+2)} \end{array} \right$

Снова куча невозможных равенств. Поскольку $x$ и $y$ чуть выше были определены равенствами $x = 0{,}(9)$ и $y=0{,}9+0{,}1x$, а теперь ещё появилось и $z=0{,}9+0{,}1y$, то $x=y=z=1$, поэтому $x>1-10^{-n}$, $y>1-10^{-(n+1)}$, $z>1-10^{-(n+2)}$.

Даже если мы используем только определение $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}$ и делаем вид, что "не знаем", что $x=1$, всё равно из свойств сходящихся рядов следует, что

$$y=0{,}9+0{,}1x=9\cdot 10^{-1}+10^{-1}\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}=9\cdot 10^{-1}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-(k+1)}=9\cdot 10^{-1}+\sum\limits_{k=2}^{\infty}9\cdot 10^{-k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}=x$$

и, аналогично, $z=y=x$.
Далее,

$$x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}=\sum\limits_{k=1}^n9\cdot 10^{-k}+\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}=1-10^{-n}+\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}>1-10^{-n}$$

и, аналогично, $y>1-10^{-(n+1)}$, $z>1-10^{-(n+2)}$.

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

Следовательно:
$x<y<z \quad \textit{при}\quad z \to1$
Следовательно, $x<y<1$, что и требовалось доказать.

И это тоже неверно.

Вообще, это нужно суметь: столько написать и ухитриться не сочинить ни одного правильного равенства (за исключением тех, которые являются определениями $x,y,z$) и ни одного правильного утверждения.

[Sergey-Cop]

Столько понаписано, а понять можно только одно:

Someone в сообщении #249342 писал(а):

Неверно, поскольку $x=1$ и $y=1$.

И баста.

Мне больше всего понравилось вот это:

Someone в сообщении #249342 писал(а):

Sergey-Cop в сообщении #249303 писал(а):

… здесь дружно хотели получить «указать число строго большее, чем 0,(9), но строго меньшее, чем 1»…

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

…
Это означает, что для условия $1-x=10^{-n}$ при $n \to \infty$ существует $y$, такое что $1-y=10^{-(n+1)}$.

Опять та же ошибка: оба равенства невозможны, так как в правых частях стоят величины, зависящие от переменной $n$ (переменной, ибо написано: "при $n\to\infty$"), а в левых - не зависящие.

Замечательно. Обязательно где-нибудь еще покажу.


Но один внятный аргумент всё-таки нашел:

Someone в сообщении #249342 писал(а):

Даже если мы используем только определение $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}$ и делаем вид, что "не знаем", что $x=1$, всё равно из свойств сходящихся рядов следует, что

$$y=0{,}9+0{,}1x=9\cdot 10^{-1}+10^{-1}\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}=… =\sum\limits_{k=1}^{\infty}9\cdot 10^{-k}=$$

…

Именно так и нужно: делать вид, что не знаем, а затем решать. Смотрите внимательно:
$x=\sum\limits_{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}, \quad \textit{при} \quad n \to \infty $
следовательно
$y=0{,}9+0{,}1x=9\cdot 10^{-1}+10^{-1}\sum\limits_{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}=9\cdot 10^{-1}+\sum\limits_{k=1}^{n}9\cdot 10^{-(k+1)}=9\cdot 10^{-1}+\sum\limits_{k=2}^{n+1}9\cdot 10^{-k}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}9\cdot 10^{-k}$
Аналогично $z=0{,}9+0{,}1y=\sum\limits_{k=1}^{n+2}9\cdot 10^{-k}$

Следовательно,
$y=\sum\limits_{k=1}^{n+1}9\cdot 10^{-k}=\sum\limits_{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}+9\cdot 10^{-(n+1)}$ при $x=\sum\limits_{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}$,
тогда
$y=x+9\cdot 10^{-(n+1)}$ Что и требовалось доказать.

—————————


Кроме того, в прошлом моем сообщении вот это решение было сделано «на ходу»:
$(1-q)S=b_1+0+0+0+…-b_1q^n, \quad n \to \infty $
$S=\frac{b_1}{1-q} - \frac{b_1q^n}{1-q}$ при $q=0.1$ и $b_1=0.9$
Следовательно
$S=1-0.1^n, \quad n \to \infty $

К нему еще должно было быть следующее (еще не вся «ерунда» была написана).

Добавление к предыдущему.

По теореме 3 от Jnrty, ряды $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ мы преобразуем вот в такую разность сумм:
$ a_1 +\sum\limits_{k=2}^n (a_k-b_{k-1})- b_n, \quad n \to \infty$

Либо то же самое запишем так: $ a_1 +\sum\limits_{k=2}^{n \to \infty} (a_k-b_{k-1})- b_n$

Далее, смотрим на условие задачи:

ScarAngel в сообщении #239987 писал(а):

$S=b_1+b_1q+b_1q^2+...$
домножим обе части уравнения на $q$
$qS=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+...$
вычтем второе уравнение из первого

При таком умножении, сколько бы ни было слагаемых, но в новом ряду $qS$ их то же самое количество. Ни больше, ни меньше.


Теорема 3 от Jnrty, «дает право» вычитать вот так и только так:
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k-b_k)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k-\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$
Заметьте, что сам Jnrty сделал иначе.
Заметьте, что Sergey-Cop именно так и вычитал с самого начала, строго по условию этой теоремы:

Sergey-Cop в сообщении #249226 писал(а):

$S- qS =(b_1- b_1q) +(b_1q- b_1q^2)+(b_1q^2- b_1q^3)+...$
$S- qS =b_1(1- q) +b_1q(1- q)+b_1q^2(1- q)+...$

Итак, решение:
1) Вычитание двух рядов,
2) имеющих одинаковое количество слагаемых,
3) и смещая их индексы,
должно выполняться по формуле $ a_1 +\sum\limits_{k=2}^{n \to \infty} (a_k-b_{k-1})- b_n$


Посмотрим, что делает Jnrty. И куда у него делась величина «$-b_1q^n, \quad n \to \infty $»?

Jnrty в сообщении #249251 писал(а):

…
2) ряд $S=(b_1+b_1q)+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots$ сходится по теореме 1
…
3) ряд $ qS=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4+\ldots)$
…
4) ряд
$ S-qS=((b_1+b_1q)-b_1q)+(b_1q^2-b_1q^2)+(b_1q^3-b_1q^3)+(b_1q^4-b_1q^4)+\ldots)$ сходится …

Как мы видим, ряд 2) содержит на одно слагаемое больше (прим., расстановка скобок, выдавая два за одного, не приводит к уменьшению количества слагаемых), пять против четырех. В таком виде и складывается…
В условиях, когда:
ряд 3) $qS$ — это произведение ряда 2) $S$ на $q$. Что влечет правило:
Для каждого слагаемого $ \forall b_1q^k $ из ряда $S$ существует слагаемое $ \exists b_1q^{k+1}$ в ряде $qS$.


Итак, вопрос: Куда делась величина «$-b_1q^n, \quad n \to \infty $»?
Ответ: «не законно» добавлено лишнее слагаемое в ряд $S$, которое добавило величину «$+b_1q^n$» в разность рядов.