С4

[Sasha2]

А чем Вас это неравенство смутило, уважаемый ewert,
Единственное, что нужно еще добавить решения системы $|x-1|=|x+3|=|x-a|$ и выбирать из указанных точек.
В последнем случае, рассмотрению следует только подвергнуть случаи $a=-3$ и $a=1$

[paha]

ewert в сообщении #325573 писал(а):

мне кажется тут нечего делать кроме как показывать в какой точке достигается минимум...

Не обязательно: достаточно потребовать выполнения неравнства в точках $a$, или $-3$, или $1$

Это ровно то, что я сказал:)) в этих точках минимум

при разных $a$ эти три точки и есть

[Casaubon]

ewert в сообщении #325632 писал(а):

Это -- те три точки, в которых график изламывается; естественно предположить, что минимум достигается обязательно в одной из них (ну или не в одной, не важно -- но из них).

В данном случае это только потому, что подобраны хорошо коэффициенты. Если бы у модуля была не 4, а меньше --- такое утверждение не имеело бы место. Самый противный класс задач --- со специально подобранными цифрами. Непонятно, как учить школьника --- либо увидеть особенности данных конкретных циферок, либо сразу решать в лоб, т.е. раскрывать модули и считать варианты.
Кстати, вариантов не 12, а 6 --- задача имеет симметрию. Так как спрашивается лишь значение функции, а не в какой точке оно достигается, нам не интересен $x$, можем обозначить $t=x+1$ и получить

$$ f(t)=|t^2-4|+4|t-a-1| $$

ну и решать задачу для $a'=a+1$, считая, что $t\geqslant0$, а затем симметрично отобразить.

Хотя нарисовать графики и смотреть, что где и насколько быстро растёт --- первое, что приходит в голову.