С4

[ewert]

paha в сообщении #325565 писал(а):

мне кажется тут нечего делать кроме как показывать в какой точке достигается минимум...

Не обязательно: достаточно потребовать выполнения неравнства в точках $a$, или $-3$, или $1$ (т.е. в корнях подмодульных выражений). Только с обоснованием здесь некоторая морока, в отличие от окружающих задач.

Ну и непонятно, каким способом они сами решали, раз зевнули центральный участок.

[Sasha2]

А почему собственно модули не раскрыть:
Если $-3 < x < 1$, то $|x^2+2x-3|=3-x^2-2x$
Если $x \le 3 $или $x \ge 1$$, то тогда $|x^2+2x-3|=x^2+2x-3$.
Если $x<a$, то тогда $|x-a|=a-x$.
Если $x \ge a$, то тогда $|x-a|=x-a$.

Понятно, что интервалов будет достаточно много в зависимости от значений a.
Но все же при решении таких задач прежде всего нужно озаботиться, чтобы тетрадь имела листы поширше и подлинее.

[ewert]

Трижды четыре -- двенадцать вариантов, ну их

[Sasha2]

Да Вы абсолютно правы.
Три сходных интервала по -3 и 1.
Параметр a может принадлежать каждому из них и соответственно на каждом из этих интервалов x может быть больше-равен или меньше a. Всего 12. И бедный школьник должен аккуратненько, ничего не напутав, перебирать все эти 12 вариантов.

Конечно, это форменное зверство, тут не знания тестируются, а скорее такие качества, как собранность и аккуратность.
А решая такую задачу, очень легко и разволноваться.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #325598 писал(а):

И бедный школьник должен аккуратненько, ничего не напутав, перебирать все эти 12 вариантов.

Конечно, это форменное зверство,

Не должен:

ewert в сообщении #325573 писал(а):

достаточно потребовать выполнения неравнства в точках $a$, или $-3$, или $1$

[Legioner93]

А графически вообще моментально решается! Я перефразировал условие как "$4|x-a|<4-|(x+3)(x-1)|$, при каких $a$ неравенство имеет решение?" График правой части стационарен и строится легко. График правой части "ездит" по оси $OX$. Смотрим, когда существуют точки, при которых хотя бы одна точка графика $y=4|x-a|$лежала ниже $y=4-|(x+3)(x-1)|$. И записываем ответ.

[Sasha2]

Интересно, откуда Вы это видите, что именно в этих точках.
И вообще, что такое эти три точки? Ао отношению к чему? Как-то некорректно выглядит Ваше объяснение.

[ewert]

Это -- те три точки, в которых график изламывается; естественно предположить, что минимум достигается обязательно в одной из них (ну или не в одной, не важно -- но из них).

Когда под модулями стоят только линейные выражения -- это утверждение тривиально. Но тут парабола, поэтому с доказательством придется повозиться. Но все-таки оно проходит. Но повозиться-таки придется: на одних участках придется привлекать соображения монотонности, а на других -- выпуклости. Что не есть элегантно.

[Sasha2]

Это справедливо (утверждение про излом), но только в том случае, если мы имеем одну функцию.
Если же у нас сумма двух функций, то абсолютно не факт, что эти точки излома и будут точками экстремума.
Нет понятно, что если обе функции изламываются в одной точке, то да, но если в разных, то нотнюдь не обязательно.

[ewert]

Ладно, по порядку.

Когда точка $a$ лежит правее единицы -- функция монотонно убывает левее минус тройки, монотонно растет правее $a$, и между единицей и $a$ растет тоже монотонно (поскольку на этом участке вершина параболы приходится аккурат на единичку). А между минус тройкой и единичкой функция выпукла вверх. Поэтому минимум достигается или в единице, или в минус тройке.

Когда $a$ лежит левее минус тройки -- все аналогично ввиду симметрии.

Ну а если $a$ между минус тройкой и единицей -- то от минус тройки до $a$ есть выпуклость, от $a$ до единиц тоже, а на остальных участках монотонность.

В любом случае минимум -- обязательно в одной из этих трех точек.

[vvvv]

Legioner93 в сообщении #325529 писал(а):

У меня получилось $-4<a<2$, $a \ne -1$

Legioner93, Ваше решение верное.Вот графики, из которых все должно быть ясно.

[Sasha2]

Мне кажется, что лучше так.
Во всех случаях, используя неравенство AM-GM имеем
$4|x-a|+|x^2+2x-3| \ge 4\sqrt{|x-a||x+3||x-1|}$.
Следовательно минимум достигается либо в точках $x=a, x=1$ или $x=-3$.
Далее просто считаем значения в этих точках и определяем вид функции в этих точках.
При $x=a$ функция равна $|a^2+2a-3|$
При $a=-3$ функция равна $|a+3|$
И при $a=1$ функция равна $|1-a|$.

Ну дальше уже наверно тривиально.

[maikle]

Цитата:

Ну и куды бедному хрестьянину податьси?... Да еще и за ограниченное время?...

Допустим угол МБС равен 150 градусам, тогда углы HAC и HCA равны 90 градусам (понятно из чего следует) уже получили противоречие.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #325684 писал(а):

используя неравенство AM-GM имеем

Неравенство -- это огрубление. Как из него что-то может следовать?...

vvvv в сообщении #325676 писал(а):

Вот графики, из которых все должно быть ясно.

Ничего из них не ясно. Но самое главное -- на экзаменах не бывает маткадов, в принципе не бывает.

[vvvv]

ewert в сообщении #325699 писал(а):

Sasha2 в сообщении #325684 писал(а):

используя неравенство AM-GM имеем

Неравенство -- это огрубление. Как из него что-то может следовать?...

vvvv в сообщении #325676 писал(а):

Вот графики, из которых все должно быть ясно.

Ничего из них не ясно. Но самое главное -- на экзаменах не бывает маткадов, в принципе не бывает.

Конечно- это не метод решения на экзамене, но здесь обсуждается правильность ответа, а для этого любые методы хороши, если они устанавливаю истину