Теория чисел

[Marina]

Я так думаю.

[Руст]

Marina в сообщении #318645 писал(а):

Помогите,пожалуйста, с решением задачи по теории чисел: Как доказать, что при любом целом значении $n$ выражение: $(n^2-5n+3)^2-9$ делится на 8;

Исходное выражение представила, как $(n^2-5n)(n^2-5n+6)$. Но не знаю дальнейшего решения.

Очевидно, что $n^2-5n$ четное, соответственно $n^2-5n+3$ нечетное, а квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8. Следовательно ваше выражение делится на 8.

[Marina]

Руст
Спасибо. Ваше решение интересно и логично, но я не поняла: $n^2-5n$ - чётное, почему? Подскажите, пожалуйста.

[Руст]

Marina в сообщении #318798 писал(а):

Руст
но я не поняла: $n^2-5n$ - чётное, почему? Подскажите, пожалуйста.

$n^2-5n=n(n-1)-4n$ - произведение двух подряд идущих целых четное.

[ewert]

да ну зачем, просто перебором. Если $n$ чётное, то $n^2-5n$ есть разность двух чётных чисел. Если $n$ нечётное, то $n^2-5n$ -- это разность двух нечётных чисел. Ч.т.д.

Marina в сообщении #318645 писал(а):

Как доказать, что при любом целом значении $n$ выражение: $(n^2-5n+3)^2-9$ делится на 8;

Исходное выражение представила, как $(n^2-5n)(n^2-5n+6)$. Но не знаю дальнейшего решения.

Оба сомножителя чётны, и при этом различаются на 6. Следовательно, оба делятся на 2, и при этом один из них -- на 4. Итого.

[gris]

все приведённые решения страдают одним эстетическим недостатком, хотя в математическом смысле безупречны. Если мы хотим доказать какое-то свойство для всего множества натуральных чисел, то мы можем разбить это множество на несколько подмножеств, чтобы их объединение равнялось всему множеству и доказать свойство для каждого подмножества отдельно.

Так любое натуральное число может быть чётным, то есть представимым в виде $2k$, либо нечётным, то есть представимым в виде $2k+1$. Непосредственной подстановкой в первоначальную формулу приводим её к виду $A=M\cdot P_1(k)$, либо $A=M\cdot P_2(k)$, где $P(k) $ - многочлен с целыми коэффициентами. В любом случае выражение делится на $M$ по определению.
В некоторых задачах приходится разбивать множество натуральных чисел на огромное, до 856, количество подмножеств. И для каждого производить отдельную подстановку.
Однако, мечталось бы в несложных случаях получить выражение $A=M\cdot P(n)$, именно от $n$. $P$ должно быть заведомо целым выражением, может быть разностью многочленов более высокой степени.

[Marina]

ewert в сообщении #318810 писал(а):

Оба сомножителя чётны, и при этом различаются на 6. Следовательно, оба делятся на 2

Это я теперь поняла. А из чего следует, что

Цитата:

при этом один из них - на 4

?

[ewert]

просто из того, что среди чётных чисел делящиеся на 4 и не делящиеся чередуются

[gris]

Вот, например, как можно доказать, что $n^2+n$ делится на 2.

$n^2+n=n(n+1)=(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)=$
$=(n+1)+(n-1+2) +(n-2+3)+(n-3+4)+\cdots +(2+n-1)+(1+n)=$
$=(n+(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1)+(1+2+3+\cdots+(n-1)+n)=$
$2\cdot (1+2+3+\cdots +n) $

Делится на 2. И не надо никаких предположений о чётности или неччётности. В Вашем случае также можно разложить выражение в произведение 8 и некоторого заведомо целого выражения.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #318842 писал(а):

Вот, например, как можно доказать, что $n^2+n$ делится на 2.

$n^2+n=n(n+1)=(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)=$
$=(n+1)+(n-1+2) +(n-2+3)+(n-3+4)+\cdots +(2+n-1)+(1+n)=$
$=(n+(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1)+(1+2+3+\cdots+(n-1)+n)=$
$2\cdot (1+2+3+\cdots +n) $

Делится на 2. И не надо никаких предположений о чётности или неччётности.

у меня есть смутные воспоминания, что в школе формулу для суммы арифметической прогрессии доказывают как-то иначе. Как-то интегрированием по какому-то треугольнику, что ли...

[gris]

(Специально для многоуважаемого ewerta, подзыбывшего программу 7 класса. Нет Там никакого интегрирования по контуру треугольника. Всё гораздо проще)

$1+2+3+...+n=1+2x+3x^2+...nx^{n-1}\big|_{x=1}=\dfrac{d}{dx}\left(\int\limits_0^x 1+2t+3t^2+...nt^{n-1}\,dt\right)\big|_{x=1}=$
$=\dfrac{d}{dx}\left( x+x^2+x^3+...+x^n}\right)\big|_{x=1}=\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{x-x^{n+1}}{1-x}\right)\big|_{x=1}=\left( \dfrac{(1-(n+1)x^n)(1-x)+x-x^{n+1}}{(1-x)^2}\right)\big|_{x=1}=$
$=\left( \dfrac{1-nx^n-x^n)(1-x)+x-x^{n+1}}{(1-x)^2}\right)\big|_{x=1}=\left( \dfrac{1-nx^n-x^n-x+nx^{n+1}+x^{n+1}+x-x^{n+1}}{(1-x)^2}\right)\big|_{x=1}=$
$=\left( \dfrac{1-nx^n-x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}\right)\big|_{x=1}=$Далее Лопиталь, естественно, дважды
$=\left( \dfrac{-n^2x^{n-1}-nx^{n-1}+n(n+1)x^n}{2(x-1)}\right)\big|_{x=1}= \dfrac{-n^2(n-1)-n(n-1)+n^2(n+1)}{2}=$
$=\dfrac{n(n+1)}{2}$

[Marina]

Подскажите, пожалуйста, после того как исходное выражение: $(n^2-5n+3)^2-9$ разложили на множители: $n(n-2)(n-3)(n-5)$. Можно ли строить доказательство на том, что произведение двух последовательных чётных чисел, а именно - $n(n-2)$делится на 8, следовательно и исходное выражение делится на 8?

[ИСН]

Было бы можно; но что, если одно из этих чисел вдруг окажется нечётно?

[Marina]

Цитата:

квадрат нечетного числа - $(n^2-5n+3)^2$ дает остаток 1 при делении на 8. С этим согласна. А из чего следует, что выражение - (n^2-5n+3)^2-9 делится на 8?

[Maslov]

Цитата:

квадрат нечетного числа - $(n^2-5n+3)^2$ дает остаток 1 при делении на 8. С этим согласна. А из чего следует, что выражение - (n^2-5n+3)^2-9 делится на 8?

Если Вы согласны с тем, что $(n^2-5n+3)^2$ дает остаток 1 при делении на 8, то просто обязаны согласиться также с тем, что
$(n^2-5n+3)^2 = 8k + 1 $ (для некоторого $k$)
А значит, и с тем, что
$(n^2-5n+3)^2 - 9 = (8k + 1) - 9 = 8k - 8 = 8(k -1) $