2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:02 
Помогите,пожалуйста, с решением задачи по теории чисел: Как доказать, что при любом целом значении $n$ выражение: $(n^2-5n+3)^2-9$ делится на 8;

Исходное выражение представила, как $(n^2-5n)(n^2-5n+6)$. Но не знаю дальнейшего решения.

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:03 
Аватара пользователя
Надо сделать усилие и их дальше разложить на множители.

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:18 
Вы об этом говорите:$n(n-5)(n-2)(n-3)$?

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:19 
Аватара пользователя
Да, об этом. Собственно, вот и всё.

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:28 
Для полноты картины можно теперь ещё отдельно рассмотреть случаи $n = 4m, n = 4m+1, n = 4m+2, n = 4m+3$.

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:37 
ИСН Извините, но я не поняла
ИСН в сообщении #318659 писал(а):
Собственно, вот и всё.
Где здесь $n(n-5)(n-2)(n-3)$ ответ на вопрос?

(Оффтоп)

Добрый вечер, Maslov!

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:43 
Идея состоит в том, что если $n$ -- чётное, то $n$ и $(n-2)$ делятся на $2$, а кто-то из них -- ещё и на $4$.
Ну а если $n$ -- нечётное, то то же самое можно сказать про $(n-3)$ и $(n-5)$.
Попробуйте рассмотреть отдельно перечисленные мной случаи (исчерпывающие все возможные значения $n$).

(Оффтоп)

Здравствуйте Marina :)

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:49 
Аватара пользователя
$(n^2+2n+1-5n-5+3)^2-9-(n^2-5n+3)^2+9=(n^2+2n+1-5n-5+3+n^2-5n+3)(n^2+2n+1-5n-5+3-n^2+5n-3)=(2n^2-8n+2)(2n+4)=4(n^2-4n+1)(n+2)=4((n-2)^2-3)(n+2)$

Мож так? Типа без затей по индукции?
Приз за самое неуклюжее решение

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:54 
gris в сообщении #318686 писал(а):
Приз за самое неуклюжее решение
Ну не скромничайте, не скромничайте :-)

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 21:57 
Maslov в сообщении #318666 писал(а):
можно теперь ещё отдельно рассмотреть случаи $n = 4m, n = 4m+1, n = 4m+2, n = 4m+3$.

А можно небольшое пояснение с Вашей стороны.

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 22:02 
Только небольшое :)

Рассмотрим случай $n = 4m$:
$$n(n-2)(n-3)(n-5) = 4m(4m-2)(4m-3)(4m-5) = 8m(2m-1)(4m-3)(4m-5)$$

Остальные случаи -- аналогично.

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 22:27 
А как это помогает доказательству исходного выражения?

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 22:30 
Аватара пользователя
Видите во-о-он там такую цифру, похожую на $\infty$, поставленную на бок? :D

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 22:33 
ИСН
Если она присутствует среди сомножителей, то полученное произведение делиться на неё?

 
 
 
 Re: Теория чисел
Сообщение12.05.2010, 22:35 
Аватара пользователя
Ну а Вы как думаете?

 
 
 [ Сообщений: 47 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group