Теория чисел

[Marina]

Помогите,пожалуйста, с решением задачи по теории чисел: Как доказать, что при любом целом значении $n$ выражение: $(n^2-5n+3)^2-9$ делится на 8;

Исходное выражение представила, как $(n^2-5n)(n^2-5n+6)$. Но не знаю дальнейшего решения.

[ИСН]

Надо сделать усилие и их дальше разложить на множители.

[Marina]

Вы об этом говорите:$n(n-5)(n-2)(n-3)$?

[ИСН]

Да, об этом. Собственно, вот и всё.

[Maslov]

Для полноты картины можно теперь ещё отдельно рассмотреть случаи $n = 4m, n = 4m+1, n = 4m+2, n = 4m+3$.

[Marina]

ИСН Извините, но я не поняла

ИСН в сообщении #318659 писал(а):

Собственно, вот и всё.

Где здесь $n(n-5)(n-2)(n-3)$ ответ на вопрос?

(Оффтоп)

Добрый вечер, Maslov!

[Maslov]

Идея состоит в том, что если $n$ -- чётное, то $n$ и $(n-2)$ делятся на $2$, а кто-то из них -- ещё и на $4$.
Ну а если $n$ -- нечётное, то то же самое можно сказать про $(n-3)$ и $(n-5)$.
Попробуйте рассмотреть отдельно перечисленные мной случаи (исчерпывающие все возможные значения $n$).

(Оффтоп)

Здравствуйте Marina :)

[gris]

$(n^2+2n+1-5n-5+3)^2-9-(n^2-5n+3)^2+9=(n^2+2n+1-5n-5+3+n^2-5n+3)(n^2+2n+1-5n-5+3-n^2+5n-3)=(2n^2-8n+2)(2n+4)=4(n^2-4n+1)(n+2)=4((n-2)^2-3)(n+2)$

Мож так? Типа без затей по индукции?
Приз за самое неуклюжее решение

[Maslov]

gris в сообщении #318686 писал(а):

Приз за самое неуклюжее решение

Ну не скромничайте, не скромничайте

[Marina]

Maslov в сообщении #318666 писал(а):

можно теперь ещё отдельно рассмотреть случаи $n = 4m, n = 4m+1, n = 4m+2, n = 4m+3$.

А можно небольшое пояснение с Вашей стороны.

[Maslov]

Только небольшое :)

Рассмотрим случай $n = 4m$:

$$n(n-2)(n-3)(n-5) = 4m(4m-2)(4m-3)(4m-5) = 8m(2m-1)(4m-3)(4m-5)$$

Остальные случаи -- аналогично.

[Marina]

А как это помогает доказательству исходного выражения?

[ИСН]

Видите во-о-он там такую цифру, похожую на $\infty$, поставленную на бок?

[Marina]

ИСН
Если она присутствует среди сомножителей, то полученное произведение делиться на неё?

[ИСН]

Ну а Вы как думаете?