Есть ли синтаксис в математике?

[errnough]

Xaositect в сообщении #310915 писал(а):

Значит, ее и до того нельзя было вывести, а можно было только "если a,b,c,d, то скорее всего G". Это называется модальная логика.

Никто не видел судебных решений с формулировкой «скорее всего, виновен». Действительность это безжалостная сортировка. Если алиби нет, то $G$. Если алиби есть и невозможно вместе с алиби построить силлогизм с доказанными фактами от прокурора, то заключение $G$ упоминается в судебном решении в форме: подсудимый освобождается за недоказанностью $G$.

Мышление это отражение в сознании действительности. Действительность это единственный полигон, где можно проверить истинность. Любой может найти массу логических противоречий в математических текстах, которые в совокупности можно назвать всеобщей математической библией. Метод очень прост. Нужно взять реальную задачу из действительности, смоделировать, и строго по математическим текстам библии вначале попытаться построить все объекты, а затем попробовать решить эту реальную задачу, например, обсчитать простейшие модели в судостроении, в авиации, в небесной механике. Здесь-то всё и выплывет, что где недоопределено и где что припрятано от слишком любопытных глаз. Оказывается, коммутативность всегда проверяется на двух элементах множеств. Потребуйте проверки коммутативности на трех элементах, и половина математических текстов отправляется на свалку. Инженеры, тем не менее, успешно считают свои задачи, собрав в одну кучу все методы построения и вычислений. Математики же строят свои теории, пригодные разве что для простейшего случая, типа $a+b$. Потому что $a+b+c$ может быть, например, некоммутативно. Ну да ладно, кто же на практике пользуются чистыми математическими теориями?

У инженеров своя математика. Они считают: вектор геометрический, вектор как элемент векторного пространства $R^3$, и вектор как упорядоченный набор чисел $R^3$ это одновременно существующие неотъемлимые свойства одного объекта "вектор" в любой обсчитываемой модели. Иначе это пустые игры фантазии, ни к чему в инженерной практике не приложимые. У математиков, по видимому, сложилось другое мнение.

errnough в сообщении #310909 писал(а):

Тогда и площадь, казалось бы, можно представить в виде вектора...

ewert в сообщении #310928 писал(а):

Если иметь в виду векторную площадь (а её очень даже имеют в виду). Но произносят при этом, разумеется, слова не "длина площади", а "модуль площади".

Назвался вектором, полезай в кузов... Если площадь фигуры представили вектором и модуль вектора есть «численное значение площади», то сумма двух площадей может быть меньше каждого из слагаемых? Сумма трех площадей может равняться нулю? Что такое отрицательный вектор, если он представляет площадь? Площадь как ни высчитывай, она по определению неотрицательна. Слышу, как подсказывают, что это, дескать, значение косинуса, определяющего направление, привязанное к направлению обхода периметра площади. Может, кто доказал теорему про обход по часовой стрелке, или это тайная аксиома? ... Значит, если площадь квадрата вычисляли в разные стороны от вращения часовой стрелки, то получим два разных вектора площади, развернутых на 180 градусов? А в 30 градусов и в 330 градусов что означает угол между векторами, представляющими величины этих площадей? Фигуры, чьи площади представляют вектором, находятся (построены) в том же пространстве, что и их обозначающие векторы, или в разных? Пусть есть фигуры: круг и треугольник, и соответсвующие векторы площадей построены в их же пространстве. Что-то нигде не видно процедуры вычисления координат начала и конца вектора площади. Куда ее спрятали? Хватит, пожалуй, риторических вопросов для начала... :)))

-----------

Xaositect в сообщении #310550 писал(а):

наилучшим определением вектора на мой взгляд является "Вектор - это элемент векторного пространства"

Мне интересно вот что. Разные источники по-разному и несовместимо логически говорят о векторном пространстве. Одни пишут: если есть поле вещественных чисел и над ним заданы элементы, например, векторы, и выполняются определенные условия [...], то это образует векторное пространство. Другие источники говорят: векторное пространство это множество элементов, называемых векторами, для которых выполняются некоторые условия [...]. Третьи говорят: элементы линейного пространства, в котором выполняются определенные условия [...], называются векторами. Вопрос состоит в следующем:

1. Кто что определяет в понятии «векторное пространство»? Элементы множества задают это пространство? Или пространство сначала существует линейным, и в нем определяют векторы? Или что-то другое?
2. Что содержится в векторном пространстве? Это такое пространство, где два типа элементов: есть элементы скаляры(точки, числа), и есть элементы векторы; или только один тип элементов, векторы?

[Xaositect]

errnough в сообщении #311434 писал(а):

Xaositect в сообщении #310915 писал(а):

Значит, ее и до того нельзя было вывести, а можно было только "если a,b,c,d, то скорее всего G". Это называется модальная логика.

Никто не видел судебных решений с формулировкой «скорее всего, виновен». Действительность это безжалостная сортировка. Если алиби нет, то $G$. Если алиби есть и невозможно вместе с алиби построить силлогизм с доказанными фактами от прокурора, то заключение $G$ упоминается в судебном решении в форме: подсудимый освобождается за недоказанностью $G$.

Это вопрос соотношения теории и практики. В судебном заседании даже истинность посылок скорее модальная, типа "свидетель должен говорить правду", а не "свидетель всегда говорит правду".

Цитата:

Мышление это отражение в сознании действительности. Действительность это единственный полигон, где можно проверить истинность. Любой может найти массу логических противоречий в математических текстах, которые в совокупности можно назвать всеобщей математической библией. Метод очень прост. Нужно взять реальную задачу из действительности, смоделировать, и строго по математическим текстам библии вначале попытаться построить все объекты, а затем попробовать решить эту реальную задачу, например, обсчитать простейшие модели в судостроении, в авиации, в небесной механике. Здесь-то всё и выплывет, что где недоопределено и где что припрятано от слишком любопытных глаз. Оказывается, коммутативность всегда проверяется на двух элементах множеств. Потребуйте проверки коммутативности на трех элементах, и половина математических текстов отправляется на свалку. Инженеры, тем не менее, успешно считают свои задачи, собрав в одну кучу все методы построения и вычислений. Математики же строят свои теории, пригодные разве что для простейшего случая, типа $a+b$. Потому что $a+b+c$ может быть, например, некоммутативно. Ну да ладно, кто же на практике пользуются чистыми математическими теориями?

А Вы уже придумали контрпример к утверждению о том, что если операция коммутативна для двух элементов и ассоциативна для трех, то в композиции произвольной длины тоже можно как угодно расставлять скобки и менять местами элементы?

Цитата:

У инженеров своя математика. Они считают: вектор геометрический, вектор как элемент векторного пространства $R^3$, и вектор как упорядоченный набор чисел $R^3$ это одновременно существующие неотъемлимые свойства одного объекта "вектор" в любой обсчитываемой модели. Иначе это пустые игры фантазии, ни к чему в инженерной практике не приложимые. У математиков, по видимому, сложилось другое мнение.

В математике это выражается понятием изоморфизма векторных пространств.

Цитата:

errnough в сообщении #310909 писал(а):

Тогда и площадь, казалось бы, можно представить в виде вектора...

ewert в сообщении #310928 писал(а):

Если иметь в виду векторную площадь (а её очень даже имеют в виду). Но произносят при этом, разумеется, слова не "длина площади", а "модуль площади".

Назвался вектором, полезай в кузов... Если площадь фигуры представили вектором и модуль вектора есть «численное значение площади», то сумма двух площадей может быть меньше каждого из слагаемых? Сумма трех площадей может равняться нулю? Что такое отрицательный вектор, если он представляет площадь? Площадь как ни высчитывай, она по определению неотрицательна. Слышу, как подсказывают, что это, дескать, значение косинуса, определяющего направление, привязанное к направлению обхода периметра площади. Может, кто доказал теорему про обход по часовой стрелке, или это тайная аксиома? ... Значит, если площадь квадрата вычисляли в разные стороны от вращения часовой стрелки, то получим два разных вектора площади, развернутых на 180 градусов? А в 30 градусов и в 330 градусов что означает угол между векторами, представляющими величины этих площадей? Фигуры, чьи площади представляют вектором, находятся (построены) в том же пространстве, что и их обозначающие векторы, или в разных? Пусть есть фигуры: круг и треугольник, и соответсвующие векторы площадей построены в их же пространстве. Что-то нигде не видно процедуры вычисления координат начала и конца вектора площади. Куда ее спрятали? Хватит, пожалуй, риторических вопросов для начала... :)))

Вопрос направлен ewert'у, но я тоже скажу. Да, существует понятие ориентированной площади, которая может быть отрицательной. Она зависит от того, как мы обходим фигуру - у треугольников $ABC$ и $ACB$ ориент. площадь будет одинаковой по модулю, но с разным направлением (в плоском случае - знаком).

-----------

Цитата:

Xaositect в сообщении #310550 писал(а):

наилучшим определением вектора на мой взгляд является "Вектор - это элемент векторного пространства"

Мне интересно вот что. Разные источники по-разному и несовместимо логически говорят о векторном пространстве. Одни пишут: если есть поле вещественных чисел и над ним заданы элементы, например, векторы, и выполняются определенные условия [...], то это образует векторное пространство. Другие источники говорят: векторное пространство это множество элементов, называемых векторами, для которых выполняются некоторые условия [...]. Третьи говорят: элементы линейного пространства, в котором выполняются определенные условия [...], называются векторами. Вопрос состоит в следующем:

1. Кто что определяет в понятии «векторное пространство»? Элементы множества задают это пространство? Или пространство сначала существует линейным, и в нем определяют векторы? Или что-то другое?
2. Что содержится в векторном пространстве? Это такое пространство, где два типа элементов: есть элементы скаляры(точки, числа), и есть элементы векторы; или только один тип элементов, векторы?

Вначале определяется базовое поле $F$ (оно, вообще говоря, может не совпадать с полем действительных чисел, но в учебниках часто рассматриваютя только пространства над $\mathbb{R}$).
Затем задается некоторое множество $S$. Далее определяются операции $+\colon S\times S\to S$ и $\cdot\colon F\times S\to S$. Они должны удовлетворять некоторым соотношениям. И если мы ввели "хорошие" операции, то множество $S$ со введенными на нем операциями называется векторным пространством над полем $F$. Если задано векторное пространство $S$ над полем $F$, то элементы $F$ называются скалярами, а элементы $S$ - векторами.
А длина, кстати, вводится совсем не на любом векторном пространстве. а только на евклидовом пространстве над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

[Maslov]

(Оффтоп)

errnough в сообщении #311434 писал(а):

Никто не видел судебных решений с формулировкой «скорее всего, виновен».

Хочется заметить, что никто также не видел судебных решений, в которых упоминались бы силлогизмы. Судья выносит заключение о виновности не на основе формального вывода, а оценивает доказательства по закону и внутреннему убеждению. Дословно из УПК РФ:

Цитата:

Статья 17. Свобода оценки доказательств
1. Судья, присяжные заседатели, а также прокурор, следователь, дознаватель оценивают доказательства по своему внутреннему убеждению, основанному на совокупности имеющихся в уголовном деле доказательств, руководствуясь при этом законом и совестью.2. Никакие доказательства не имеют заранее установленной силы.

[errnough]

Xaositect в сообщении #311437 писал(а):

контрпример к утверждению о том, что если операция коммутативна для двух элементов и ассоциативна для трех, то в композиции произвольной длины тоже можно как угодно расставлять скобки и менять местами элементы?

Нет, конечно, имелось ввиду другое (если не брать разрывное пространство). Рассмотрение трех элементов это эвристический прием. Когда Вы, например, хотели показать якобы неверность моего определения сложения векторов, то взяли три вектора в плоскости. Почему три?

Xaositect в сообщении #311437 писал(а):

это выражается понятием изоморфизма векторных пространств.

Одно из условий для векторного пространства $E$:

*) в $E$ существует нулевой элемент, или начало, обозначаемый $0$, такой, что $0+x=x$ для всех $x$ из $E$.
[...] Из этих свойств следует единственность нулевого элемента и элемента $-x$ для каждого $x$ из $E$;

или другой источник:

*) в $E$ существует однозначно определенный вектор $0$, называемый началом, такой, что $0+x=x$ для каждого вектора $x$.

У Гельфанда (и др.) условия однозначности для нулевого вектора почему-то нет. Не верю, что требование однозначности это пустяк. Или кто-то неправ, или это требование кому-то мешает :)

Если изоморфизм векторных пространств $R^3$ существует, и вектор $0$ единственный и однозначный, и ewert прав, утверждая, что у нулевого вектора есть координаты, то каковы координаты в аналитической записи у нулевого вектора?

Xaositect в сообщении #311437 писал(а):

Да, существует понятие ориентированной площади, которая может быть отрицательной.

Да существует. Но не существует аксиомы фиксации ориентации фигур в геометрии. Я именно про это. Либо нужна аксиома про часовые стрелки, либо разнимать двух спорящих наблюдателей, когда они рассматривают проволочную фигуру друг против друга,— по часовой, или против часовой, им видится фигура. В алгоритме разбора текста неопределенности места нет.

Но это еще полбеды, когда по часовой стрелке площадь записывают с каким-нибудь символом, скажем, «–», это даже преимущество в алгоритмах, и используется в компьютерных движках 3D с давних пор. Но вот вектор к фигуре приделать в одном пространстве, и назначить длине вектора быть величиной площади в пространстве фигуры, это покруче будет...

Xaositect в сообщении #311437 писал(а):

Вначале определяется базовое поле $F$

Вы высказываетесь определенно, но есть и другие источники, в которых это игнорируется...
Да, и очень интересно, что условия определения базового поля слово в слово копируют условия определения векторного пространства над этим полем. Так, что даже трудно понять, что из них поле... И как в этой двойной матрешке различить, относится элемент к базовому полю, или к векторному пространству. Концы векторов задаются точками, и это задание указывает одновременно на точки базового поля и на точки вектора. Никакой путаницы не возникнет? А на базе поля векторов можно построить следующее пространство?

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #311442 писал(а):

Судья выносит заключение о виновности не на основе формального вывода, а оценивает доказательства по закону и внутреннему убеждению.

Это мне знакомо, у меня хороший опыт в судебных разбирательствах, вплоть до Европейского суда. Кстати, образец дремучести в логике и глупости. IMHO.

Во-первых, представляя обвинение, прокурор тоже внутренне убеждается в виновности. Во-вторых, неверно, что решение судья пишет не на основе формального вывода. Суд высшей инстанции может отменить такое решение, да и по дисциплинарной линии судья получит. По внутреннему убеждению (которое как разболтанный флюгер) судья допускает в судебном разбирательстве в качестве конъюктивных посылок серию фактов. То есть, судья (неформально, субъективно, по внутреннему убеждению) исполняет проверку условия Если-то в алгоритме судебных разбирательств. А дальше всё исключительно формально. Прокурор требует заключения $G$. На этой стадии всё предопределено для построения силлогизма. Адвокат по тому, что допущено в качестве доказательств судьей, уже знает на этом этапе результат разбирательства. Силлогизм аристотелевского типа с заключением $G$, либо выстраивается, либо нет. Если нет, то судья не напишет, по современной логической импликации: прокурор состряпал ложное обвинение. Или: подсудимый невиновен. Нет, он пишет только то, что может следовать из несостоявшейся попытки построить силлогизм. Он так и напишет в заключении: вина подсудимого не доказана (обвинение прокурора $G$ не доказано), и подсудимый освобождается от судебного преследования.

[Xaositect]

errnough в сообщении #311506 писал(а):

Нет, конечно, имелось ввиду другое (если не брать разрывное пространство). Рассмотрение трех элементов это эвристический прием. Когда Вы, например, хотели показать якобы неверность моего определения сложения векторов, то взяли три вектора в плоскости. Почему три?

Потому что я опровергал ассоциативность, а она требует 3 слагаемых.

errnough в сообщении #311506 писал(а):

У Гельфанда (и др.) условия однозначности для нулевого вектора почему-то нет. Не верю, что требование однозначности это пустяк. Или кто-то неправ, или это требование кому-то мешает :)

Теорема. Если задана коммутативная операция $+\colon M\times M\to M$, и существует элемент $0\in M$ такой, что для любого $x\in M$ $0 + x = x$ (такой элемент $0$ называется нейтральным), то такой элемент единственен.
Доказательство. Пусть $0_1$ и $0_2$ - нейтральные элементы. Тогда $0_2 = 0_1 + 0_2 = 0_2 + 0_1 = 0_1$.

errnough в сообщении #311506 писал(а):

Да существует. Но не существует аксиомы фиксации ориентации фигур в геометрии. Я именно про это. Либо нужна аксиома про часовые стрелки, либо разнимать двух спорящих наблюдателей, когда они рассматривают проволочную фигуру друг против друга,— по часовой, или против часовой, им видится фигура. В алгоритме разбора текста неопределенности места нет.

Положительным направлением называется направление "против часовой".

errnough в сообщении #311506 писал(а):

Но это еще полбеды, когда по часовой стрелке площадь записывают с каким-нибудь символом, скажем, «–», это даже преимущество в алгоритмах, и используется в компьютерных движках 3D с давних пор. Но вот вектор к фигуре приделать в одном пространстве, и назначить длине вектора быть величиной площади в пространстве фигуры, это покруче будет...

Через такую штуку вводят поток вектора через поверхность.

errnough в сообщении #311506 писал(а):

Да, и очень интересно, что условия определения базового поля слово в слово копируют условия определения векторного пространства над этим полем. Так, что даже трудно понять, что из них поле... И как в этой двойной матрешке различить, относится элемент к базовому полю, или к векторному пространству. Концы векторов задаются точками, и это задание указывает одновременно на точки базового поля и на точки вектора. Никакой путаницы не возникнет? А на базе поля векторов можно построить следующее пространство?

Определения поля поля и векторного пространства отличаются тем, что в поле умножение между элементами поля, а в векторном пространстве - умножение вектора на скаляр. Любое поле является линейным пространством над самим собой. Если поле $G$ является векторным пространством над полем $F$, то $G$ есть расширение $F$. Например, на поле $\mathbb{C}$ естественно задается структура векторного пространства над $\mathbb{R}$. В этом случае любое векторное пространство над $G$ можно снабдить структурой векторного пространства над $F$, причем можно вычислить разные характеристики этого множества как пространства над $G$, зная характеристики его как пространства над $F$. Путаницы не возникает.

[errnough]

Xaositect в сообщении #311519 писал(а):

Теорема. Если задана коммутативная операция $+\colon M\times M\to M$, и существует элемент $0\in M$ такой, что для любого $x\in M$ $0 + x = x$ (такой элемент $0$ называется нейтральным), то такой элемент единственен.
Доказательство. Пусть $0_1$ и $0_2$ - нейтральные элементы. Тогда $0_2 = 0_1 + 0_2 = 0_2 + 0_1 = 0_1$.

Это доказательство не тождественности двух объектов, а равенства некой (числовой?) характеристики двух объектов. Суть доказательства должна быть такой, что допустив существование двух объектов с совпадающими свойствами, логически потребовалось бы признать их одним и тем же объектом.

Вот здесь, exponenta.ru, сжато даны определения для свободного вектора. Посмотрите определение «3) Все нулевые векторы равны: АА = ВВ.» Именно это Вы и доказали.

Но нулевых векторов там, у авторов с exponenta.ru, аж целый континиум, совпадающий с базовым полем. И трудно сдержать улыбку: если нулевой вектор АА это одна и та же точка А, то почему нулевой элемент не треугольник ААА? :)) Или почему не параллелепипед AAAA? Критерий равенства нулевых элементов у них — совпадение начала и конца. У Вас, наверное, иной критерий равенства? Судя по тому, что Вы составили алгебраическое уравнение, Ваши нулевые векторы равны по своим числовым характеристикам. Осталось назвать эту характеристику.

О равенстве и тождестве. Собственно, это самое первое противоречие, наблюдаемое в разных математических текстах. Здесь кто во что горазд: а) равенство, это когда два объекта могут быть совмещены друг с другом; б) два равных объекта представляют собой один объект, размещенный в разных местах; в) у Эвклида равенство — это равенство площадей, а не форм; г) у Гильберта, отрезки могут находится в определенном соотношении между собой, и вот это "соотношение" отрезков и углов названо «конгруэнтностью или равностью». Самое хитрое определение — у Гильберта, поскольку никакой процедуры установления конгруэнтности (у других — совмещения, переноса, вычисления площади и пр.) он не дает. Проведем некоторые рассуждения и посмотрим, почему так поступает Гильберт и почему бы ему не пользоваться прямо и просто существующим термином "равный".

Если а) равенство двух точек есть равенство числовых значений их характеристик (у точек характеристика одна — это координаты), и б) две точки с равными координатами тождественны, то В) равенство двух точек есть их тождественность.

Если г) отрезок это множество точек, и д) равенство двух отрезков есть равенство их множеств точек, то Е) равенство двух отрезков есть попарное однозначное равенство между точками этих отрезков.

Если В) и Е), то равенство двух отрезков есть их тождество, то есть один и тот же объект.

Уппссс... не хотелось автору упоминать длину в сравнении двух отрезков, но без предсуществующей характеристики "длина", как видим, равенство отрезков, как множества точек, логически означает их поточечное тождество, совпадение в пространстве. Поэтому Гильберт вводит(выдумывает?) понятие: конгруэнтность. Мда, попытка не использовать определение "длина" и "угол" и спрятаться за конгруэнтность выглядит натянуто...

Сравните, [ Д. Гильберт, Основания геометрии, Петроград: Сеятель, 1923.]
«теорема 17) [...]
Две фигуры называются конгруэнтными, если их точки могут быть попарно сопряжены друг с другом так, что сопряженные при этом отрезки и углы будут все взаимно конгруэнтны.»

Если у авторов с exponenta.ru отрезок состоит из одной точки, то очевидно, что это всё-таки однозначно точка, иначе — всё что угодно, и отрезок, и треугольник, и т.д. Нулевого вектора, как нулевого элемента в векторном пространстве не задано (не существует), а вместо него используется скаляр, элемент базового числового поля — ноль. Перепутали-таки элементы базового поля и векторы. Векторное пространство, которое во всех учебниках принимается как данный свыше факт, никем не было проверено на соответствие своим же аксиомам, и значит, в терминах определения и этих аксиом не существует.

Исчезновение требования однозначности и единственности для нулевого вектора неспроста, как видите. Просто те, кто выкидывает это требование, не общается с теми, кто не выкидывает, но понять причину оказалось очень просто. Сравнение разных текстов это как перекрестный допрос для выяснения истины :)

[Xaositect]

errnough в сообщении #311654 писал(а):

Вот здесь, exponenta.ru, сжато даны определения для свободного вектора. Посмотрите определение «3) Все нулевые векторы равны: АА = ВВ.» Именно это Вы и доказали.

Это из-за одной ужасной ошибки - в школьных учебиках конгруэнтность фигур называют равенством.
В этом пункте говорится о связанных векторах. На самом деле это утверждение следует читать как "Любые два нулевых связанных вектора эквивалентны." Они все являются представителями одного свободного вектора $\vec{0}$.

-- Ср апр 21, 2010 11:56:51 --

errnough в сообщении #311654 писал(а):

Если а) равенство двух точек есть равенство числовых значений их характеристик (у точек характеристика одна — это координаты), и б) две точки с равными координатами тождественны, то В) равенство двух точек есть их тождественность.

Если г) отрезок это множество точек, и д) равенство двух отрезков есть равенство их множеств точек, то Е) равенство двух отрезков есть попарное однозначное равенство между точками этих отрезков.

Если В) и Е), то равенство двух отрезков есть их тождество, то есть один и тот же объект.

Вот именно.
Во всех учебниках равными называют не тождественные фигуры, а конгруэнтные. Я считаю это большой ошибкой.

[ewert]

Xaositect в сообщении #311667 писал(а):

На самом деле это утверждение следует читать как "Любые два нулевых связанных вектора конгруэнтны."

На самом деле следовало писать как "любые ... эквивалентны". Переход от связанных векторов к свободным -- это стандартная в математике процедура факторизации по отношению эквивалентности. Просто очень часто эта процедура замаскирована (скажем, при формальном определении рациональных чисел). Авторы же Экспоненты поступили крайне неудачно: они процедуру проводят, но вместо "эквивалентности" (или чего угодно подобного) говорят о равенстве. И получается путаница в терминологии: слово "равенство" начинает означать и буквальное равенство, и эквивалентность. Уж лучше бы они по-сермяжному вообще умолчали про связанные векторы (всё равно они никому не нужны).

errnough в сообщении #311434 писал(а):

Что такое отрицательный вектор,

Вектор в принципе не может быть отрицательным -- для него это понятие не определено.

[Xaositect]

ewert в сообщении #311677 писал(а):

На самом деле следовало писать как "любые ... эквивалентны". Переход от связанных векторов к свободным -- это стандартная в математике процедура факторизации по отношению эквивалентности.

Fixed.

[errnough]

На мой взгляд, конгруэнтность сводится к равенству свойств из определения для класса, к которому относят конкретный объект. Что вы думаете про вот такое неиспользование "конгруэнтности"?

Если есть определение класса объектов и про два объекта из одного класса говорят «равны», то все их свойства равны в алгебраическом смысле. То есть, объектов всё-таки два.

Два объекта тождественны, если а) в геометрии поточечно совпадают; в) в теории множеств взаимнооднозначно совпадают элементы; г) в алгебре формулы совпадают посимвольно.

(Можно не вводить и эквивалентность.)

Например, два многоугольника равны — это значит, дословно:

а) многоугольников действительно два; и
б) равны их стороны и углы.

Два многоугольника тождественны друг другу (или третьему) — это один и тот же объект:
1) они равны; и
2) поточечно совпадают в пространстве.

Всё. Конгруэнтность не нужна. Но тогда нужна процедура установления равенства свойств. Для отрезка — длина, а для углов — угловая мера. А их математики поблизости аксиом вводить не хотят, это очень заметно.

Логичен вопрос: как можно говорить в одной фразе о двух многоугольниках, одновременно утверждая, что это один (тождественность)? Я лично решил это просто, есть два типа сущностей в математике: построенный объект, существующий сразу со всеми числовыми однозначными свойствами, и процедура построения объекта. Именно процедура отвечает за существование объекта (если она не может быть завершена, бесконечна, то процедура-то есть, а вот объекта — нет.) Следствие: запись $1/3$ это не число (объект), а процедура (бесконечная, безрезультатная). Точнехонько то, что и есть в реальности, скажем, в программировании реального процессора.

-----------

Так всё-таки, что такое нулевой вектор в множестве векторов, что с его единственностью? Какие у него координаты, если мы о геометрической сущности, и какие у него значения чисел, если это числовой набор (строка или столбец матрицы), если действительно изоморфизм векторных пространств существует?

[ewert]

errnough в сообщении #311696 писал(а):

Два объекта тождественны, если а) в геометрии поточечно совпадают; в) в теории множеств взаимнооднозначно совпадают элементы; г) в алгебре формулы совпадают посимвольно.

(Можно не вводить и эквивалентность.)

Чем-то Вы явно маетесь, но чем конкретно -- сказать трудно. Политкорректность не позволяет.

Всегда, когда встречается фраза типа "два объекта считаются равными, если..." -- всегда имеется в виду именно некоторая факторизация. Пусть даже она по имени не называется.

errnough в сообщении #311696 писал(а):

Так всё-таки, что такое нулевой вектор в множестве векторов, что с его единственностью?

Ничего. Она просто есть.

errnough в сообщении #311696 писал(а):

Какие у него координаты,

Нулевые. По определению нулевого вектора в сочетании с определением координат.

[errnough]

ewert в сообщении #311712 писал(а):

Чем-то Вы явно маетесь

:))) подрихтовываю свою запись математики...

Если нулевой вектор $\theta$ есть, и его координаты нулевые, и начало $F$ совпадает с его концом $F'$, то очевидно, в пространстве $R^2$ это запишется так: $\theta= \overrightarrow{FF'}$. Поскольку координаты нулевые, то $F(x_1;y_1)=(0;0)$, $F'(x_2;y_2)=(0;0)$, то есть, $x_1=x_2$ и $y_1=y_2$.

Но сразу же строится и любой другой вектор по тому же принципу — начало совпадает с концом, например: $\overrightarrow{AA'}$, где $A(x_1;y_1)=(2;4)$, $A'(x_2;y_2)=(2;4)$. Хороший такой себе нулевой элемент. При таком определении, их континиум, я согласен с авторами с exponenta.ru. И все они отвечают условию $\theta+x=x$, где $x$ из множества векторов.

Но какой же $\theta$ вектор? Геометрически, это единственная точка. Алгебраически, это скаляр. Не может сущность быть одновременно и вектором, и скаляром. Объясняется это логически просто, в множестве векторов нет места элементам-скалярам. В множестве векторов нулевого вектора нет, а есть множитель ноль для свойства "длина" вектора. Скаляр, обнулитель длины вектора, так сказать...

Следствие отсюда простое: то, что отрисовано в базовом скалярном поле (а это точки и линии из них), не может появиться в векторном пространстве. Этот переход не изоморфен, не гомоморфен, в общем, незаконен. Кривых линий, прямых линий, треугольников, и пр., как и скаляров-точек, в векторном пространстве не отобразить.

[Xaositect]

Мы Вам уже 5 страниц тведим, что свободные и связанные векторы это не одно и то же, а Вы все не хотите этого понять.
Существует единственный нулевой свободный вектор, представителями которого являются континуум связанных векторов вида $\vec{AA}$

[errnough]

Xaositect в сообщении #311810 писал(а):

свободные и связанные векторы это не одно и то же

Неверное впечатление у Вас сложилось. Просто я не хочу обсуждать то, в чем с собеседниками нет общих оснований. Можно обсуждать оттенки серого, но если один говорит белое, а второй черное, то диалога не получится. Поясню свое мнение про свободные вектора.

Свободные и связанные вектора различаются просто — свободных в реальности не существует. Если к точке реального физического тела приложили силу, то приложение той же силы и по тому же направлению в любой другой точке тела — не равносильно. Либо сила изменяется, либо напряженность силового поля, либо напряженность в теле, либо возникает поворачивающий момент сил и пр. Если же для всех точек тела можно указать величину и направление (скажем, поступательной скорости), то конкретный вектор нет возможности построить в пространстве точек тела, потому что нельзя указать однозначно конкретной точки. Это согласуется с моим утверждением, что векторное пространство это один объект, а базовое поле совсем другой объект. Даже если оба пространства нарисовать на двух стеклах, сложить и видеть сквозь них все общие элементы, то всё это лишь кажется, и попытка сделать из этого вывод приводит к очень серьезным ошибкам в физической действительности.

Xaositect в сообщении #311810 писал(а):

Существует единственный нулевой свободный вектор, представителями которого являются континуум

Почему же тогда в математике не разрешено сказать то же самое про «решения» вот этого уравнения:
$0\cdot x=0$
Пусть у нас единственным решением будет $x=0$, а все остальные числа являются представителями этого решения? Полная аналогия с проблемой однозначности нулевого элемента в векторном пространстве: попытка точку с нулевыми координатами назвать решением проблемы, а остальные точки — континиумом представителей. В математике неявно следуют такому правилу: если нет однозначности, то в отношении функции говорится "неопределена", в отношении уравнения — "неразрешимо". Считаю его вполне логичным, и вижу в нем аристотелевский закон "запрета противоречий". По этому закону, свободный вектор как объект не существует, из-за своей неоднозначности. Фигаро там, Фигаро здесь. Либо, если есть желание это чудо оставить, то свободный вектор это: «связанный вектор» + сцепленная с ним процедура параллельного переноса. И тогда определение от exponenta.ru становится понятным: «Определение 3: Свободный вектор [...] — множество [...] закрепленных векторов.»

Так что Ваше объяснение единственности существования нулевого элемента в множестве векторов — неубедительно. Если же он отсутствует, то это означает, что множество векторов, выступающее полем для задания над ним еще одного векторного пространства, образуют неизоморфную связь (структуру отношений) между элементами поля и элементами пространства. Формально, и между числовым полем и векторным пространством нет изоморфности, нулевой элемент среди чисел есть (для меня это ложное утверждение, но остаюсь в рамках сегодняшней математики), а нулевого элемента среди векторов — нет. И наоборот, если в числовом поле есть единственный нулевой элемент, то среди векторов их континиум. Та же неизоморфность.

[ewert]

errnough в сообщении #312039 писал(а):

Свободные и связанные вектора различаются просто — свободных в реальности не существует.

Тогда и связанных тоже. Вообще в природе не существует ни одной математической абстракции.

errnough в сообщении #312039 писал(а):

По этому закону, свободный вектор как объект не существует, из-за своей неоднозначности.

Он вполне однозначен. Как класс эквивалентности.

errnough в сообщении #312039 писал(а):

И тогда определение от exponenta.ru становится понятным: «Определение 3: Свободный вектор [...] — множество [...] закрепленных векторов.»

Учитывая Вашу предыдущую реплику -- совершенно непонятно, как Вам это может быть понятным.

errnough в сообщении #312039 писал(а):

Формально, и между числовым полем и векторным пространством нет изоморфности,

Естественно, нет -- если только пространство не одномерно. Вы знаете, что такое изоморфность?...

errnough в сообщении #312039 писал(а):

, а нулевого элемента среди векторов — нет.

... и что такое нулевой элемент вообще?...