Есть ли синтаксис в математике?

[Xaositect]

Ну, равенство - это отношение симметричное. Поэтому если можно заменить $1-1$ на $0$, то можно и $0$ на $1-1$.

-- Пн апр 26, 2010 00:10:17 --

Кстати, я вспомнил, есть такой сайт, http://metamath.org. Там есть формальные доказательства разных известных теорем.
Можете попробовать разобраться: http://us.metamath.org/mpegif/mul02i.html

[Maslov]

errnough в сообщении #313423 писал(а):

Простота выражения $0x=0$ играет злую шутку :)

Злую шутку играет не простота выражения $0x=0$, а Ваша абсолютная математическая безграмотность.

errnough в сообщении #313423 писал(а):

$0x = (1-1)x = 1x - 1x = x - x = 0$
...
Дык, она и по условию нулю равна, так что же вы доказываете?

По какому это условию она равна нулю?
По условию дано кольцо (частным случаем которого является поле), т.е. множество $\mathbb K$ с двумя определёнными на нём операциями $+$ и $\cdot$, удовлетоворяющее следующим аксиомам:
1. $(\forall x, y, z \in \mathbb K)((x + y) + z = x + (y + z))$ -- ассоциативность сложения
2. $(\exists 0 \in \mathbb K)(\forall x \in \mathbb K)(x + 0 = 0 + x = x)$ -- существование нейтрального элемента по сложению
3. $(\forall x \in \mathbb K) (\exists (-x) \in \mathbb K)(x + (-x) = 0)$ -- существование обратного элемента по сложению
4. $(\forall x, y \in \mathbb K)(x + y = y + x)$ -- коммутативаность сложения
5. $(\forall x, y, z \in \mathbb K)((x\cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z))$ -- ассоциативность умножения
6. $(\forall x, y, z \in \mathbb K) (x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z)$ -- дистрибутивность умножения относительно сложения
7. $(\forall x, y, z \in \mathbb K) ((y + z)\cdot x = y\cdot x + z\cdot x)$ -- ещё дистрибутивность умножения относительно сложения

А доказать надо $(\forall x \in \mathbb K) (0 \cdot x = 0)$,
т.е., что умножение нейтрального элемента по сложению на любой элемент кольца даёт нейтральный элемент по сложению.
Вот Вам это и доказали.

errnough в сообщении #313423 писал(а):

Может, такой прием доказательства настолько универсален, что сгодится, наверное, и здесь:

Дано: $ax=1/b$. Доказывается [...]
1. $ax=1/b$
2. $ax=\frac{1}{b(c-c)}$
3. ... ...

$(\forall c \in \mathbb K)(c - c = c + (-c) = 0)$ -- это прямое следствие аксиом, поэтому $(\forall x, c \in \mathbb K) (0 \cdot x = (c - c) \cdot x)$.
А $b = b \cdot (c - c)$ Вы, простите, из какого места достали?

errnough в сообщении #313423 писал(а):

Так "доказать" можно всё что угодно, кроме истины.

Ну так попробуйте, докажите хоть что-нибудь.

(Оффтоп)

Пора с Свободный полет переезжать.

[Jnrty]

errnough в сообщении #313423 писал(а):

С аксиомами еще смешнее, Пеано не решается доказывать, и вводит как аксиому, а Someone запросто его доказывает.

Вы про что? Про мультипликативное свойство нуля? Для обсуждения уравнения $0\cdot x=b$ совершенно не важно, откуда взялось это свойство. Разрешимость, то есть, существование решений у уравнения $0\cdot x=0$ доказывается предъявлением конкретного решения $x=0$, а неразрешимость уравнения $0\cdot x=b$ при условии $b\neq 0$ следует из того, что для любого $x$ выполняется $0\cdot x=0$ - в силу мультипликативного свойства нуля.
Само же мультипликативное свойство нуля может быть аксиомой или теоремой - в зависимости от способа построения теории.
Пеано строит арифметику натуральных чисел "с нуля", поэтому он должен определить арифметические операции, и индуктивное определение умножения начинается с условия $0\cdot n=0$ для любого натурального числа $n$. Если мы далее, исходя из натуральных чисел, будем строить последовательно целые, рациональные, действительные, комплексные числа, то нам на каждом шаге построения придётся тем или иным способом доказывать мультипликативное свойство нуля для более широкого числового множества как теорему.
Someone в том сообщении, на которое он ссылается, доказывает мультипликативное свойство нуля, исходя из аксиом кольца. Здесь кольцо вместе со всеми нужными операциями предполагается заданным, а мультипликативное свойство нуля является теоремой, поскольку среди аксиом кольца его нет.

errnough в сообщении #313423 писал(а):

Всмотритесь в это доказательство.

Докажем, что $ax=b$при $a=0$, $b=0$ разрешимо:
1. $0x=0$,
2. $0x=(c-c)b=bc-bc=0$,
— истинно.

Всмотрелся.

errnough в сообщении #313423 писал(а):

Может, такой прием доказательства настолько универсален, что сгодится, наверное, и здесь:

Дано: $ax=1/b$. Доказывается [...]
1. $ax=1/b$
2. $ax=\frac{1}{b(c-c)}$
3. ... ...

Так "доказать" можно всё что угодно, кроме истины.

И в это тоже всмотрелся. Вы совершенно правы: так "доказать" можно что угодно (так случайно можно доказать и истинное утверждение, но Вы, конечно, в этом не виноваты).

Jnrty:

Я Вас предупреждал? Предупреждал. С блокированием пока подожду, но тему закрою. Если же опять замечу явный троллинг - заблокирую.