Есть ли синтаксис в математике?

[ewert]

errnough в сообщении #310476 писал(а):

Не увидел также обоснования, почему не верно мое определение суммы векторов,

Пожалуйста:

errnough в сообщении #308039 писал(а):

Вычитание векторов ничему не соответствует в физической действительности.

Это противоречит хотя бы следующему:

errnough в сообщении #310476 писал(а):

И в математике это используется в определении производной вектор-функции.

Достаточно?

А то можно продолжить:

errnough в сообщении #308039 писал(а):

Примем за истинные посылки:
1. Можно задать декартову систему координат (СК).

И этого самого по себе достаточно: Вы путаете причины со следствиями. Координаты -- это вторичный объект по отношению к геометрии, в т.ч. и к векторам.

Но если и этого мало, то можно и ещё:

errnough в сообщении #308055 писал(а):

5. Двумя различными отрезками будут считаться такие, для которых можно указать хотя бы одну точку одного отрезка, координаты которой не совпадают с какой-либо точкой второго.

Это означает, что Вы рассматриваете связанные векторы, а не свободные. Но для связанных векторов операция сложения и впрямь бессмысленна.

Короче, Вы просто не понимаете, что такое вектор. Так как же вы можете надеяться опровергнуть хоть что-то, связанное с векторами?...

[errnough]

errnough в сообщении #310476 писал(а):

...суммы векторов...

ewert в сообщении #310483 писал(а):

Пожалуйста:

errnough в сообщении #308039 писал(а):

Вычитание векторов...

Не вижу логической связи. В ответ на высказывание (что-то о чем-то) о "сумме", аргументировать высказыванием о "вычитании"? Вы не пользуетесь логикой, ewert? Это софизм, и называется он «подмена тезиса».

ewert в сообщении #310483 писал(а):

Это противоречит хотя бы следующему:

errnough в сообщении #310476 писал(а):

И в математике это используется в определении производной вектор-функции.

Указал "где" и всё. Разве это было мое высказывание о производной вектор-функции (т.е. что-то и чем-то)? Разве можно показать противоречие с высказыванием, которого не существует? Я утверждаю "что": вектор-функцию, как объект, рассматривают на незаконно кастрированном пространстве только из радиус-векторов. Отсюда сразу следует, что первая же попытка рассмотреть дельта-вектор дает вектор, уже не принадлежащий пространству из условия. И т.п. следствия. Если вычитание незаконно и вычитание используется в [...], то [...] незаконно. Обычная логика, с запретом противоречий, и игнорированием мнением авторитетов.

errnough в сообщении #308039 писал(а):

Примем за истинные посылки:
1. Можно задать декартову систему координат (СК).

ewert в сообщении #310483 писал(а):

Координаты -- это вторичный объект по отношению к геометрии, в т.ч. и к векторам.

Вот как.., координаты вторичны, то есть их можно ввести после введения векторов? Может, дадите определение длины вектора, и укажете процедуру сравнения для трех различных векторов по длине и обойдетесь без предсуществующих этому координат? Надеюсь, что определение «вектор суть стрелка» не будет для Вас строгим определением вектора? Есть еще вариант, можно сказать, что: либо мое утверждение 1. ложно; либо Вы игнорируете его, и пытаетесь построить заключение, выбрасывая те истины, которые в данный момент в рассуждении неудобны. Есть название этому последнему: спекуляция. Впрочем, последнее, выбрасывание истинной посылки, чтобы избежать утверждения о ее истинности, по сути, то же, что утверждение «1. — ложно». Высказанное явно, оно становится исходной посылкой, в которой отрицается истина. Найти истинность такой посылки предоставляю читателю.

errnough в сообщении #308055 писал(а):

5. Двумя различными отрезками будут считаться такие, для которых можно указать хотя бы одну точку одного отрезка, координаты которой не совпадают с какой-либо точкой второго.

ewert в сообщении #310483 писал(а):

Это означает, что Вы рассматриваете связанные векторы, а не свободные. Но для связанных векторов операция сложения и впрямь бессмысленна.

Хотите, откроем новую тему с Вашим утверждением "для связанных векторов операция сложения бессмысленна"? Где откроем, в физике? Засмеют. В математике? Не сможете это утверждение доказать.

[Xaositect]

errnough в сообщении #310520 писал(а):

Вот как.., координаты вторичны, то есть их можно ввести после введения векторов?

Разумеется. Сначала аксиомы геометрии, а потом векторы и координаты.

[errnough]

Xaositect в сообщении #310524 писал(а):

Сначала аксиомы геометрии, а потом векторы и координаты.

Нечеткое высказывание. Тезис: сначала вектор, потом координаты. Я утверждаю: тезис ложный. Вы уже попробовали логически построить цепочку определения для вектора без использования понятия координат?

Предложу логику из БСЭ:

1. Вектором называют направленный отрезок (рис. 1), то есть отрезок, у которого указаны начало (называется также точкой приложения вектора) и конец.

2. Отрезок, сегмент (в математике), множество точек на прямой, расположенных между двумя точками $A$ и $B$, включая сами точки $A$ и $B$. Иначе говоря, Отрезок есть множество точек на прямой, координаты которых удовлетворяют условиям $a < x < b$ ($a$ и $b$ — координаты концов Отрезок); Отрезок обозначают $[a, b]$.

По логике БСЭ, вектор отрезок, но отрезок использует понятие координат. Что-то не так?

Предвижу попытку использовать только термин "между". А что такое "лежать между"? До свидания Эвклид, здравствуй, задача для Гильберта... Можно еще попытаться отрицать, что в определении объекта обязаны содержаться свойства объекта. То есть, мы знаем о свойстве "длина вектора", наследуемое из "длина отрезка", но сейчас нам удобнее забыть о нем, и мы дадим вектору определение покороче... Поскольку же Вы отказываетесь обсуждать вопросы философии физики и математики, то эту эквилибристику с припрятыванием исходных посылок Вам не покажешь. Нельзя, по-Вашему даже аристотелевскую логику использовать, она неудобная, и кроме этого, это чистая философия.

Фактически, существуют определения: геометрическое (направленный отрезок), алгебраическое (элемент векторного пространства) и аналитическое (координаты, как упорядоченный набор чисел). В скобках даны удобные для спекуляций усеченные, размытые определения. Но поскольку они все существуют одновременно, и используются например, вот так:

3. Векторное исчисление, математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и направленностью (например, сила, ускорение, скорость).

Очевидно, из логики той же БСЭ, что в понятии вектор содержатся все три вида определений.

[Xaositect]

errnough в сообщении #310547 писал(а):

Предвижу попытку использовать только термин "между". А что такое "лежать между"?

Понятие "лежать между" неопределяемо, его свойства задаются аксиомами порядка:
1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.
2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.
3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

-- Сб апр 17, 2010 14:03:43 --

errnough в сообщении #310547 писал(а):

Очевидно, из логики той же БСЭ, что в понятии вектор содержатся все три вида определений.

Ну, наилучшим определением вектора на мой взгляд является "Вектор - это элемент векторного пространства".

[Maslov]

(Оффтоп)

errnough, вопрос немного в сторону.
Вы не признаёте аксиоматического подхода в математической логике. А в какой-нибудь другой области математики Вы его признаёте? И если да, то в какой?

[AV_77]

errnough в сообщении #310547 писал(а):

Вы уже попробовали логически построить цепочку определения для вектора без использования понятия координат?

Поищите "Алгебраическая геометрия" Э. Артина. Там хорошо написано как вводятся векторы и как определяется система координат.

[errnough]

Если провести опрос среди математиков, какая операция будет обратной к операции сложение, то 99% назовет вычитание. Но у меня твердое убеждение, что для сложения обратная операция — разложение.

Xaositect в сообщении #310550 писал(а):

Понятие "лежать между" неопределяемо

Это не так. Если у Гильберта понятие "лежать между" описывается четырьмя аксиомами, то это и есть определение понятия. Четвертая аксиома это аксиома Паша. В современных текстах стремление побольше ввести неопределяемых понятий хорошо заметно. Что подразумевать в ситуации, когда в книге понятие используется, но определение не дано: понятие не определяемо, или можно взять его совсем рядышком, в другой книге, на той же полке? Можно ли «не замечать» истину, явно не отрицая ее? Геометрия Гильберта содержит ложные утверждения?

AV_77 в сообщении #310575 писал(а):

"Алгебраическая геометрия" Э. Артина. Там хорошо написано как вводятся векторы

Впервые слово с корнем "вектор" встречается на стр.17: «Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием и элементарными свойствами векторного пространства». Слово целиком, вектор, встречается в определении нулевого вектора (это, очевидно, вид из общего рода "вектор", определения которого в книге нет). И дается это определение через операцию в пространстве. Вы не читали эту книгу? Где в ней конкретно ввод понятия вектор?

2 Xaositect:
однако, в этой книге на стр.18 есть интересное утверждение: «каждый вектор представим в виде линейной комбинации других векторов». Там же дано определение базиса в векторном пространстве. Скажите, что означает операция разложения вектора $A$ по базису $i,j$, если у нас векторное пространство размерностью два? И что означают коэффициенты разложения?

Вообще, я могу задать пространство математических высказываний. И определить характеристику "близость" (расстоянием у меня язык не повернется назвать) между высказываниями, близость между словами в высказывании, близость символов и т.д., в этом пространстве. Можно ли это сделать, строго не определив вначале элемент «математическое высказывание»? Могу ли я задать хоть одну операцию с объектом (элементом) пространства, не зная его свойств, например, что есть близость, правило различения, свойство тождественности, изотропность внутри себя? А что такое пространство, где не определены элементы и операции с ними? Ничто, одно название.

Векторное пространство, это пространство(вместилище) для векторов, или вектора сами задают пространство? Какая-то подозрительно искусственная слепота обнаруживается, — дав вначале простенькое определению вектору, переходят затем к пространству с векторами в качестве элементов, и выясняется, что для операций в пространстве необходимо знать, а если вообще такие свойства у элементов. В нашем случае, координаты, длина и направление? Дают описание свойств, но при этом в параллельном рассмотрении не хотят признавать, что добавили исходные посылки в определение вектора. Если они существуют и истинны, то каковы мотивы их игнорировать, но не отрицать явно?

Вообще говоря, стоит рассмотреть, возможно ли обосновать логически игнорирование какой-то известной истины. И что бы означало упорное игнорирование хотя бы одной. Возьмем физическую действительность. Идет суд. На скамье подсудимых конченный негодяй. Прокурор излагает обвинение G, выдвинув доказанные утверждения $a,b,c,d,e$. У честного судьи складывается твердое убеждение, что если $(a\text{ и }b\text{ и }c\text{ и }d\text{ и }e)$, то $G$. Хитрый адвокат находит всего одно доказанное утверждение $f$, такое, что если $(a\text{ и }b\text{ и }c\text{ и }d\text{ и }e\text{ и }f)$, то $G$ вывести не удается. Может ли судья выкинуть из рассмотрения неудобное для его убежденности утверждение $f$? Чаще всего, в нашей действительности, может, если он уже поменял убежденность при помощи энной суммы денег... Но по условию судья честный и вынужден следовать кодексу.

[ewert]

errnough в сообщении #310547 писал(а):

Предложу логику из БСЭ:

1. Вектором называют направленный отрезок (рис. 1), то есть отрезок, у которого указаны начало (называется также точкой приложения вектора) и конец.

Никогда, никогда не учите математику по БСЭ. Этот текст написан крайне небрежно (даром что Э.Г.Позняк):

Цитата:

Вектором называют направленный отрезок (рис. 1), то есть отрезок, у которого указаны начало (называется также точкой приложения вектора) и конец. Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора a обозначается |a|. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными. Изображенные на рис. 1 векторы а и b коллинеарны и равны. В Векторное исчисление рассматриваются свободные векторы.

Но, между прочим, тут всё-таки чётко указано, что рассматриваются именно свободные векторы. Правда, автор забыл объяснить, что это такое. А заодно и что такое нулевой вектор.

errnough в сообщении #310856 писал(а):

Скажите, что означает операция разложения вектора $A$ по базису $i,j$, если у нас векторное пространство размерностью два? И что означают коэффициенты разложения?

Означают координаты. По определению координат.

[errnough]

ewert в сообщении #310866 писал(а):

никогда не учите математику по БСЭ. Этот текст написан крайне небрежно

Может, неудобно написан? Мне всё равно, какие тексты исследовать. Хоть дизассемблерный листинг. Вопрос, который мне интересен, тексты в математических книгах строго разделены на непересекающиеся подмножества высказываний? Высказывание типа теоремы в одной книге не является теоремой для контекста другой? Если не является, чем же занимаются математики, каждый для себя?

ewert в сообщении #310866 писал(а):

Правда, автор забыл объяснить, что это такое. А заодно и что такое нулевой вектор.

Нулевой вектор та еще штучка. Можете сказать, у нулевого вектора есть координаты?

[ewert]

errnough в сообщении #310869 писал(а):

Можете сказать, у нулевого вектора есть координаты?

Есть.

[Xaositect]

errnough в сообщении #310856 писал(а):

Если провести опрос среди математиков, какая операция будет обратной к операции сложение, то 99% назовет вычитание. Но у меня твердое убеждение, что для сложения обратная операция — разложение.

Xaositect в сообщении #310550 писал(а):

Понятие "лежать между" неопределяемо

Это не так. Если у Гильберта понятие "лежать между" описывается четырьмя аксиомами, то это и есть определение понятия. Четвертая аксиома это аксиома Паша. В современных текстах стремление побольше ввести неопределяемых понятий хорошо заметно. Что подразумевать в ситуации, когда в книге понятие используется, но определение не дано: понятие не определяемо, или можно взять его совсем рядышком, в другой книге, на той же полке? Можно ли «не замечать» истину, явно не отрицая ее? Геометрия Гильберта содержит ложные утверждения?

Неопределяемые понятия - это те, которые не сводят к другим. Их свойства даются в аксиомах, это можно считать некоторой формой "определения", но нет явного определения этих понятий через другие.

Цитата:

однако, в этой книге на стр.18 есть интересное утверждение: «каждый вектор представим в виде линейной комбинации других векторов». Там же дано определение базиса в векторном пространстве. Скажите, что означает операция разложения вектора $A$ по базису $i,j$, если у нас векторное пространство размерностью два? И что означают коэффициенты разложения?

Операция разложения - это представление вектора $a$ в виде $c_i i + c_j j$. Геометрически: мы откладываем все три вектора от одной точки, проводим прямые вдоль $i$ и $j$, проецируем на них $a$, тогда $a$ - сумма векторов-проекций, а проекции коллинеарны $i$ и $j$, т.е. $c_i i$ и $c_i j$.
Коэффициенты разложения - их еще называют координатами вектора в базисе - это отношения проекции $a$ на направления $i$ вдоль $j$ и на $j$ вдоль $i$ к длинам $i$ и $j$ соответственно.

Цитата:

Векторное пространство, это пространство(вместилище) для векторов, или вектора сами задают пространство? Какая-то подозрительно искусственная слепота обнаруживается, — дав вначале простенькое определению вектору, переходят затем к пространству с векторами в качестве элементов, и выясняется, что для операций в пространстве необходимо знать, а если вообще такие свойства у элементов. В нашем случае, координаты, длина и направление? Дают описание свойств, но при этом в параллельном рассмотрении не хотят признавать, что добавили исходные посылки в определение вектора. Если они существуют и истинны, то каковы мотивы их игнорировать, но не отрицать явно

Я вам открою страшную тайну, векторами могут быть совершенно разные объекты: коплексные функции, булевы функции, многочлены, операторы, взвешенные суммы элементов группы, ординалы и т.п. Все зависит только от того, можно ли "правильно" ввести на них сложение и умножение. На некоторых векторных пространствах можно ввести длину, на некоторых нельзя.

Цитата:

Вообще говоря, стоит рассмотреть, возможно ли обосновать логически игнорирование какой-то известной истины. И что бы означало упорное игнорирование хотя бы одной. Возьмем физическую действительность. Идет суд. На скамье подсудимых конченный негодяй. Прокурор излагает обвинение G, выдвинув доказанные утверждения $a,b,c,d,e$. У честного судьи складывается твердое убеждение, что если $(a\text{ и }b\text{ и }c\text{ и }d\text{ и }e)$, то $G$. Хитрый адвокат находит всего одно доказанное утверждение $f$, такое, что если $(a\text{ и }b\text{ и }c\text{ и }d\text{ и }e\text{ и }f)$, то $G$ вывести не удается. Может ли судья выкинуть из рассмотрения неудобное для его убежденности утверждение $f$? Чаще всего, в нашей действительности, может, если он уже поменял убежденность при помощи энной суммы денег... Но по условию судья честный и вынужден следовать кодексу.

Так не бывает, выводимость монотонна: если $A,B,C,D\vdash G$, то необхдимо $A,B,C,D,E\vdash G$.

[errnough]

Xaositect в сообщении #310876 писал(а):

Неопределяемые понятия — это те, которые не сводят к другим.

Ладно, это слишком широкий тезис, о понятиях и аксиомах, и в чем отличие аксиомы от других высказываний в определениях...

Насчет разложения вектора по базису.
Во-первых, можно было попробовать не использовать понятие "проекция", поскольку базис не обязан быть из ортогональных векторов. Из того, что Вы сами выбрали как более точное, алгебраическое определение для вектора, то стало бы очевидно, что разложение любого вектора $\vec{A}$ по базису неколлинеарных векторов $i,j$, в терминах этого определения по формуле $\vec{A}=c_i \vec{i} + c_j \vec{j}$ означает именно то, что Вы не хотели признавать: сумму векторов по правилу параллелограмма, построенных на основе базисных с использованием чисел $c_i, c_j$. Я к этому и хотел подвести.

Во-вторых, задача получения чисел $c_i, c_j$ возвратила бы нас к определению длины вектора в числах, и опять же, не вижу иного, как введения ортогонального базиса. Он должен предсуществовать для произвольного базиса, иначе процедура умножения длины вектора на число не определено.

Xaositect в сообщении #310876 писал(а):

векторами могут быть совершенно разные объекты

Не соглашусь, бездумное расширение приведет к противоречию. Например, можно попробовать сказать, что некоторую характеристику объекта можно представить в виде вектора. Тогда и площадь, или скажем, температуру, казалось бы, можно представить в виде вектора... Если следуем логике, тогда законен вопрос, чему равна длина площади? Но опять же, это всё широкий тезис, а его обсуждать непродуктивно.

Цитата:

Хитрый адвокат находит всего одно доказанное утверждение $f$ такое, что если $(a\text{ и }b\text{ и }c\text{ и }d\text{ и }e\text{ и }f)$, то $G$ вывести не удается.

Xaositect в сообщении #310876 писал(а):

Так не бывает, выводимость монотонна: если $A,B,C,D\vdash G$, то необхдимо $A,B,C,D,E\vdash G$.

Утверждение $f$ называется алиби. И судья уже не может построить силлогизм «если $(a\text{ и }b\text{ и }c\text{ и }d\text{ и }e\text{ и }f)$, то $G$». Это реальность по аристотелевской логике, а современная логическая импликация ей не соответствует.

[Xaositect]

errnough в сообщении #310909 писал(а):

Насчет разложения вектора по базису.
Во-первых, можно было попробовать не использовать понятие "проекция", поскольку базис не обязан быть из ортогональных векторов. Из того, что Вы сами выбрали как более точное, алгебраическое определение для вектора, то стало бы очевидно, что разложение любого вектора $\vec{A}$ по базису неколлинеарных векторов $i,j$, в терминах этого определения по формуле $\vec{A}=c_i \vec{i} + c_j \vec{j}$ означает именно то, что Вы не хотели признавать: сумму векторов по правилу параллелограмма, построенных на основе базисных с использованием чисел $c_i, c_j$. Я к этому и хотел подвести.

Во-вторых, задача получения чисел $c_i, c_j$ возвратила бы нас к определению длины вектора в числах, и опять же, не вижу иного, как введения ортогонального базиса. Он должен предсуществовать для произвольного базиса, иначе процедура умножения длины вектора на число не определено.

Проекция бывает не только ортогональная, но еще вдоль вектора на прямую.
И да, здесь речь идет о свободных векторах. Для них как не прикладывай, по треугольнуку, по параллелограмму - сумма будет одна и та же.
Длина вектора сводится к длине отрезка, а длина отрезка вводится посредством процедуры измерения с помощью аксиом полноты.

Цитата:

Xaositect в сообщении #310876 писал(а):

векторами могут быть совершенно разные объекты

Не соглашусь, бездумное расширение приведет к противоречию. Например, можно попробовать сказать, что некоторую характеристику объекта можно представить в виде вектора. Тогда и площадь, или скажем, температуру, казалось бы, можно представить в виде вектора... Если следуем логике, тогда законен вопрос, чему равна длина площади? Но опять же, это всё широкий тезис, а его обсуждать непродуктивно.

Это удобно.

Цитата:

Цитата:

Хитрый адвокат находит всего одно доказанное утверждение $f$ такое, что если $(a\text{ и }b\text{ и }c\text{ и }d\text{ и }e\text{ и }f)$, то $G$ вывести не удается.

Xaositect в сообщении #310876 писал(а):

Так не бывает, выводимость монотонна: если $A,B,C,D\vdash G$, то необхдимо $A,B,C,D,E\vdash G$.

Утверждение $f$ называется алиби. И судья уже не может построить силлогизм «если $(a\text{ и }b\text{ и }c\text{ и }d\text{ и }e\text{ и }f)$, то $G$». Это реальность по аристотелевской логике, а современная логическая импликация ей не соответствует.

Значит, ее и до того нельзя было вывести, а можно было только "если a,b,c,d, то скорее всего G". Это называется модальная логика.

[ewert]

errnough в сообщении #310909 писал(а):

задача получения чисел $c_i, c_j$ возвратила бы нас к определению длины вектора в числах, и опять же, не вижу иного, как введения ортогонального базиса.

Длина для определения понятия координат вовсе не нужна, это уже некоторая надстройка. А ортогональность (вообще угол) -- это ещё более надстройка.

errnough в сообщении #310909 писал(а):

иначе процедура умножения длины вектора на число не определено.

Процедура умножения длины на число определена всегда. Даже если нет понятия ортогональности.

errnough в сообщении #310909 писал(а):

Тогда и площадь, или скажем, температуру, казалось бы, можно представить в виде вектора... Если следуем логике, тогда законен вопрос, чему равна длина площади?

Вполне законен. Если иметь в виду векторную площадь (а её очень даже имеют в виду). Но произносят при этом, разумеется, слова не "длина площади", а "модуль площади".