2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15  След.
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение22.04.2010, 12:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6345
errnough в сообщении #312039 писал(а):
Xaositect в сообщении #311810 писал(а):
Существует единственный нулевой свободный вектор, представителями которого являются континуум

Почему же тогда в математике не разрешено сказать то же самое про «решения» вот этого уравнения:
$0\cdot x=0$
Пусть у нас единственным решением будет $x=0$, а все остальные числа являются представителями этого решения?

Потому что вначале определяются векторы как классы эквивалентности и их сложение, а уже потом оказывается, что один из них является нейтральным относительно сложения. Т.е. то, что все векторы $\vec{AA}$ являются представителями $\vec{0}$, доказывается без использования сложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение22.04.2010, 14:45 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Пусть «решения уравнения» это класс эквивалентности. Все решения уравнения $0\cdot x=0$ эквивалентны. Это все точки числовой прямой. Сложение на числах, если память мне не изменяет, определено. Одно из этих решений нейтрально относительно сложения. Сохраняя общность рассмотрения в математике, уравнение $0\cdot x=0$ имеет целый класс решений. Каждое решение является представителем класса. Значит, уравнение $0\cdot x=0$ разрешимо, и имеет, например, решение $x=3$. Что-то не так?

ewert в сообщении #312049 писал(а):
Он вполне однозначен. Как класс эквивалентности.

Класс и конкретный экзепляр из класса сильно разные вещи. Вы знаете, чем различается общее и конкретное?

ewert в сообщении #312049 писал(а):
Вы знаете, что такое изоморфность?

В течение получаса я буду знать всё, что Вы спросите :) Математика это не противовзломная защита с расставленными логическими ловушками. Намного, намного проще... :)

Например, изоморфны система $R$ всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения $x = x_1+ x_2$ и система $P$ положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения $y = y_1\cdot y_2$.
ewert в сообщении #312049 писал(а):
что такое нулевой элемент вообще?

Мы говорим о конкретном — о векторном пространстве. Одно из условий (разные источники называют их по-разному, некоторые называют условия аксиомами, по-видимому, математики не придают этому особое значения) которому удовлетворяет множество векторов, чтобы быть названным векторным пространством:
    «[...]
    3) В множестве векторов $V$ существует однозначно определенный вектор $0$ (называемый началом) такой, что $x+0=x$ для каждого вектора $x$,
    4) Каждому вектору $x$ из $V$ отвечает однозначно определенный вектор $-x$ такой, что $x+(-x)=0$
    [...]»
    [П. Халмош, Конечномерные векторные пространства, М.: 1963. стр. 12]

Чтобы подчеркнуть, что именно автор подразумевает под «однозначно определенным вектором», мной специально приведено следующее условие, отделенное от предыдущего запятой. Предполагая, что в одной фразе автор не станет совмещать противоречащие друг другу высказывания, что по-Вашему, в условии 4), целый класс эквивалентности, т.е. некое множество $-x$, или единственный объект в заданном множестве $V$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение22.04.2010, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6345
errnough в сообщении #312115 писал(а):
Пусть «решения уравнения» это класс эквивалентности. Все решения уравнения $0\cdot x=0$ эквивалентны. Это все точки числовой прямой. Сложение на числах, если память мне не изменяет, определено. Одно из этих решений нейтрально относительно сложения. Сохраняя общность рассмотрения в математике, уравнение $0\cdot x=0$ имеет целый класс решений. Каждое решение является представителем класса. Значит, уравнение $0\cdot x=0$ разрешимо, и имеет, например, решение $x=3$. Что-то не так?
Да, что-то не так. Классы эквивалентности строятся следующим образом: есть множество $M$, на нем задается некоторое отношение эквивалентности $\sim$. Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, все элементы которого эквивалентны, а множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством $M/\sim$.
Укажите в Вашем случае $M$ и $\sim$.

Цитата:
ewert в сообщении #312049 писал(а):
что такое нулевой элемент вообще?

Мы говорим о конкретном — о векторном пространстве. Одно из условий (разные источники называют их по-разному, некоторые называют условия аксиомами, по-видимому, математики не придают этому особое значения) которому удовлетворяет множество векторов, чтобы быть названным векторным пространством:
    «[...]
    3) В множестве векторов $V$ существует однозначно определенный вектор $0$ (называемый началом) такой, что $x+0=x$ для каждого вектора $x$,
    4) Каждому вектору $x$ из $V$ отвечает однозначно определенный вектор $-x$ такой, что $x+(-x)=0$
    [...]»
    [П. Халмош, Конечномерные векторные пространства, М.: 1963. стр. 12]

Чтобы подчеркнуть, что именно автор подразумевает под «однозначно определенным вектором», мной специально приведено следующее условие, отделенное от предыдущего запятой. Предполагая, что в одной фразе автор не станет совмещать противоречащие друг другу высказывания, что по-Вашему, в условии 4), целый класс эквивалентности, т.е. некое множество $-x$, или единственный объект в заданном множестве $V$?

Есть множество связанных векторов $M$ и отношение эквивалентности на нем $\sim$ (два вектора эквивалентны, если они параллельны, сонаправлены и имеют в основе конгруэнтные отрезки). Значит, можно построить множество $V = M/\sim$ и назвать его элементы свободными векторами. И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$. Т.е. в данном конкретном примере линейного пространства $x$, $-x$, $0$ - это свободные векторы, то бишь классы эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 11:11 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Xaositect в сообщении #312190 писал(а):
есть множество $M$, на нем задается некоторое отношение эквивалентности $\sim$. Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, все элементы которого эквивалентны, а множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством $M/\sim$.
Укажите в Вашем случае $M$ и $\sim$.

Есть множество действительных чисел $R$, элемент которого обозначим символом $x$. На $R$ задается отношение эквивалентности: «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$». Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, (у нас — совпадающее с $M$), все элементы которого эквивалентны в этом отношении.

Надеюсь, доказательство, что любое $x$ из $R$ обращает в верное числовое равенство уравнение, не нужно... Далее, по определению, решение уравнения есть значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Поскольку мы уже задали $M$, мы можем выбрать элемент из $M$. Берем, к примеру, значение переменной $x=3$, убеждаемся в верном числовом равенстве. Отсюда, по определению, $x=3$ есть одно из решений неразрешимого уравнения $0\cdot x=0$, что есть противоречие.

Проблема здесь в том, что расширение понятия (переход к классу) открыло черный ход к процедуре нахождения решений для уравнения, которое из-за неопределенности в аналитическом виде такую процедуру вообще не допускает. Процедура послушно начала работать и выдавать значения переменной... Вот только она никогда не остановится, и мы висим в мертвом цикле. Вы же сами знаете, к чему иногда приводит расширение тезиса (понятия, термина) в логике...

Xaositect в сообщении #312190 писал(а):
Есть множество связанных векторов $M$ и отношение эквивалентности на нем $\sim$ (два вектора эквивалентны, если они параллельны, сонаправлены и имеют в основе конгруэнтные отрезки). Значит, можно построить множество $V = M/\sim$ и назвать его элементы свободными векторами. И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$. Т.е. в данном конкретном примере линейного пространства $x$, $-x$, $0$ - это свободные векторы, то бишь классы эквивалентности.


Вы пишите: «И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$.» Логически, это неверный построенный вывод, поскольку термин $\mathbb{R}$ появился один раз, только в заключении, но термина этого нет в посылках. Логический вывод можно сделать, например, про $M$ и $V$.

Сначала есть просто произвольное множество, назовем $K_1$. Его проверяют на соответствие условиям (аксиомам) поля, и тогда называют полем. Затем берут произвольное множество $K_2$. Его проверяют на соответствие очень похожим условиям (аксиомам). И называют его пространством.

Изображение

Если Вы предлагаете над $K_1$, полем связанных векторов, построить $K_2$, пространство свободных векторов, то сначала нужно показать, что $K_1$ отвечает аксиомам поля. Я вижу, что $K_1$ это не поле. Ну, и более слабый аргумент: даже если бы $K_1$ оказалось полем, и $K_2$ соответствовало аксиомам для задания векторного пространства над $K_1$, то в $K_1$, в множестве связанных векторов, нет однозначно определенного нулевого элемента, и пространство $K_2$ просто унаследует эту проблему.

Честно признаюсь, вообще что-то не пойму этой логики. Введение пространства просто проецирует(переносит) элементы поля (одно множество) в пространство (другое множество), и элементы поля становятся элементами пространства? Но это же противоречит условию, где рассматривается только элементы пространства, а поле упоминается только в смысле, что оно есть. Должно быть явное утверждение про это. Сравнивая у Халмоша аксиомы для поля и для пространства видно оговорку: «эти аксиомы не претендуют на логическую независимость; они просто являются удобной характеризацией объектов». По человечески понятно, в запутанной ситуации сослаться на "а нам так удобно...". Странно только, почему этому не придать действительно строгий вид, без этого произвола. Либо аксиома, либо "нам так удобно", а одновременность употребления сих терминов есть противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 11:27 
Заслуженный участник


11/05/08
31992
errnough в сообщении #312380 писал(а):
Есть множество действительных чисел $R$, элемент которого обозначим символом $x$. На $R$ задается отношение эквивалентности: «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$».

Это -- не отношение эквивалентности. Это -- вообще не отношение. Отношение -- оно между двумя элементами.

errnough в сообщении #312380 писал(а):
Если Вы предлагаете над $K_1$, полем связанных векторов, построить $K_2$, пространство свободных векторов, то сначала нужно показать, что $K_1$ отвечает аксиомам поля.

Боже, что за путаница. Над связанными векторами никто не пытается ничего строить. На основе связанных векторов строят новые объекты с помощью процедуры факторизации. К линейным пространствам эта процедура вообще ни малейшего отношения не имеет. То, что в результате линейная структура всё-таки появляется -- это, в некотором смысле, чистая случайность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6345
errnough в сообщении #312380 писал(а):
Xaositect в сообщении #312190 писал(а):
есть множество $M$, на нем задается некоторое отношение эквивалентности $\sim$. Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, все элементы которого эквивалентны, а множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством $M/\sim$.
Укажите в Вашем случае $M$ и $\sim$.

Есть множество действительных чисел $R$, элемент которого обозначим символом $x$. На $R$ задается отношение эквивалентности: «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$». Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, (у нас — совпадающее с $M$), все элементы которого эквивалентны в этом отношении.
То, что вы написали, бессмысленно. Отношение должно задаваться между двумя элементами.

Цитата:
Xaositect в сообщении #312190 писал(а):
Есть множество связанных векторов $M$ и отношение эквивалентности на нем $\sim$ (два вектора эквивалентны, если они параллельны, сонаправлены и имеют в основе конгруэнтные отрезки). Значит, можно построить множество $V = M/\sim$ и назвать его элементы свободными векторами. И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$. Т.е. в данном конкретном примере линейного пространства $x$, $-x$, $0$ - это свободные векторы, то бишь классы эквивалентности.


Вы пишите: «И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$.» Логически, это неверный построенный вывод, поскольку термин $\mathbb{R}$ появился один раз, только в заключении, но термина этого нет в посылках. Логический вывод можно сделать, например, про $M$ и $V$.
Я пока не делал никаких логических выводов, я пока просто вводил понятия.

Цитата:
Сначала есть просто произвольное множество, назовем $K_1$. Его проверяют на соответствие условиям (аксиомам) поля, и тогда называют полем. Затем берут произвольное множество $K_2$. Его проверяют на соответствие очень похожим условиям (аксиомам). И называют его пространством.

Изображение

Если Вы предлагаете над $K_1$, полем связанных векторов, построить $K_2$, пространство свободных векторов, то сначала нужно показать, что $K_1$ отвечает аксиомам поля. Я вижу, что $K_1$ это не поле. Ну, и более слабый аргумент: даже если бы $K_1$ оказалось полем, и $K_2$ соответствовало аксиомам для задания векторного пространства над $K_1$, то в $K_1$, в множестве связанных векторов, нет однозначно определенного нулевого элемента, и пространство $K_2$ просто унаследует эту проблему.
Множество связанных векторов не является ни полем, ни векторным пространством.

Цитата:
Честно признаюсь, вообще что-то не пойму этой логики. Введение пространства просто проецирует(переносит) элементы поля (одно множество) в пространство (другое множество), и элементы поля становятся элементами пространства? Но это же противоречит условию, где рассматривается только элементы пространства, а поле упоминается только в смысле, что оно есть. Должно быть явное утверждение про это. Сравнивая у Халмоша аксиомы для поля и для пространства видно оговорку: «эти аксиомы не претендуют на логическую независимость; они просто являются удобной характеризацией объектов». По человечески понятно, в запутанной ситуации сослаться на "а нам так удобно...". Странно только, почему этому не придать действительно строгий вид, без этого произвола. Либо аксиома, либо "нам так удобно", а одновременность употребления сих терминов есть противоречие.
Логическая независимость - это когда ни одна из аксиом не выводится из остальных. Иногда для удобства вводят избыточные аксиомы, которые из остальных выводятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 12:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Примеры отношения эквивалентности найдены здесь:
    Примеры:
  • отношение подобия на множестве треугольников;
  • отношение равенства чисел по модулю n;
  • отношения типа "быть коллегой или быть сокурсником"

Чем мое отношение между числами $x$ «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$» хуже этих примеров? В МАДИ на кафедре АСУ бестолковые преподаватели?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6345
errnough в сообщении #312401 писал(а):
Примеры отношения эквивалентности найдены здесь:
    Примеры:
  • отношение подобия на множестве треугольников;
  • отношение равенства чисел по модулю n;
  • отношения типа "быть коллегой или быть сокурсником"

Чем мое отношение между числами $x$ «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$» хуже этих примеров? В МАДИ на кафедре АСУ бестолковые преподаватели?

Тем, что в нем нет двух связываемых отношением объектов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 12:35 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Хорошо, если простая логика: любое число обращает равенство в верное, и на этом основании любые два числа между собой эквивалентны в этом отношении, не принимается, тогда нужно работать на конкретных примерах.

Разобьем всё множество $\mathbb{R}$ на подмножество отрицательных чисел и подмножество неотрицательных чисел. Между ними есть отношение эквивалентности "при подстановке в переменную $x$ обращать равенство $0\cdot x=0$ в верное". Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, (у нас — совпадающее с $\mathbb{R}$), все элементы которого эквивалентны в этом отношении. Берем, к примеру, два элемента из разных подмножеств $x=3$ и $x=-3$, и убеждаемся в их эквивалентности обращать $0\cdot x=0$ в верное числовое равенство. По определению, решение уравнения есть значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Отсюда, по тому же определению, $x=3$ и $x=-3$ есть два решения неразрешимого уравнения $0\cdot x=0$, что есть противоречие.

-- Пт апр 23, 2010 12:42:43 --

Xaositect в сообщении #312400 писал(а):
Множество связанных векторов не является ни полем, ни векторным пространством.

В качестве чего «множество связанных векторов» выступает в задании векторного пространства свободных векторов? Может, как и $\mathbb{R}$, оно в рассуждении лишнее? Тогда на основании чего задается векторное пространство свободных векторов? Оно может задаваться сразу, без базового поля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6345
errnough в сообщении #312414 писал(а):
Хорошо, если простая логика: любое число обращает равенство в верное, и на этом основании любые два числа между собой эквивалентны в этом отношении, не принимается, тогда нужно работать на конкретных примерах.

Разобьем всё множество $\mathbb{R}$ на подмножество отрицательных чисел и подмножество неотрицательных чисел. Между ними есть отношение эквивалентности "при подстановке в переменную $x$ обращать равенство $0\cdot x=0$ в верное". Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, (у нас — совпадающее с $\mathbb{R}$), все элементы которого эквивалентны в этом отношении. Берем, к примеру, два элемента из разных подмножеств $x=3$ и $x=-3$, и убеждаемся в их эквивалентности обращать $0\cdot x=0$ в верное числовое равенство. По определению, решение уравнения есть значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Отсюда, по тому же определению, $x=3$ и $x=-3$ есть два решения неразрешимого уравнения $0\cdot x=0$, что есть противоречие.

Уравнение не неразрешимо, его корнями являются все действительные числа.

Цитата:
Xaositect в сообщении #312400 писал(а):
Множество связанных векторов не является ни полем, ни векторным пространством.

В качестве чего «множество связанных векторов» выступает в задании векторного пространства свободных векторов? Может, как и $\mathbb{R}$, оно в рассуждении лишнее? Тогда на основании чего задается векторное пространство свободных векторов? Оно может задаваться сразу, без базового поля?

Потому что от того, что мы ввели на $V$ структуру вещественного векторного поля, оно не перестало быть равным $M/\sim$.
Мы строим $V$ как $M/\sim$, а уже потом вводим на нем алгебраическую структуру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 16:14 
Модератор


16/01/07
1566
Северодвинск
 !  Jnrty:
errnough в сообщении #312414 писал(а):
... неразрешимого уравнения $0\cdot x=0$

Меня в школе учили, что уравнение $0\cdot x=0$ имеет бесконечное множество решений. Вы, похоже, в школе не учились, хотя, возможно, регулярно посещали её.

Я уже давно смотрю на Вашу тему (и на многие Ваши сообщения в других темах) и думаю: не закрыть ли её? Не забанить ли errnough за злокачественное невежество? Или за троллинг? У нас тут слишком много уже развелось то ли троллей, прикидывающихся придурками, то ли невежд. Из-за их активности грамотным участникам форума некогда помогать тем, кому действительно можно помочь. Вам же помочь всё равно нельзя. Подумайте над этим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 17:00 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Цитата:
$0\cdot x=0$
Xaositect в сообщении #312456 писал(а):
Уравнение не неразрешимо, его корнями являются все действительные числа.

И следовательно, в аналитическом виде, корень этого уравнения есть $x=0/0$. Откуда очень легко видно, что корни это числа $3$, $-3$, и так дальше, пока не получим все действительные числа...? Неопределенность $0/0$, получается, это никакая не неопределенность, а всё множество $\mathbb{R}$? А может, аналитическая запись корня говорит о том, что уравнение неразрешимо (корни неопределены относительно чисел $\mathbb{R}$), и корней не существует?

Jnrty, Вы согласны с аналитической записью корня этого уравнения? Я не нарушил школьных правил алгебры?

Проблема с этим уравнением только из-за нуля в знаменателе при аналитической записи корня. Например, уравнение $0\cdot t =6$ тоже неразрешимо, и очевидно, по той же причине, из-за нуля в знаменателе в аналитической записи корня $t = 6/0$.

---------
Я акцентирую на том, что про уравнение $0\cdot t =6$ следует говорить «неразрешимо» вместо «не имеет решений(корней)». Точно также про уравнение $0\cdot x=0$ следует говорить «неразрешимо» вместо «имеет корнями все действительные числа».

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6345
errnough в сообщении #312503 писал(а):
Jnrty, Вы согласны с аналитической записью корня этого уравнения? Я не нарушил школьных правил алгебры?

Нарушили. На 0 делить нельзя. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 18:00 
Модератор


16/01/07
1566
Северодвинск
errnough в сообщении #312503 писал(а):
И следовательно, в аналитическом виде, корень этого уравнения есть $x=0/0$.
...
Jnrty, Вы согласны с аналитической записью корня этого уравнения? Я не нарушил школьных правил алгебры?

Не согласен, и правила школьной алгебры Вы нарушили.

 !  Jnrty:
Будете продолжать в том же духе - заблокирую немедленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 18:26 
Заслуженный участник


11/05/08
31992
Jnrty в сообщении #312493 писал(а):
Не забанить ли errnough за злокачественное невежество? Или за троллинг?

За троллинг, конечно. Какое уж тут невежество -- тут нарочитый и демонстративный троллинг.

Но банить, как мне кажется, его не следует. Он забавен. И играется -- только в своей песочнице. А окружающие -- кому любопытно, тоже играются; а кому нет -- просто не обращают внимания.

И ещё. Это пример того, как не следует троллить. И этим поучителен. (Хотя, конечно, курсы повышения квалификации троллей -- для форума не особенно полезны...)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 213 ]  На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group