2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15  След.
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение23.04.2010, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
По определению операции деления частным не может быть множество. Хотя бы поэтому $\frac00$ не определено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение24.04.2010, 16:35 
Экс-модератор


17/06/06
5004
arseniiv в сообщении #312550 писал(а):
По определению операции деления
Можно короче: "По определению операции." :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение24.04.2010, 17:32 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
По профессиональной этике, математик может утверждать в математике только то, что он может доказать. Это же записано в правилах форума.

Есть одинаковые утверждения, о неразрешимости уравнения вида $ax=b$ от авторов утверждений bot и shwedka:

1.
Цитата:
$0\cdot t =6$ , откуда
$t = 6/0$
shwedka в сообщении #225699 писал(а):
Нет, неопределенностью называется совсем другое. Посмотрите в учебнике. У Вас получилось неразрешимое уравнение. Запрещенная операция, деление на ноль.


2.
bot в сообщении #73791 писал(а):
Разделить число $b$ на число $a$ в произвольном поле означает найти элемент $x$ этого поля, удовлетворяющий уравнению $ax=b$. Не так ли?
Если $a\ne 0$, то эта задача однозначно разрешима. Если же $a=0$, то при $b\ne 0$ уравнение неразрешимо, а при $b=0$ любой элемент поля будет решением. И в том и в другом случае ввести операцию деления нам не удастся.

Не требуя от авторов процитированных утверждений конкретного доказательства по конкретному утверждению, (предполагаю, что оно у них есть) мне интересно, можно ли, не нарушая общности рассмотрения, доказать два утверждения для одного уравнения вида $ax=b$ в поле $\mathbb{R}$:

  • его неразрешимость при $a=0$, $b\ne 0$;
  • его разрешимость при $a=0$, $b=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение24.04.2010, 19:57 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
errnough в сообщении #312800 писал(а):
мне интересно, можно ли, не нарушая общности рассмотрения, доказать два утверждения для одного уравнения вида $ax=b$ в поле $\mathbb{R}$:

* его неразрешимость при $a=0$, $b\ne 0$;
* его разрешимость при $a=0$, $b=0$.
$(\forall x \in \mathbb R)(0 \cdot x = 0)$, поэтому любое $x \in \mathbb R$ является решением уравнения $a x = b~ \text{при}~ a = 0, b = 0$.
В то же время $(\forall x \in \mathbb R) (0 \cdot x = 0) \Leftrightarrow (\nexists x \in \mathbb R) (0 \cdot x \neq 0)$, поэтому не существует $x \in \mathbb R$, являющихся решением уравнения $a x = b~ \text{при}~ a = 0, b \neq 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение24.04.2010, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17356
Москва
errnough в сообщении #312800 писал(а):
Не требуя от авторов процитированных утверждений конкретного доказательства по конкретному утверждению, (предполагаю, что оно у них есть) мне интересно, можно ли, не нарушая общности рассмотрения, доказать два утверждения для одного уравнения вида $ax=b$ в поле $\mathbb{R}$:

* его неразрешимость при $a=0$, $b\ne 0$;
* его разрешимость при $a=0$, $b=0$.

Собственно говоря, что здесь "доказывать"?
Пусть $a=0$, $b\neq 0$. Поскольку $0x=0$ для любого $x\in\mathbb R$ (http://dxdy.ru/post243117.html#p243117, пункт V), то равенство $ax=b$ невозможно.
Пусть $a=0$, $b=0$. Для доказательства разрешимости достаточно указать хотя бы одно решение. Поскольку $0\cdot 0=0$ (по тому же свойству), то $x=0$ является решением.

Вам не надоело ещё изображать из себя идиота?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 07:21 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Maslov в сообщении #312841 писал(а):
$(\forall x \in \mathbb R)(0 \cdot x = 0)$, поэтому
Не "поэтому",
$(\forall x \in \mathbb R)(0 \cdot x = 0)$ — это то, что еще только требуется доказать, и появиться оно может лишь в заключении, в выводе. А у Вас оно в первой же посылке, как уже доказанное или истинное. Логическая ошибка вывода.

Someone в сообщении #312926 писал(а):
Поскольку $0x=0$ для любого $x\in\mathbb R$

И не "постольку", $0x=0$ для любого $x\in\mathbb R$ это как раз то, что еще требуется доказать. У Вас это утверждение выступает как доказанное, со ссылкой на доказательство из другого контекста. Но предложенное Вами доказательство из Вашего пункта V здесь не годится:

не нарушая общности рассмотрения для одного и того же уравнения $ax=b$,

    1. докажем, что $ax=b$при $a=0$, $b=0$ разрешимо:
      1. $0x=0$,
      2. $0x=(c-c)b=bc-bc=0$,
      — истинно.
    2. докажем, что $ax=b$при $a=0$, $b\neq 0$ неразрешимо:
      1. $0x=b$,
      2. $0x=(c-c)b=bc-bc=0$,
      — ложно.

Общность рассмотрения при таком методе доказательства нарушена. А мы всего-то взяли в качестве $b$ другое число из $\mathbb R$.
-----------------

Общность рассмотрения может быть сохранена преобразованием к равносильному уравнению, это общепринятый метод решения уравнений, а не подстановка, но тогда порочный круг в доказательстве: bot утверждает, что делить на ноль запрещено потому, что уравнение $ax=b$ при $a=0$, $b\ne 0$ неразрешимо. shwedka, и другие в этой теме, утверждают, что уравнение неразрешимо, потому что на ноль делить нельзя.

(Оффтоп)

2 Someone
Я показал Ваше сообщение моему сыну, студенту 3 курса университета. Реакция была предсказуемой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 09:18 


25/04/10
2
errnough в сообщении #312998 писал(а):
$(\forall x \in \mathbb R)(0 \cdot x = 0)$ — это то, что еще только требуется доказать

Этого не требуется доказывать, это аксиома.
Арифметика Пеано

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6345
errnough в сообщении #312998 писал(а):
Maslov в сообщении #312841 писал(а):
$(\forall x \in \mathbb R)(0 \cdot x = 0)$, поэтому
Не "поэтому",
$(\forall x \in \mathbb R)(0 \cdot x = 0)$ — это то, что еще только требуется доказать, и появиться оно может лишь в заключении, в выводе. А у Вас оно в первой же посылке, как уже доказанное или истинное. Логическая ошибка вывода.
Это широко известное свойство нуля в поле. Если хотите, чтобы его доказали из аксиом поля, то вот:
$0x = (1-1)x = 1x - 1x = x - x = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Kergan, вещественные числа — не натуральные (у которых аксиоматика Пеано) и не целые!! Хотя хотя множество целых и не являются полем, для него тоже можно доказать аналогичным образом.

Хотя вообще, если вводить ноль только в целых числах, тогда это будет доказываться из построения их как пар натуральных:$$0x \sim \left( {a;a} \right)\left( {m;n} \right) = \left( {am + an;an + am} \right) = \left( {a(m + n);a(m + n)} \right) \sim 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 11:22 
Заслуженный участник


11/05/08
31992
Xaositect в сообщении #313057 писал(а):
Если хотите, чтобы его доказали из аксиом поля, то вот:
$0x = (1-1)x = 1x - 1x = x - x = 0$

Ну не совсем так быстро. Тут ещё надо доказывать, что $(-1)\cdot x=-x$.

Тогда уж лучше так: $(a+0)\cdot x=ax+0x=ax$. И если уже доказано, что нулевой элемент единственен, то -- вот оно.

Вообще, любое доказательство подобного рода имеет смысл лишь в контексте. Что, где, когда, откуда именно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 15:56 


25/04/10
2
arseniiv в сообщении #313060 писал(а):
Kergan, вещественные числа — не натуральные (у которых аксиоматика Пеано) и не целые!! Хотя хотя множество целых и не являются полем, для него тоже можно доказать аналогичным образом.

Совершенно не важно где, что, как вводится и как доказывается. В рамках данной дискуссии следует считать аксиомой все, что возможно считать аксиомой - иначе г-н errnough вновь ответит бестолковой отпиской про нарушение общности. Или еще чего-нибудь придумает - фантазия у него хорошая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 16:13 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
arseniiv в сообщении #313060 писал(а):
Хотя хотя множество целых и не являются полем, для него тоже можно доказать аналогичным образом.
Ну да, потому что для выполнения этого свойства множество с введенными на нём двумя операциями вовсе не обязано быть полем: достаточно, чтобы оно было кольцом. А множество $\mathbb Z$ -- это как раз кольцо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Да, это я просто забыл слово, потому написал "можно ... аналогичным образом" :D

Kergan в сообщении #313228 писал(а):
В рамках данной дискуссии следует считать аксиомой все, что возможно считать аксиомой
Ну а тогда errnough скажет, что слишком много аксиом развелось. :wink: К тому же, если вывод небольшой, почему бы и не? Он требовал доказать — доказательство тут как тут, для колец и для множества целых чисел по его построению без доказательства остальных вещей, нужных, чтоб оно стало кольцом — почти на любой вкус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6345
ewert в сообщении #313064 писал(а):
Xaositect в сообщении #313057 писал(а):
Если хотите, чтобы его доказали из аксиом поля, то вот:
$0x = (1-1)x = 1x - 1x = x - x = 0$

Ну не совсем так быстро. Тут ещё надо доказывать, что $(-1)\cdot x=-x$.

Ну или дистрибутивность вычитания относительно умножения, что в принципе одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение25.04.2010, 23:58 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Простота выражения $0x=0$ играет злую шутку :) Куда уж здесь логике втесаться, когда всё якобы очевидно. Парочка прикидок в уме и подбор на глазок. Скольких людей уже подводил отказ от логики. Хорошо, остаемся каждый при своем. Общего метода доказательства для одного уравнения нет, IMHO. С аксиомами еще смешнее, Пеано не решается доказывать, и вводит как аксиому, а Someone запросто его доказывает. Пеано не мог додуматься до этого школьного доказательства, или понял его нелогичность? А может, Пеано тоже слегка логику включил, если не смог сам себе доказать и расписался: «$0x=0$ — аксиома»? Напоследок:
Всмотритесь в это доказательство.

    Докажем, что $ax=b$при $a=0$, $b=0$ разрешимо:
    1. $0x=0$,
    2. $0x=(c-c)b=bc-bc=0$,
    — истинно.

    или :

    $0x = (1-1)x = 1x - 1x = x - x = 0$

Ни в одной логике (даже в современной) в процессе рассуждений не разрешается менять изначальные условия. В правую часть уравнения вводится бессмысленная операция с символом $c$: $(c-c)$, вопреки обычной логике сократить всё, что только сокращается. Появление $c$ это откровенное изменение условия в процессе рассуждений. В условии нет четвертого символа $c$. Не менее интересно заметить, что по условию $b=0$, из-за чего уравнение $ax=b$ превращается $0x=0$. Проблема уже нарисовалась, надо бы как-то получить аналитически голый $x$ в одной стороне знака "=", а всё остальное — в другой. И что же делают мои уважаемые собеседники? Они берутся преобразовывать правую(!) часть уравнения $0x=0$. Возвращают на место символ $b$, вытаскивают из рукава символ $c$ и парочкой перестановок между $b$ и $c$ "доказывают", что правая часть уравнения $0x=0$ как была, так и остаётся нулем. Дык, она и по условию нулю равна, так что же вы доказываете?

Может, такой прием доказательства настолько универсален, что сгодится, наверное, и здесь:
    Дано: $ax=1/b$. Доказывается [...]
    1. $ax=1/b$
    2. $ax=\frac{1}{b(c-c)}$
    3. ... ...
Так "доказать" можно всё что угодно, кроме истины.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 213 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group