2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение09.04.2010, 21:38 


15/11/09
1489
myhand в сообщении #307980 писал(а):
Сохранение фазового объема, скорее всего, не достаточно для гамильтоновости.



Что-то я за Вами не поспеваю, то сохранение фазового объема «эквивалентно гамильтоновости», то недостаточно. Я бы для начала хотел разобраться с более простым вопросом. Что нужно потребовать от отображения не сохраняющего фазовый объем что существовала такая замена переменных, что бы в этих новых переменных объем сохранялся. Сомнительно что этот вопрос еще не решен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение09.04.2010, 21:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
EvgenyGR в сообщении #308120 писал(а):
Что-то я за Вами не поспеваю, то сохранение фазового объема «эквивалентно гамильтоновости»


Вы выдрали фразу из контекста. Там речь шла об _уравнении Лиувилля_. И не только - еще о связи с квантовой механикой. Уравнение Лиувилля - это не только сохранение фазового объема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение09.04.2010, 22:01 


15/11/09
1489
Верю на слово, но как с моим вопросом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение10.04.2010, 13:39 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558

(Оффтоп)

EvgenyGR в сообщении #308130 писал(а):
Верю на слово, но как с моим вопросом?

Пусть дано двухмерное отображение:
$$\left\{\begin{array}{l} x' = F(x,y) \\ y' = G(x,y) \end{array}\right.$$
Ищем такую замену переменных
$$\left\{\begin{array}{l} x = X(u,v) \\ y = Y(u,v) \end{array}\right.$$
при котором якобиан отображения в новых переменных равен 1.
Ответ: $J = T(u',v')^{-1} M T(u,v)$, $\det J = 1$. Где $$M = \left.\frac{\partial (F,G)}{\partial(x,y)}\right|_{x=X(u,v),\;y=Y(u,v)}$$
$$T(u,v) = \frac{\partial (X,Y)}{\partial(u,v)}$$
Можно ли при этом дополнительно построить каноническую структуру, чтобы отображение сохраняло скобки Пуассона? В данном случае - думаю да. В многомерном случае - это далеко не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение11.04.2010, 21:45 


15/11/09
1489
myhand в сообщении #308235 писал(а):
Можно ли при этом дополнительно построить каноническую структуру, чтобы отображение сохраняло скобки Пуассона? В данном случае - думаю да. В многомерном случае - это далеко не очевидно.



И так Вы полагаете, что всегда можно построить отображение нормализующие (в смысле сохранения фазового объема) любое другое отображение лишь бы его якобиан не был равен нулю?.

Тогда где ошибка в моих рассуждениях. Пусть есть отображение F фазового пространства в себя. Пусть найдется такая область (пусть для определенности односвязанная), такая, что F отображает эту область целиком в ее подобласть, а остаток (ну куда ничего не отобразилось) имеет не нулевой объем. Понятно, что это отображение F, хотя бы в отношении этой области, фазовый объем не сохраняет. Я полагаю что любое непрерывное отображение G сохранит это свойство вложенности отображения F и не нулевой фазовый объем остатка. Но тогда не существует и нормализующего отображения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение11.04.2010, 22:16 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
EvgenyGR в сообщении #308621 писал(а):
myhand в сообщении #308235 писал(а):
Можно ли при этом дополнительно построить каноническую структуру, чтобы отображение сохраняло скобки Пуассона? В данном случае - думаю да. В многомерном случае - это далеко не очевидно.


И так Вы полагаете, что всегда можно построить отображение нормализующие (в смысле сохранения фазового объема) любое другое отображение лишь бы его якобиан не был равен нулю?.


Вы просили критерий - я его дал. Ответ - нелинейное функционально-дифференциальное уравнение ($\det J = 1$) для пары функций $X(u,v)$ и $Y(u,v)$. Дополнительное условие: $\det T(u,v) \ne 0$.

Для симплектичности отображения в новых переменных - больше ничего не нужно дополнительно в _двумерном_ случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение11.04.2010, 23:36 


15/11/09
1489
myhand в сообщении #308632 писал(а):
Вы просили критерий - я его дал.



Т.е. вопрос о существовании отображения заменили на вопрос существования решения у «нелинейного дифференциального уравнения»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение12.04.2010, 00:10 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Вообще-то функционально-дифференциального.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group