Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #307980 писал(а):

Сохранение фазового объема, скорее всего, не достаточно для гамильтоновости.

Что-то я за Вами не поспеваю, то сохранение фазового объема «эквивалентно гамильтоновости», то недостаточно. Я бы для начала хотел разобраться с более простым вопросом. Что нужно потребовать от отображения не сохраняющего фазовый объем что существовала такая замена переменных, что бы в этих новых переменных объем сохранялся. Сомнительно что этот вопрос еще не решен.

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #308120 писал(а):

Что-то я за Вами не поспеваю, то сохранение фазового объема «эквивалентно гамильтоновости»

Вы выдрали фразу из контекста. Там речь шла об _уравнении Лиувилля_. И не только - еще о связи с квантовой механикой. Уравнение Лиувилля - это не только сохранение фазового объема.

[EvgenyGR]

Верю на слово, но как с моим вопросом?

[myhand]

(Оффтоп)

EvgenyGR в сообщении #308130 писал(а):

Верю на слово, но как с моим вопросом?

Пусть дано двухмерное отображение:

$$\left\{\begin{array}{l} x' = F(x,y) \\ y' = G(x,y) \end{array}\right.$$

Ищем такую замену переменных

$$\left\{\begin{array}{l} x = X(u,v) \\ y = Y(u,v) \end{array}\right.$$

при котором якобиан отображения в новых переменных равен 1.
Ответ: $J = T(u',v')^{-1} M T(u,v)$, $\det J = 1$. Где

$$M = \left.\frac{\partial (F,G)}{\partial(x,y)}\right|_{x=X(u,v),\;y=Y(u,v)}$$

$$T(u,v) = \frac{\partial (X,Y)}{\partial(u,v)}$$

Можно ли при этом дополнительно построить каноническую структуру, чтобы отображение сохраняло скобки Пуассона? В данном случае - думаю да. В многомерном случае - это далеко не очевидно.

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #308235 писал(а):

Можно ли при этом дополнительно построить каноническую структуру, чтобы отображение сохраняло скобки Пуассона? В данном случае - думаю да. В многомерном случае - это далеко не очевидно.

И так Вы полагаете, что всегда можно построить отображение нормализующие (в смысле сохранения фазового объема) любое другое отображение лишь бы его якобиан не был равен нулю?.

Тогда где ошибка в моих рассуждениях. Пусть есть отображение F фазового пространства в себя. Пусть найдется такая область (пусть для определенности односвязанная), такая, что F отображает эту область целиком в ее подобласть, а остаток (ну куда ничего не отобразилось) имеет не нулевой объем. Понятно, что это отображение F, хотя бы в отношении этой области, фазовый объем не сохраняет. Я полагаю что любое непрерывное отображение G сохранит это свойство вложенности отображения F и не нулевой фазовый объем остатка. Но тогда не существует и нормализующего отображения.

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #308621 писал(а):

myhand в сообщении #308235 писал(а):

Можно ли при этом дополнительно построить каноническую структуру, чтобы отображение сохраняло скобки Пуассона? В данном случае - думаю да. В многомерном случае - это далеко не очевидно.

И так Вы полагаете, что всегда можно построить отображение нормализующие (в смысле сохранения фазового объема) любое другое отображение лишь бы его якобиан не был равен нулю?.

Вы просили критерий - я его дал. Ответ - нелинейное функционально-дифференциальное уравнение ($\det J = 1$) для пары функций $X(u,v)$ и $Y(u,v)$. Дополнительное условие: $\det T(u,v) \ne 0$.

Для симплектичности отображения в новых переменных - больше ничего не нужно дополнительно в _двумерном_ случае.

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #308632 писал(а):

Вы просили критерий - я его дал.

Т.е. вопрос о существовании отображения заменили на вопрос существования решения у «нелинейного дифференциального уравнения»?

[myhand]

Вообще-то функционально-дифференциального.