Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[vek88]

Вот и славно, что мы все согласовали. А почему с таким трудом согласовывали подобные пустяки? Да, это, конечно, пустяки, но в неизведанном лесу. А в таком лесу обычная коряга может запросто привидиться страшным лешим.

Padawan в сообщении #306466 писал(а):

vek88 в сообщении #306422 писал(а):

Вы забывате включить в возможные начальные условия и различные векторы ускорения.

То есть $a_1, a_2, a_3$ - это тоже переменные, удовлетворяющие уравнениям

$$\dot a_1=0, \dot a_2=0, \dot a_3=0$$

Тогда да, инвариантность будет. Если вращения задевают и эти переменные.

Это пример неизведанности леса. Ведь я трактую вектор ускорения $a_\alpha$ как характеристику конкретной частицы, которая вполне определена и является постоянной величиной. Поэтому мне не приходило в голову писать уравнения для этого вектора.

Но и Вы тоже правы. Нам никто не запрещает писать уравнения для этого вектора. Логически, можно и так и так.

И, конечно, Вы правы в том, что в уравнении движения $a_\alpha$ - это переменная. Но вместо переменной можно подставлять константы (как делаю я), а можно переменные (как делаете Вы).

Padawan в сообщении #306485 писал(а):

Тогда уж можно сразу записать уравнение $\dddot x=0$

Да, конечно. Но это опять пример того же рода. И дело вкуса. Например, myhand любит такие уравнения. А я нет, но привыкаю.

Резюмируя, в этом лесу пока еще нет традиций и устоявшейся терминологии. Поэтому у нас были и будут соответствующие трудности.

[vek88]

Интуитивно гамильтониан для акселерона имеет вид

$$H=- m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$

Но я как-то в этом не очень уверен. На вектор $a_\alpha$ я смотрю как на величину того же сорта, что и масса частицы $m$. Обе они - характеристики конкретного акселерона. Вся разница в том, что первая - вектор, а вторая - скаляр. И в конце концов, ведь есть же, например, у электрона спин и магнитный момент.

Каково мнение общественности по поводу гамильтониана для акселерона?

[vek88]

Такое ощущение, что мы углубляемся в чисто академические упражнения. А значит, пора подвести итоги темы. Тем более, все для этого у нас уже имеется.

Итак, цель темы состояла в выводе классической механики из Галилей-инвариантности. В принципе, это сделать удалось, но, как оказалось, при неявном предположении о гамильтоновом виде механики. Это объясняется тем, что известная теорема Нетер применима к лагранжевым и/или гамильтоновым системам. Кроме того, аппарат скобок Пуассона в неявном виде предполагает гамильтоновость системы, т.е. возможность описать ее движение в виде канонических уравнений Гамильтона.

Если ограничиться требованием Галилей-ковариантности уравнений движения в виде произвольных обыкновенных дифференциальных уравнений, то мы явно выходим за рамки классической механики даже в случае одной свободной частицы. Так, например, Padawan в сообщении #306485 предложил вполне Галилей-ковариантное уравнение движения акселерона - частицы, нарушающей первый закон Ньютона.

$$\dddot x_\alpha=0.$$

Уважаемые коллеги! Просьба дополнить и/или поправить меня, если сочтете необходимым.

[myhand]

vek88, вообще-то уравнение с третьей производной - не инвариантно относительно обращения времени ($T$-симметрия). Думаю, что неявно выбор гамильтонова формализма - добавляет подобные преобразования.

Другой пример - пространственная инверсия ($P$-симметрия). Почему мы не включаем подобные преобразования и ищем представление только, так сказать, односвязной группы Галилея?

С другой стороны, похоже даже добавление этих дискретных преобразований не позволяет еще получить симплектическую структуру и гамильтониан в случае с двумя частицами. Напомню, получались следующие уравнения:

$$\left\{\begin{array}{l}\dot v_1 = x_{12} f_1 + v_{12} (v_{12}\cdot x_{12}) g_1 \\ \dot v_2 = x_{12} f_2 + v_{12} (v_{12}\cdot x_{12}) g_2 \\ \end{array}\right.$$

где $f_{1,2}$ и $g_{1,2}$ являются функциями инвариантов $|x_{12}|$, $|v_{12}|$ и $|x_{12}\cdot v_{12}|$.

[vek88]

А так лучше?

$$\ddddot x_\alpha=0.$$

И мне кажется, что $T-$симметрия - это уже непринципиальные и спорные тонкости, если говорить о классической механике.

А две частицы мне как-то стали не интересны, поскольку уже для одной частицы просто Галилей-ковариантность может производить на свет всякую чушь. А для двух, думаю, какой-угодно бардак можно предложить, если исходить только из Галилей-ковариантности.

[myhand]

0) Лучше. И это вполне лагранжева/гамильтонова механика.

1) Вообще-то $T$-симметрия для _классической механики_ - вовсе не непринципиальна. Отнюдь не. Иначе вполне логично получить в варианте Padawan что-то типа диссипативных сил.

2) А для одной свободной частицы все похоже сводится таки к гамильтоновой механике. Контрпримера никто не привел.

[vek88]

А как же гамильтониан акселерона?

$$H=- m a_\alpha x_\alpha + \frac{p^2_\alpha}{2m}.$$

Он ведь не коммутирует, как должно быть в алгебре Галилея, с оператором импульса, который, мне кажется, попрежнему равен $p_\alpha.$

Другими словами, как только мы переходим к гамильтоной записи, Галилей-инвариантности капут!? Мы ведь уже говорили об этом.

[myhand]

Так мы, кажется, уже решили этот вопрос. Я предложил Вам представить гамильтониан в виде

$$H=- m a_\alpha (x_\alpha - y_\alpha) + \frac{p^2_\alpha}{2m}$$

Где $y_\alpha$ - постоянный радиус-вектор в пространстве (в т.ч. преобразуется как координата при трансляциях). Строго говоря, наряду в тройкой $a_\alpha$, $p_\alpha$ и $x_\alpha$ - его нужно добавить в Ваше "пространство состояний".

[vek88]

Видите ли, добавив что-то в мое пространство состояний, Вы получите свое пространство состояний. Имеете право. Но это будет другая частица.

И вообще, надо заканчивать с подобной подменой понятий. Говоря о лагранжевом или гамильтоновом формализме в классической механике мы с Нетер имеем в виду классическое фазовое пространство: координаты (обычные, не обобщенные) и импульсы (тоже обычные), в котором действует, например, группа Галилея.

А Вы имеете в виду лагранжев или гамильтонов формализм в обощенном виде, никак не связанном со структурой простраства или группой Галилея. Имеете право - но причем здесь мы и наша тема. Откройте соответствующую тему.

[Padawan]

Я лично против уравнений выше второго порядка.

[vek88]

Padawan в сообщении #306782 писал(а):

Я лично против уравнений выше второго порядка.

Формально, происхождение высших производных объясняется возможностью сведения обыкновенного дифура $n-$й степени к системе дифуров первого порядка. Но здесь зарыты связи (обобщенный импульс приравнивается к обобщенной координате) и потеря стандартного смысла координат и импульсов.

Таким образом, я солидарен с Вами - спекуляции на тему высших производных в контексте рассматриваемой темы неуместны.

[myhand]

vek88, Вы просто _неправильно_ выбрали представление - отчего у вас и получился коммутатор неверный. Добавьте постоянный радиус-вектор - все будет нормально. Это исправление Вашей ошибки, а не просто "мое представление". Ваше представление - просто не является таковым, что и показывает ненулевой коммутатор.

Padawan в сообщении #306782 писал(а):

Я лично против уравнений выше второго порядка.

А почему? Это все-таки дополнительное ограничение.

[Padawan]

myhand в сообщении #306837 писал(а):

Padawan в сообщении #306782 писал(а):

Я лично против уравнений выше второго порядка.

А почему? Это все-таки дополнительное ограничение.

myhand
Как известно из опыта, ... Что там дальше Ландау-Лифшиц пишут?

Кстати, по поводу уравнения $\dddot x=0$. Помню в курсе физики оно возникло как одно из решений уравнений движения свободной электрически заряженной частицы, и было отвергнуто, как нефизическое. Память мне не изменяет? Вот-он акселерон-то где сидит )))

[myhand]

Padawan в сообщении #306908 писал(а):

Как известно из опыта, ... Что там дальше Ландау-Лифшиц пишут?

О чем и речь. Это _дополнительное_ ограничение. С симметриями, вообще говоря - никак не связанное.

Padawan в сообщении #306908 писал(а):

Кстати, по поводу уравнения $\dddot x=0$. Помню в курсе физики оно возникло как одно из решений уравнений движения свободной электрически заряженной частицы, и было отвергнуто, как нефизическое. Память мне не изменяет?

Вообще-то изменяет. В отсутствие внешнего поля уравнение Дирака-Лоренца выглядит так: $m \dot v = \frac{2 e^2}{3} \ddot v$. Там есть решение, для которого ускорение растет по экспоненте. Именно это называют нефизическим "самоускоряющимся" решением. И исключают подходящим выбором граничных условий.

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #306665 писал(а):

1) Вообще-то -симметрия для _классической механики_ - вовсе не непринципиальна. Отнюдь не. Иначе вполне логично получить в варианте Padawan что-то типа диссипативных сил.

А вот такой вопрос, а разве из Т - симметрии и дифференцируемости по траектории не следует сохранение фазового объема?