Понятия полноты и компактности

[Полосин]

Профессор Снэйп в сообщении #306002 писал(а):

Полосин в сообщении #305996 писал(а):

С чего бы это? Вы же не знаете, как задано скалярное произведение!

Как бы оно не было задано, в разных базисах оно выражается разной формулой.

Профессор Снэйп, для сведения: скалярным произведением называется произвольное отображение из декартова квадрата линейного вещественного (комплексного) пространства на множество вещественных (комплексных) чисел, удовлетворяющее трем аксиомам (при необходимости могу указать, каким именно). Если в конечномерном пространстве задан базис, то для вычисления скалярного произведения достаточно задать его на парах векторов базиса (соответствующая матрица называется матрицей Грама). Соответственно, произвольный базис можно сделать ортонормированным, задав скалярное произведение надлежащим образом.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #305995 писал(а):

Да и пример с сюрьективной функцией, не получается втиснуть в Ваше определение. Хотя пример-то хороший.

Удаётся, если рассмотреть следующую категорию:

1) Объекты --- функции, то есть такие множества $f$, что для некоторых множеств $X$ И $Y$ выполнено $f \subseteq X \times Y$ и $(\forall x \in X)(\exists ! y \in Y)(\langle x,y \rangle \in f)$.

2) Подобъекты --- "подфункции", то есть подмножества функций, которые сами являются функциями.

3) Морфизмы --- понятно что (не буду описывать, для примера это не так важно).

Пусть теперь даны функции $f \subseteq g$. Назовём подфункцию $f$ функции $g$ сюрьективной, если для любых множеств $x,y$, таких что $\langle x,y \rangle \in g$, найдётся множество $z$, для которого $\langle z,y \rangle \in f$.

Не спорю, пример несколько надуман, но всё аккуратно втискивается

-- Сб апр 03, 2010 18:33:51 --

Полосин в сообщении #306006 писал(а):

Профессор Снэйп, для сведения: скалярным произведением называется произвольное отображение из декартова квадрата линейного вещественного (комплексного) пространства на множество вещественных (комплексных) чисел, удовлетворяющее трем аксиомам (при необходимости могу указать, каким именно). Если в конечномерном пространстве задан базис, то для вычисления скалярного произведения достаточно задать его на парах векторов базиса (соответствующая матрица называется матрицей Грама). Соответственно, произвольный базис можно сделать ортонормированным, задав скалярное произведение надлежащим образом.

Я это знаю. Но посмотрите на всё глазами человека, который первым в этой теме заявил, что скалярное произведение не зависит от базиса. Для того, чтобы придать его словам какой-то смысл, нужно рассматривать формулу, дающую значение скалярного произведения через разложение множителей по базису (иначе какого чёрта вообще про базисы говорить). Но тогда, в этом смысле, скалярное произведение всё же от базиса зависит, ибо не каждый базис ортонормален.

-- Сб апр 03, 2010 18:38:37 --

paha в сообщении #305939 писал(а):

гигаанты мысли, вы правильно мыслите... и скалярное произведение не зависит от базиса

Начав говорить про скалярное произведение, я отвечал именно на это сообщение. Вот в каком смысле здесь сказано, что скалярное произведение не зависит от базиса? В том же смысле, в котором произрастание бузины в огороде не зависит от наличия дядьки в Киеве? Или в каком-то другом?

[Полосин]

Скалярное произведение не зависит от базиса, но формула для его вычисления имеет разный вид в разных базисах. Базис часто выбирают с учетом скалярного произведения, например, так, чтобы он оказался ортонормированным.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #306008 писал(а):

Вот в каком смысле здесь сказано, что скалярное произведение не зависит от базиса?

В смысле по определению. Скалярное произведение инвариантно просто по определению. Можно даже сказать хуже: оно осмысленно даже тогда, когда и ни о каких базисах вообще и говорить-то не приходится.

(хотя Вы наверняка и без меня это знаете; тут просто какой-то парад взаимонепониманий)

[VoloCh]

Полосин в сообщении #306006 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #306002 писал(а):

Полосин в сообщении #305996 писал(а):

С чего бы это? Вы же не знаете, как задано скалярное произведение!

Как бы оно не было задано, в разных базисах оно выражается разной формулой.

Профессор Снэйп, для сведения: скалярным произведением называется произвольное отображение из декартова квадрата линейного вещественного (комплексного) пространства на множество вещественных (комплексных) чисел, удовлетворяющее трем аксиомам (при необходимости могу указать, каким именно). Если в конечномерном пространстве задан базис, то для вычисления скалярного произведения достаточно задать его на парах векторов базиса (соответствующая матрица называется матрицей Грама). Соответственно, произвольный базис можно сделать ортонормированным, задав скалярное произведение надлежащим образом.

Хм, а вы уверены, что ПС имеет в виду под словом "базис" то же,что и мы вы?

[ewert]

VoloCh в сообщении #306172 писал(а):

, а вы уверены, что ПС имеет в виду под словом "базис" то же,что и мы вы?

а не имеет значения. Инвариантность исходного определения от этого не зависит.

[Профессор Снэйп]

Пусть для заданных $a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R}$ и базиса $e_1,e_2 \in \mathbb{R}^2$ кривая в $\mathbb{R}^2$ является множеством точек

$$ \{ xe_1 + ye_2 : ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \} $$

Тогда сама кривая зависит от выбора базиса, а тип кривой (эллипс, гипербола etc.) --- нет.

[JMH]

Полосин в сообщении #306006 писал(а):

Профессор Снэйп, для сведения: скалярным произведением называется произвольное отображение из декартова квадрата линейного вещественного (комплексного) пространства на множество вещественных (комплексных) чисел, удовлетворяющее трем аксиомам (при необходимости могу указать, каким именно).

Будьте добры, укажите, где можно посмотреть, т.к. мне известна только одна аксиома, касающаяся скалярного произведения:
$ x^2 = x$\cdot x>0$, для любого $x\in E$, отличного от e(нулевого вектора).

[AD]

JMH в сообщении #306723 писал(а):

Будьте добры, укажите, где можно посмотреть

Здесь, например ...

-- Вт апр 06, 2010 06:42:14 --

Профессор Снэйп в сообщении #306678 писал(а):

Тогда сама кривая зависит от выбора базиса, а тип кривой (эллипс, гипербола etc.) --- нет.

Уравнение кривой зависит, а сама кривая - нет

-- Вт апр 06, 2010 06:42:30 --

[Профессор Снэйп]

AD в сообщении #306742 писал(а):

Уравнение кривой зависит, а сама кривая - нет

Уравнение дано в условии. Оно ни от чего зависеть не может, только от разумения дающего. А вот кривая уже зависит (от уравнения и от выбора базиса).

-- Вт апр 06, 2010 09:55:53 --

JMH в сообщении #306723 писал(а):

Будьте добры, укажите, где можно посмотреть, т.к. мне известна только одна аксиома, касающаяся скалярного произведения:
$ x^2 = x$\cdot x>0$, для любого $x\in E$, отличного от e(нулевого вектора).

1) $(x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
2) $(\lambda x) \cdot y = \lambda (x \cdot y)$ для $\lambda \in \mathbb{R}$
3) $x \cdot y = y \cdot x$
4) $x \cdot x \geqslant 0$

Если дополнительно выполнено условие $(x \neq 0) \Rightarrow (x \cdot x > 0)$, то скалярное произведение называется невырожденным.

Это если пространство над $\mathbb{R}$. Над $\mathbb{C}$ чуть-чуть по другому.

Нулевой вектор обычно обозначают не $e$, а $0$ или $\mathbf{0}$.

[JMH]

Интересно, что Ж. Дьедонне в книге "Линейная алгебра и элементарная геометрия" обошелся одной аксиомой о неотрицательности скалярного произведения. Все прочие свойства получаются из аксиом Евклидовой геометрии. Правда, если не ограничиваться Евклидовой геометрией, этот номер, вероятно, не пройдет.

[ewert]

JMH в сообщении #306765 писал(а):

обошелся одной аксиомой о неотрицательности скалярного произведения. Все прочие свойства получаются из аксиом Евклидовой геометрии.

Этого он никак не мог. Т.е. никак не мог, не потребовав хоть какого-то согласования скалярного произведения с аксиомами Евклида. А любое такое требование -- это некая аксиома. Т.е. единственное достоинство такого подхода -- дополнительное запудривание мозгов.

[JMH]

Ну я и говорю - в рамках Евклидовой геометрии. А подход мне нравится - максимально возможное обобщение понятий, классический стиль Бурбаки.

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #306008 писал(а):

3) Морфизмы --- понятно что (не буду описывать, для примера это не так важно).

А что, кстати? Коммутативный квадратик, верхняя и нижняя сторона которого наши функции?

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #306780 писал(а):

А что, кстати? Коммутативный квадратик, верхняя и нижняя сторона которого наши функции?

Ну, по сути да

А вообще у нас функции --- множества пар. Так что морфизмом из функции $f$ в функцию $g$ называется функция $\alpha : f \to g$, такая что для любых $a,b \in f$ из $\pi_2(a) = \pi_2(b)$ следует $\pi_2(\alpha(a)) = \pi_2(\alpha(b))$ (где $\pi_2$ --- проекция на вторую координату)