Понятия полноты и компактности

[Padawan]

Профессор Снэйп
Содержательные примеры, чтобы из них абстрагировать наиболее общую категорную формулировку. А что уже есть такое готовое понятие в теории категорий ?

[paha]

Padawan в сообщении #302255 писал(а):

Содержательные примеры

вот содержательный пример (из нажего форума):

все знают, что лента мебиуса -- односторонняя поверхность... Но это не так:^)
Лента мебиуса вложенная в ${\mathbb R}^3$ -- односторонняя, а вложенная в ${\mathbb R}^4$ -- нет (и даже локально не разделяет)

таким образом односторонность -- свойство подмногообразия

[Padawan]

paha
А что такое односторонность :) ?
Я знаю понятие ориентируемость\неориентируемость. Односторонность - это неориентируемость подмногообразия коразмерности 1 (т.е. неориентируемость, которую можно описать при помощи поля нормалей) ?

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #302255 писал(а):

Профессор Снэйп
Содержательные примеры, чтобы из них абстрагировать наиболее общую категорную формулировку. А что уже есть такое готовое понятие в теории категорий :) ?

Если в теории категорий что-то подобное и есть, то мне оно неведомо.

Но я думаю, что оно всё естественно задаётся. Если в категории есть понятие подобъекта, то чем плохо написанное мною выше?

Насчёт содержательных примеров даже не знаю... Пытался придумывать примеры в направлении планиметрии, но кроме свойств угла быть прямым --- "внешнее", а свойство отрезка быть высотой треугольника --- "внутреннее", ничего в голову не приходит. Как-то это слишком надумано. Или свойство натурального числа быть простым --- "внутреннее", а свойство быть простым-близнецом --- "внешнее". Не очень красиво :(

(Оффтоп)

P. S. Сегодня на самом деле день математика. Или, если угодно, день новосибирского математика. Мозг работает плохо

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #305330 писал(а):

Пытался придумывать примеры в направлении планиметрии, но кроме свойств угла быть прямым --- "внешнее", а свойство отрезка быть высотой треугольника --- "внутреннее", ничего в голову не приходит. Как-то это слишком надумано. Или свойство натурального числа быть простым --- "внутреннее", а свойство быть простым-близнецом --- "внешнее". Не очень красиво :(

Тут надо от категорий и подобъектов плясать. В алгебрах - подалгебры, в многообразиях -подмногообразия каким-то свойством обладают...

(Оффтоп)

Грустно это всё

[Профессор Снэйп]

Не, ну, в конечном счёте... Допустим, есть категория, а в категории понятия подобъекта и изоморфизма. (Давно насчёт категорий не просвещался. Насколько я помню, изоморфизмы в них обычно всегда бывают, а вот подобъекты --- реже).

Пусть $\Phi(\mathfrak{N}, \mathfrak{M})$ --- свойство пары объект-подобъект. Скажем, что это свойство является внутренним, если для любой другой пары $(\mathfrak{N}', \mathfrak{M}')$, состоящей из объекта $\mathfrak{N}'$ и подобъекта $\mathfrak{M}'$, из $\mathfrak{M} \cong \mathfrak{M}'$ следует

$$ \Phi(\mathfrak{N}, \mathfrak{M}) \Leftrightarrow \Phi(\mathfrak{N}', \mathfrak{M}') $$

В противном случае назовём свойство внешним. Чем плохо?

Вот, несколько прекрасных примеров. Допустим, булева алгебра и подалгебра в ней. Тогда такие свойства (подалгебры), как "быть атомной алгеброй" или "быть безатомной алгеброй" --- внутренние, а "быть идеалом" или "иметь непустое ортогональное дополнение" --- внешние (в последнем случае пример становится более содержательным, если мы говорим не о булевых алгебрах, а об алгебрах с относительными дополнениями).

Или, вот, в полурешётках нумераций... Свойство "быть неразложимой в прямую сумму двух меньших" --- внутреннее свойство нумераций, а свойство "иметь минимальное накрытие" --- внешнее, зависящее от того, элементом какой полурешётки мы эту нумерацию рассматриваем.

(Оффтоп)

Мне этот пример кажется очень красочным, хотя, подозреваю, в нумерациях здесь мало кто шарит.

Примеров-то куча! Но, насколько я понял, "алгебраические примеры" народ с ходу отмёл, удовлетворившись нильпотентными группами. А какие примеры "неалгебраического плана" привести, я не знаю. В непрерывной математике не силён, пусть кто-нибудь другой приводит. Пытался что-нибудь родить из района школьной геометрии, но рождаются какие-то уродцы

[Padawan]

Профессор Снэйп
Да, хорошее определение
Получается, что если свойство $\Phi$ внутреннее, то для любого объекта $\mathfrak M$ данной категории оно может быть определено в терминах самого этого объекта без вложения его в какой-нибудь другой объект, а именно, как $\Phi(\mathfrak M,\mathfrak M)$. Потому что $\mathfrak M$ - подобъект самого себя, и $\Phi(\mathfrak M,\mathfrak M)$ $\Leftrightarrow$ $\Phi(\mathfrak N,\mathfrak M)$ для любого объекта $\mathfrak N$, содержащего $\mathfrak M$.

Например, компактность подмножества во внутренней формулировке - компактность в самом себе превращается в обычное определение компактности топологического пространства

[Профессор Снэйп]

Вот хороший пример: инъективность --- "внутреннее" свойство функции, а сюрьективность --- "внешнее". Если дана функция ("сама по себе", как множество пар), то сразу можно сказать, инъективна она или нет. Для определения же сюрьективности требуется дополнительно указывать, из какого множества берутся значения функции.

[paha]

гигаанты мысли, вы правильно мыслите... и скалярное произведение не зависит от базиса

[Профессор Снэйп]

paha в сообщении #305939 писал(а):

гигаанты мысли, вы правильно мыслите... и скалярное произведение не зависит от базиса

Зависит. Базис не обязан быть ортонормированным

[Полосин]

Профессор Снэйп, поясните, пожалуйста, как скалярное произведение может зависеть от выбора базиса?

[Профессор Снэйп]

Ну вот возьмём в $\mathbb{R}^2$ базис, состоящий из векторов $e_1 = (1,0)$ и $e_2 = (1,1)$. Чему равно скалярное произведение $e_1 \cdot e_2$? Явно не нулю!

Между тем скалярное произведение векторов ортогонального базиса равен нулю.

Короче говоря, если в $\mathbb{R}^n$ даны два вектора, координаты которых в некотором базисе равны $(x_1, \ldots, x_n)$ и $(y_1, \ldots, y_n)$, то их скалярное произведение не обязано быть равно $x_1y_1 + \ldots + x_ny_n$. Оно будет равно значению этого выражения лишь в том случае, когда рассматриваемый базис ортонормирован.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Да не зависит скалярное произведение от базиса. Скалярное произведение - это первичное понятие, ортонормированный базис - вторичное. У Вас случилась такая же "аберрация", как и у ewert-а

ewert в сообщении #301933 писал(а):

Padawan в сообщении #301927 писал(а):

А что, скалярное произведение векторов зависит от того, какой базис выбран в пространстве?

Ессно. Я даже и не понял вопроса.

Хотя это уже offtopic.

Не пойму, как скалярное произведение соотносится с внешним или внутренним свойством подобъекта. Да и пример с сюрьективной функцией, не получается втиснуть в Ваше определение. Хотя пример-то хороший.

[Полосин]

Профессор Снэйп в сообщении #305978 писал(а):

Ну вот возьмём в $\mathbb{R}^2$ базис, состоящий из векторов $e_1 = (1,0)$ и $e_2 = (1,1)$. Чему равно скалярное произведение $e_1 \cdot e_2$? Явно не нулю!

С чего бы это? Вы же не знаете, как задано скалярное произведение!

[Профессор Снэйп]

Полосин в сообщении #305996 писал(а):

С чего бы это? Вы же не знаете, как задано скалярное произведение!

Как бы оно не было задано, в разных базисах оно выражается разной формулой.