Я вот согласен с профессором Снейпом.
Доводы: компактность, связность, метризуемость, аксиомы счетности, отделимость, абсолютная замкнутость, полная ограниченность (для метрических пространств) и т.д. -- это то, что называется "топологическими свойствами", т.е. свойствами, которыми гомеоморфные пространства обладают или не обладают одновременно.
С другой стороны,
подмножества топологических пространств могут обладать такими свойствами как открытость/замкнутось, всюду плотность, предкомпактность, ограниченность (в метрических пространствах). Свойствами же
топологическими они обладают не как подмножества, а как гомеоморфные типы (кривое, конечно выражение); например множество
всюду плотно на прямой и не предкомпактно,
а гомеоморфное ему
не является всюду плотным и предкомпактно.
Вот в алгебре также. Есть свойства групп: нильпотентность, конечная представимость и т.д., а есть свойства подгрупп: быть нормальной, иметь конечный индекс. Представьте себе, что мы определяли бы нильпотентность только для подгрупп,
мельком оговаривая, что группа сама является своей подгруппой, поэтому бла-бла-бла... на том основании, что нильпотентные группы редко встречаются сами по себе, так что вот группа из жизни и - бах! - нильпотентная - такого не бывает (я не про нильпотентность тут говорю, а о принципе).