Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[myhand]

vek88 в сообщении #302129 писал(а):

В частности, объяснить нам почему этот лагранжиан Галилей-инвариантен. В идеале для этого хорошо бы предъявить представление алгебры Галилея в его собственном фазовом пространстве в выбранном им самим классе автоморфизмов его собственного фазового пространства. Это я считаю принципиальным.

Ведь что значит инвариантность, например, в нашем случае одной частицы. Это значит, находясь в конкретной ИСО и наблюдая эту конкретную частицу я знаю и все возможные траектории движения этой частицы в этой же ИСО, соответствующие такому же состоянию частицы во всех других ИСО.

Почему лагранжиан $L=\frac{\alpha}{2} {\dot x}^2 + \frac{\beta}{2} {\ddot x}^2$ - галилей-инвариантен? Смотрим ЛЛI (Механика).

При преобразовании Галилея $t'=t$, $x'=x - V t$, $\dot x ' = \dot x - V$ - лагранжиан преобразуется как $L' = \frac{\alpha}{2} {\dot x'}^2 - \alpha x' V + \frac{\beta}{2} {\ddot x'}^2 + const(V)$ (Использовано $\ddot x' = \ddot x$ для ускорений). Второе слагаемое преобразуется в полную производную, и может быть опущено. Итак: $L'=L$ с точностью до полной производной.

Тем самым, мы вполне формально показали, что уравнения движения в разных ИСО имеют одинаковый вид. Более тривиальные симметрии (сдвиги) - совсем уж очевидны. Так что вполне себе галилей-инвариантная теория. А за "детскость" доказательства галилей-инвариантности - не вижу смысла бить из пушки по воробъям. Моей целью было привести контпример - построена вполне инвариантная "механика" для одной материальной точки, отличная от Вашей ($L=\frac{m}{2} {\dot x}^2$).

Можно построить и гамильтонов формализм.

[vek88]

Слава богу, я нашел свои старые записи. Правда там пример из квантовой механики, но суть понятна. Попробую, к сожалению, коряво объяснить суть вопроса. Нас в реальной жизни интересуют взаимодействия чего-то с чем-то. В рассматриваемом здесь случае - взаимодействие частиц. Рассмотрим пример двух частиц в нерелятивистской квантовой механике. Возьмем гамильтониан (в с.ц.и.) в виде

$$H=\frac{p^2}{2 \mu} +\frac{1}{2 \mu} \left( \left(\frac{\partial V}{\partial x_\alpha}\right)^2 - \frac{\partial V}{\partial x_\alpha} p_\alpha - p_\alpha \frac{\partial V}{\partial x_\alpha} \right), $$

где

$$V=V(x^2), p_\alpha = \frac{\partial }{\partial x_\alpha}.$$

На первый взгляд здесь какое-то нетривиальное взаимодействие. Однако тривиальный эрмитов оператор - умножение волновой функции на функцию

$$U = e^{-i V}$$

- преобразует этот гамильтониан к

$$H=\frac{p^2}{2 \mu}.$$

Т.е. взаимодействие сводилось к изменению фазы при сближении частиц, но никакого рассеяния частиц не было - на бесконечности они вели себя как-будто не было никакого взаимодействия.

Менее коряво я эту мысль сейчас развить не могу. Но припоминаю, что есть классы преобразований фазового пространства, которые чисто внешне якобы что-то меняют. Но никакого реального изменения поведения системы нет. Мы получаем, в определнном смысле, эквивалентные представления группы Галилея или Пуанкаре.

В механике, насколько я помню, это из области канонических преобразований. Думаю, что пример myhand связан именно с этим. И поэтому ничего нового, по сравнению с $H=\frac{p^2}{2},$ не дает.

Кто знает и/или помнит это как следует, думаю сможет и объяснить как следует.

[myhand]

vek88 в сообщении #302209 писал(а):

В механике, насколько я помню, это из области канонических преобразований. Думаю, что пример myhand связан именно с этим. И поэтому ничего нового, по сравнению с $H=\frac{p^2}{2},$ не дает.

Вы хотите сказать, что лагранжиан с высшими производными эквивалентен $L=m v^2/2$ Неа. Никаким образом. Взгляните хоть на решения (например, для $\alpha>0$ и $\beta<0$ - $x(t)$ будет винтовой линией, а не прямой). Число степеней свободы - совершенно иное (соответствующий гамильтониан описывает систему с двумя степенями свободы).

Физически - никак эти теории не эквивалентны, уверяю Вас. Все-таки, излишняя доля абстрактности завела Вас немного в неверную сторону

[vek88]

myhand в сообщении #302240 писал(а):

vek88 в сообщении #302209 писал(а):

В механике, насколько я помню, это из области канонических преобразований. Думаю, что пример myhand связан именно с этим. И поэтому ничего нового, по сравнению с $H=\frac{p^2}{2},$ не дает.

Вы хотите сказать, что лагранжиан с высшими производными эквивалентен $L=m v^2/2$ Неа. Никаким образом. Взгляните хоть на решения (например, для $\alpha>0$ и $\beta<0$ - $x(t)$ будет винтовой линией, а не прямой). Число степеней свободы - совершенно иное (соответствующий гамильтониан описывает систему с двумя степенями свободы).

Физически - никак эти теории не эквивалентны, уверяю Вас. Все-таки, излишняя доля абстрактности завела Вас немного в неверную сторону

Итак, забыл я многое. Поэтому осмелюсь Вас спросить - каков смысл ускорения в Вашем лагранжиане? Вот у Гантмахера я вижу, что функция Лагранжа зависит только от обобщенных координат и скоростей. Значит, или я что-то не понимаю, или Гантмахер устарел?

Надеюсь, что это я не понимаю чего-то. Пожалуйста, разъясните мне, if it's not asking too much. В частности, если опять же Вас не затруднит, укажите явно Ваше фазовое пространство.

А что касается абстракции - так ведь она меня никуда и не завела - я постоянно говорю, что выбор фазового пространства и класса его автоморфизмов - это Ваша селедка. Что хотите, то и берете.

И не будете же Вы утверждать, что для Вашего примера не существует представления группы Галилея!? Оно, разумеется есть, если у Вас все Галилей-инвариантно. Вот Вам пример - свободное движение частицы - это движение по винтовой линии с заданным шагом и диаметром. Представление группы Галилея задается очевидным образом. Чем это отличается он нашего (традиционного) случая свободного движения по прямым? Да ничем принципиальным - Вы просто скрутили прямые в винтовые линии посредством некоторого преобразования. Нужно ли это делать - наверное Вам это зачем-то нужно - имеете право.

Так что это не меня завела куда-то абстракция, а Вы упорно не желаете работать конструктивно.

[myhand]

vek88 в сообщении #302301 писал(а):

Поэтому осмелюсь Вас спросить - каков смысл ускорения в Вашем лагранжиане? Вот у Гантмахера я вижу, что функция Лагранжа зависит только от обобщенных координат и скоростей. Значит, или я что-то не понимаю, или Гантмахер устарел?

Я спрашиваю - _что_ запрещает мне по-вашему выбрать такой лагранжиан? Галелеева инвариантность - нет. Значит одной только галилеевой инвариантности не хватит у Вас даже для получения механики свободной материальной точки. Какие заложили дополнительные предположения - такие "механики" и получили. Причем вовсе не эквивалентные с физической точки зрения.

Явно фазовое пространство строится стандартно - посмотрите т.II книжки "современна геометрия" (Фоменко, Дубровин, Новиков) - там есть параграф типа "вариационные задачи с высшими производными".

vek88 в сообщении #302301 писал(а):

А что касается абстракции - так ведь она меня никуда и не завела - я постоянно говорю, что выбор фазового пространства и класса его автоморфизмов - это Ваша селедка. Что хотите, то и берете.

Если понимать это так, что галилей-инвариантность служит лишь для классификации возможных теорий, то - да.

vek88 в сообщении #302301 писал(а):

Но никакого нового физического смысла в этом не видно.

???

Физически, $L_0 = m {\dot x}^2/2$ и $L=L_0 + \beta {\ddot x}^2 / 2$ - это совершенно разные теории. Никакого 1-1 соответствия между ними нет. Обе галилей-инвариантны.

vek88 в сообщении #302301 писал(а):

Так что это не меня завела куда-то абстракция, а Вы упорно не желаете работать конструктивно.

Пытаюсь, во-всяком случае.

[vek88]

Разумеется сам я разбираться с Вашим лагранжианом не стану - на это мне жалко тратить время. Да и смысла не вижу, поскольку наш спор не стоит выеденного яйца. Я что хотел, то и показал. А именно, что классическая механика при естественном выборе фазового пространства приводит к классической механике. А уважаемый myhand поднял большой шум по поводу этого естественного выбора. Это его право считать такой выбор не естественным - тогда он может пользоваться своим выбором - это тоже его право. Кстати, еще имеется возможность пользоваться другими типами неприводимых представлений группы Галилея (см. Фушич, Никитин), которые пока не нашли применения в физике (про массу ноль в Галилеевой теории поля я уже упоминал).

Осталось сказать две вещи: о виде потециала $V$ и о канонических уравнениях Гамильтона.

Взаимодействие. Ограничиваясь попарным взаимодействием частиц мы приходим к выражению

$$V = \sum\limits_{i j} V_{i j},$$

где

$$V_{i j}=V(p^i_\alpha, p^j_\alpha).$$

Из условия коммутации с оператором импульса находим, что

$$V_{i j}=V(p^i_\alpha - p^j_\alpha).$$

А из условия коммутации с оператором момента импульса получаем, что

$$V_{i j}=V\left( (p^i_\alpha - p^j_\alpha)^2 \right).$$

Вот и все. В полученной механике можно, например, решать задачи движения планет.

Канонические уравнения Гамильтона. По построению гамильтониана - это генератор сдвигов по времени -

$$\frac{d x^i_\alpha}{dt} = [x^i_\alpha, H] = \frac{\partial H}{\partial p^i_\alpha}.$$

Аналогично

$$\frac{d p^i_\alpha}{dt} = [p^i_\alpha, H] = \frac{\partial H}{\partial x^i_\alpha}.$$

Уравнения

$$\frac{d x^i_\alpha}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p^i_\alpha}, \frac{d p^i_\alpha}{dt} = \frac{\partial H}{\partial x^i_\alpha}.$$

называются каноническими уравнениями Гамильтона.

Законы сохранения. Поскольку гамильтониан является у нас оператором сдвига по времени, то для любой функции состояния $X$ из выражения

$$[H, X]=0$$

мы заключаем, что в замкнутой системе $X$ сохраняется, т.е.

$$\frac{d X}{dt} = 0.$$

Таким образом, в замкнутой системе у нас сохраняются $M, H, P_\alpha, J_\alpha, $ т.е. масса (забыл сказать, что масса системы частиц у нас равна сумме масс частиц), энергия, импульс, момент импульса.

Кстати, интересно заметить, что именно инсинуации некоторых участников форума о возможности несохранения массы замкнутой системы в классике побудили меня начать эту тему. Так что главный результат получен. Плюс, надеюсь, участники темы узнали что-то новое и интересное.

Предвидя возражения уважаемого myhand по поводу сохранения массы, оговорюсь - не претендую на математическую точность своего утверждения о законе сохранения массы. Но то, что при определенных естественных предположениях о виде фазового пространства она сохраняется - это ясно. Так что для несохранения массы в классике сторонникам такой возможности придется сделать какие-то конкретные и достаточно серьезные предположения.

Для любителей экзотики на прощание

Упражнение. Конкретный экземпляр "покоящейся" свободной частицы выглядит так: она движется по окружности радиуса $\rho$ с угловой скоростью $\omega$ в плоскости $x, y$ с центром в начале координат. Пусть это будет "правая" частица (вращается в положительном направлении вокруг оси $z$). Выпишите соответствующие генераторы алгебры Галилея.

Я сказал,
vek88

[myhand]

vek88, а нельзя ли _доказать_, что в вашем представлении - взаимодействие можно вести только определенным образом и никак иначе?

Т.е. взаимодействие приводит к наиболее общему гамильтониану вида $\sum\limits_i \frac{{{\vec p}_i}^2}{2 m_i} + U(|{\vec x}_{12}|,|{\vec x}_{13}|,\dots,|{\vec x}_{ij}|,\dots)$ в данной теории (потенциальная энергия - функция межчастичных расстояний для всех перестановок частиц)? Кстати, vek88 - у Вас там попутаны импульсы и к-ты в потенциалах.

Парное взаимодействие - дополнительное ограничение. Догадываюсь, что его можно получить, добавив простую симметрию по-отношению к перестановкам частиц (это к вопросу vek88 относительно того, как "следует" на этом пути - третий закон Ньютона).

[ИгорЪ]

Честно говоря, в ЛЛ1 лагранжиан выведен из общих предположений на одной странице. К чему весь этот огород? Пока одно наукообразие. А где вы про безмассовые галилеевы поля говорили, я не нашел?

[vek88]

myhand в сообщении #302384 писал(а):

(1) vek88, а нельзя ли _доказать_, что в вашем представлении - взаимодействие можно вести только определенным образом и никак иначе?

(2) Т.е. взаимодействие приводит к наиболее общему гамильтониану вида $\sum\limits_i \frac{{{\vec p}_i}^2}{2 m_i} + U(|{\vec x}_{12}|,|{\vec x}_{13}|,\dots,|{\vec x}_{ij}|,\dots)$ в данной теории (потенциальная энергия - функция межчастичных расстояний для всех перестановок частиц)? (3) Кстати, vek88 - у Вас там попутаны импульсы и к-ты в потенциалах.

(4) Парное взаимодействие - дополнительное ограничение. Догадываюсь, что его можно получить, добавив простую симметрию по-отношению к перестановкам частиц (это к вопросу vek88 относительно того, как "следует" на этом пути - третий закон Ньютона).

Уважаемый myhand!

1. Выше я оговорился, что в отличие от $P_\alpha, J_\alpha$ не уверен в единственности предложенных здесь $X_\alpha, H$. Добавить к этому ничего не могу. Чтобы это установить или опровергнуть, надо аккуратно разобраться с уравнениями для этих генераторов (т.е. с соответствующими коммутаторами алгебры Галилея). Подобные занятия выходят за рамки темы - это легко может сделать любой желающий самостоятельно.

2. С учетом пункта (1) нет. Например, для трехчастичных и выше взаимодействий Галилей-инвариантный потенциал может зависеть не только от модулей векторов разности координат двух частиц, но и от скалярных произведений разных векторов $x^i_\alpha - x^j_\alpha$. А, возможно, от импульсов - как я уже сказал, надо рабираться с уравнениями (коммутаторами). Да ведь Вы физик - и догадываетесь, что групповой подход ничего не может потерять из того, что знаете Вы.

3. Да, спасибо, разумеется я второпях ошибся - имелось в виду, что парный потенциал зависит от расстояния между частицами.

4. Это не ограничение, а конкретный пример. Вы можете взять тройные и выше. Разумеется, при условии Галилей-инвариантности. И еще одно условие - эти потенциалы должны достаточно быстро убывать при стремлении хотя бы одного парного расстояния к бесконечности - хотя, если кому-то нравится, можно этого не предполагать.

-- Чт мар 25, 2010 22:38:51 --

ИгорЪ в сообщении #302432 писал(а):

(1) Честно говоря, в ЛЛ1 лагранжиан выведен из общих предположений на одной странице. К чему весь этот огород? Пока одно наукообразие. (2) А где вы про безмассовые галилеевы поля говорили, я не нашел?

Уважаемый ИгорЪ!

1. Видите ли, у нас слепой общался с глухим в том смысле, что я забыл, а Вы не знали. Поэтому все так сложно. А для людей, хорошо знакомых с использованной здесь математикой, данное изложение может быть уложено в 10 строк (коммутаторы алгебры Галилея из Википедии $\rightarrow$ скобки Пуассона $\rightarrow$ искомый гамильтониан). И, кстати, уверен, будет гораздо более понятным, чем рассуждения ЛЛ. Да Вы сами проверьте это по нашей теме, отбросив ликбез и препирательства. Так что Ваше замечание про огород ИМХО неуместно - не путайте огород и ликбез. Да еще учтите традиции системы образования.

А давайте спросим уважаемого Padawan об этом.

2. А про безмассовые поля я не говорил. Кто-то спросил и я дал ссылку на Фушич, Никитин Симметрия уравнений квантовой механики. Там кратко говорится, что такой класс представлений группы Галилея используется для представления безмассовых полей, в частности, для представления нерелятивистских уравнений Максвелла. В каком сообщении нашей темы - не помню.

Уважаемые коллеги!

А что-то никто не реагирует на последнее Упражнение. Но, надеюсь, все заметили, что это упражнение навеяно лагранжианом уважаемого myhand?

А теперь уместно выступить с разоблачением примера, данного в этом упражнении. На самом деле все просто и конструкция следующая. На плоскости $x,y$ уважаемый myhand забил в начало координат колышек - привязал к нему за (нерастяжимую) веревочку грузик - и крутанул в плоскости $x,y$. И глядя на все это безобразие мы поставили задачу описать движение грузика Галилей-инвариантным образом. И все? И все.

Так что Ваша карта бита, уважаемый myhand - это тоже механика (но с ограничениями на движение) и тоже следует из моей групповухи.

Хотя я бы вместо Вашего лагранжиана взял более простой пример - две частицы, взаимодействующие по закону всемирного тяготения и обращающиеся друг вокруг друга по эллипсам. Соответствующий гамильтониан мы уже построили выше - остается подставить конкретный вид потенциала и конкретные начальные условия.

Спасибо всем участникам обсуждения. Не знаю как Вы, а я не только вспомнил многое, но и разобрался кое в чем новом для себя. В частности, пока препирался кое с кем.

С уважением,
vek88

[myhand]

vek88 в сообщении #302455 писал(а):

Так что Ваша карта бита, уважаемый myhand - это тоже механика (но с ограничениями на движение) и тоже следует из моей групповухи.

Послушайте, ну разве это не смешно - пытаться доказать эквивалентность обычного лагранжиана частицы в механике и лагранжиана с высшими производными. То, что оба приводят к гамильтоновому формализму? Да. Но на этом все заканчивается. Например, класс "допустимых" из соображений симметрии лагранжианов/гамильтонианов - существенно выше, чем в обычной механике.

Кстати, не выдумывайте какие-то ограничения - нету их для получающегося гамильтониана в моем примере (если затрудняетесь гамильтониан построить - я таки его приведу). Так что связь с Вашим упражнением пока - отдаленная и туманная.

Обобщенными координатами для гамильтониана служат $x$ и $\dot x$ - это абсолютно не аналогично конфигурационному пространству Вашего примера в отношение действия группы Галилея.

[vek88]

myhand в сообщении #302501 писал(а):

Кстати, не выдумывайте какие-то ограничения - нету их для получающегося гамильтониана в моем примере (если затрудняетесь гамильтониан построить - я таки его приведу). Так что связь с Вашим упражнением пока - отдаленная и туманная.

Обобщенными координатами для гамильтониана служат $x$ и $\dot x$ - это абсолютно не аналогично конфигурационному пространству Вашего примера в отношение действия группы Галилея.

Гамильтониан - это хорошо. Но не могли бы Вы объяснить еще и физический смысл Вашего примера - в чем состоит конкретная механика этого примера - что и как двигается?

Инача все как-то слишком абстрактно и далеко от реальной физики - даже еще дальше, чем групповуха.

[myhand]

Физических смыслов насочинить - никогда нет особых проблем. Почему предложил этот лагранжиан - он (или нуооочень близкий по содержанию) предлагался здесь недавно какими-то альтами в качестве лагранжиана свободной микроскопической частицы. Ну вот вам - другая механика точки...

Как это объясняет простейшие интерференционные картинки - без понятия, если честно Но чисто классически как выглядит такая кинематика - я рассказал выше. Cуперпозиция равномерного поступательного движения + вращения (или экспонента с реальным показателем, в зависимости от знаков $\alpha/\beta$).

[В. Войтик]

Каждую физическую теорию (и кл. механику в том числе) можно и нужно рассматривать с разных точек зрения. Вот скажем с лагранжевской точки зрения
у кл. механики имеются как я насчитал 3 разнородных постулата.
1. Состояние механической системы определяется только координатами и скоростями. Об этом уже упоминал myhand.
2. Принципы симметрии:однородность и изотропность пространства, однородность времени, принцип относительности.
3. Принцип минимального действия, где действие определяется как известный интегральный функционал от лагранжиана.
Из этих принципов можно вывести все известные результаты как блестяще продемонстрировали Ландау и Лифшиц.
Любопытно спросить vek88 (и других участников дискуссии): а какие основные принципы Вы насчитываете в а) канонической формулировке механики, в б) механики Гамильтона-Якоби ? Сколько этих принципов?

-- Пт мар 26, 2010 11:47:15 --

В. Войтик в сообщении #302599 писал(а):

у кл. механики имеются как я насчитал 3 разнородных постулата.

Забыл 4 постулат.
Взаимодействие между частицами определяется некоторой добавкой к лагранжиану невзаимодействующих частиц.

[vek88]

myhand в сообщении #302501 писал(а):

vek88 в сообщении #302455 писал(а):

Так что Ваша карта бита, уважаемый myhand - это тоже механика (но с ограничениями на движение) и тоже следует из моей групповухи.

(1) Послушайте, ну разве это не смешно - пытаться доказать эквивалентность обычного лагранжиана частицы в механике и лагранжиана с высшими производными. То, что оба приводят к гамильтоновому формализму? Да. Но на этом все заканчивается. Например, класс "допустимых" из соображений симметрии лагранжианов/гамильтонианов - существенно выше, чем в обычной механике.

(2) Кстати, не выдумывайте какие-то ограничения - нету их для получающегося гамильтониана в моем примере (если затрудняетесь гамильтониан построить - я таки его приведу). Так что связь с Вашим упражнением пока - отдаленная и туманная.

Обобщенными координатами для гамильтониана служат $x$ и $\dot x$ - это абсолютно не аналогично конфигурационному пространству Вашего примера в отношение действия группы Галилея.

Уважаемый myhand!

1. Мне смешно, но совсем другое (см. ниже после пункта 4 моего ответа).

А "эквивалентность обычного лагранжиана и лагранжиана с высшими производными" я Вам докажу на Вашем же примере (см. ниже Теорему).

2. А я ведь вчера подсказал Вам про связи (см. первый параграф Гантмахера). Но Вы не обратили внимание. А связь с моим примером очевидная – просто надо добавить еще одну частицу в примере с веревочкой (со сдвигом по фазе $\frac{\pi}{2}$), или еще две – в примере с гравитационным взаимодействием. Так что еще раз обращаю Ваше внимание на необходимость вникать в физический смысл. Именно связи позволяют понять физический смысл высших производных и «вернуться» к обычному формализму (т.е. к формализму без высших производных).

myhand в сообщении #302516 писал(а):

Физических смыслов насочинить - никогда нет особых проблем. Почему предложил этот лагранжиан - он (или нуооочень близкий по содержанию) предлагался здесь недавно какими-то альтами в качестве лагранжиана свободной микроскопической частицы. (3) Ну вот вам - другая механика точки...

(4) … чисто классически как выглядит такая кинематика - я рассказал выше. Cуперпозиция равномерного поступательного движения + вращения (или экспонента с реальным показателем, в зависимости от знаков $\alpha/\beta$).

3. Никакой другой механики точки. Ведь я же раньше говорил, что мы не рассматриваем здесь тензоры и/или твердое тело. А Ваш пример один к одному ложится, например, на крестообразную гантельку. Или на модель молекулы с соответствующей симметрией.

4. Видите? Я вникаю в физический смысл. И поэтому целенаправленно пользуюсь Вашими подсказками. Именно эта Ваша подсказка вчера привела меня к грузику на веревочке, а затем и к полному пониманию Вашего примера в рамках моей групповухи, о чем сейчас и пишу.

С учетом вышесказанного еще раз советую Вам поменьше абстракционизма и побольше конструктивизма и внимания к физическому смыслу. А сейчас

Теорема. Лагранжиан уважаемого myhand может быть представлен в нашей групповой механике, если вместо движения классических частиц рассматривать движение твердого тела.

Доказательство. Покажем, что все сказанное Вами о принципиальном отличии Вашего примера от моей «групповой» механики не соответствует действительности. Доказательство проведем конструктивно – мы представим в моей «групповой» механике Ваш пример с высшими производными.

1. В построенной мной «групповой» механике берем 4-х частичное представление. Взаимодействие – классическая гравитация. Берем конкретный случай – эти четыре частицы движутся по окружности радиуса $\rho$ в плоскости $x, y$ с центром в начале координат со сдвигом по фазе на $\frac{\pi}{2}$. Надеюсь, здесь все понятно. Наши генераторы гарантируют возможность описания такой конфигурации частиц (или планет) в любой ИСО.

2. А теперь маленький трюк, основанный на понимании физического смысла всего происходящего с нашими частицами (планетами). Мы аккуратно, не нарушая конфигурации, заменяем гравитационное взаимодействие на жесткие невесомые стержни, жестко скрепленные в центре окружности. У нас получилась крестообразная гантелька.

Что получается в результате? Ничего особенного – частицы-планеты будут продолжать двигаться по тем же траекториям с теми же скоростями. Следовательно, наше представление группы Галилея остается неизменным – Галилей-инвариантность не нарушена.

3. А что же изменилось? Стало меньше степеней свободы. Давайте учтем это, соответственно упростив описание системы, а именно, выбрав подходящее фазовое пространство меньшей размерности, достаточное для описания нашей гантельки.

Пусть частицы занумерованы по порядку расположения на окружности. Введем новые координаты и скорости следующим образом.
$R_\alpha$ - 3-вектор координат центра инерции гантельки.
$\dot R_\alpha$ - 3-вектор скорости центра инерции гантельки.
$r_\alpha$ - 3-вектор координат 1-й частицы в с.ц.и.
$v_\alpha$ - 3-вектор скорости 1-й частицы в с.ц.и.
$v_2_\alpha$ - 3-вектор скорости 2-й частицы в с.ц.и.

4. А теперь очередной трюк. Заметим, что в неподвижной системе координат ($\dot R_\alpha=0$) исходя из физического смысла (по построению нашей гантельки)

$$v_2_\alpha = C \dot v_\alpha,$$

где $C$ - некоторая константа. С учетом сказанного находим искомое – лагранжиан имеет вид

$$L = 2\frac{m(v_\alpha)^2}{2} + 2\frac{m(\dot v_\alpha)^2}{2} = m(\dot r_\alpha)^2 + m C^2(\ddot r_\alpha)^2.$$

Пожалуйста! Получите Ваш лагранжиан!

С уважением,
vek88

[myhand]

Если вы исправите выкладки, то не получите. Квадратичного по ускорениям слагаемого не будет. Как минимум - знаки лагранжиана у вас получились неправильные. При этих знаках для такого лагранжиана с высшими производными - частица будет двигаться не по спирали а по экспоненте (знаки $\alpha$ и $\beta$ должны быть противоположными).

Ну ладно. Я не возражаю против того, что лагранжиану с высшими производными можно дать таким образом физическую интерпретацию в рамках обычной механики. Как я уже сказал - гамильтонов формализм одинаковый. Как минимум - возникает вопрос - какое представление для свободной частицы правильнее.

Теперь я затрону основную "цель" Ваших "доказательств". Постоянство массы.

Вы показали, что гамильтониан системы невзаимодействующих частиц при известных предположениях о пространстве состояний - следует из симметрий классической механики.

Думаю, любой физик сказал бы, что пока в понятие "масса" не было вложено никакого физического содержания. Оно будет ясно, если Вы рассмотрите взаимодействие частиц. Причем хоть самые простейшие, когда частицы взаимодействуют только в одной пространственно-временной точке (столкновения). Но такие, в которых число частиц может и меняться (неупругие).

Итак: до и после - свободные частицы. До: $n$ частиц, после $m\ne n$. Vek88-сан - считаете ли Вы, что из одних только принципов симметрии Вам удалось показать, что интегралы движения систем свободных частиц в точке столкновения должны _неприрывно_ сшиваться?