(
1) vek88, а нельзя ли _доказать_, что в вашем представлении - взаимодействие можно вести только определенным образом и никак иначе?
(
2) Т.е. взаимодействие приводит к наиболее общему гамильтониану вида
в данной теории (потенциальная энергия - функция межчастичных расстояний для всех перестановок частиц)? (
3) Кстати, vek88 - у Вас там попутаны импульсы и к-ты в потенциалах.
(
4) Парное взаимодействие - дополнительное ограничение. Догадываюсь, что его можно получить, добавив простую симметрию по-отношению к перестановкам частиц (это к вопросу vek88 относительно того, как "следует" на этом пути - третий закон Ньютона).
Уважаемый
myhand!
1. Выше я оговорился, что в отличие от
не уверен в единственности предложенных здесь
. Добавить к этому ничего не могу. Чтобы это установить или опровергнуть, надо аккуратно разобраться с уравнениями для этих генераторов (т.е. с соответствующими коммутаторами алгебры Галилея). Подобные занятия выходят за рамки темы - это легко может сделать любой желающий самостоятельно.
2. С учетом пункта (1) нет. Например, для трехчастичных и выше взаимодействий Галилей-инвариантный потенциал может зависеть не только от модулей векторов разности координат двух частиц, но и от скалярных произведений разных векторов
. А, возможно, от импульсов - как я уже сказал, надо рабираться с уравнениями (коммутаторами). Да ведь Вы физик - и догадываетесь, что
групповой подход ничего не может потерять из того, что знаете Вы.3. Да, спасибо, разумеется я второпях ошибся - имелось в виду, что парный потенциал зависит от расстояния между частицами.
4. Это не ограничение, а конкретный пример. Вы можете взять тройные и выше. Разумеется, при условии Галилей-инвариантности. И еще одно условие - эти потенциалы должны достаточно быстро убывать при стремлении хотя бы одного парного расстояния к бесконечности - хотя, если кому-то нравится, можно этого не предполагать.
-- Чт мар 25, 2010 22:38:51 --(1) Честно говоря, в ЛЛ1 лагранжиан выведен из общих предположений на одной странице. К чему весь этот огород? Пока одно наукообразие. (2) А где вы про безмассовые галилеевы поля говорили, я не нашел?
Уважаемый
ИгорЪ!
1. Видите ли, у нас слепой общался с глухим в том смысле, что я забыл, а Вы не знали. Поэтому все так сложно. А для людей, хорошо знакомых с использованной здесь математикой, данное изложение может быть уложено в 10 строк (коммутаторы алгебры Галилея из Википедии
скобки Пуассона
искомый гамильтониан). И, кстати, уверен, будет гораздо более понятным, чем рассуждения ЛЛ. Да Вы сами проверьте это по нашей теме, отбросив ликбез и препирательства. Так что Ваше замечание про огород ИМХО неуместно - не путайте огород и ликбез. Да еще учтите
традиции системы образования.
А давайте спросим уважаемого
Padawan об этом.
2. А про безмассовые поля я не говорил. Кто-то спросил и я дал ссылку на Фушич, Никитин Симметрия уравнений квантовой механики. Там кратко говорится, что такой класс представлений группы Галилея используется для представления безмассовых полей, в частности, для представления нерелятивистских уравнений Максвелла. В каком сообщении нашей темы - не помню.
Уважаемые коллеги!
А что-то никто не реагирует на последнее Упражнение. Но, надеюсь, все заметили, что это упражнение навеяно лагранжианом уважаемого
myhand?
А теперь уместно выступить с разоблачением примера, данного в этом упражнении. На самом деле все просто и конструкция следующая. На плоскости
уважаемый
myhand забил в начало координат колышек - привязал к нему за (нерастяжимую) веревочку грузик - и крутанул в плоскости
. И глядя на все это безобразие мы поставили задачу описать движение грузика Галилей-инвариантным образом. И все? И все.
Так что Ваша карта бита, уважаемый
myhand - это тоже механика (но с ограничениями на движение) и тоже следует из моей групповухи.
Хотя я бы вместо Вашего лагранжиана взял более простой пример - две частицы, взаимодействующие по закону всемирного тяготения и обращающиеся друг вокруг друга по эллипсам. Соответствующий гамильтониан мы уже построили выше - остается подставить конкретный вид потенциала и конкретные начальные условия.
Спасибо всем участникам обсуждения. Не знаю как Вы, а я не только вспомнил многое, но и разобрался кое в чем новом для себя. В частности, пока препирался кое с кем.
С уважением,
vek88