Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[myhand]

vek88 в сообщении #301616 писал(а):

Надеюсь, что придем.

1. Следуют. И мы это покажем. В свое время. Ведь в этом, в частности, цель нашей темы.[/quote]

Ах если бы. Вам неоднократно "намекали" о том, что - нет, не следуют. Вы вложили в теорию массу произвольных с общей точки зрения допущений. Прежде всего, при выборе пространства состояний.

vek88 в сообщении #301616 писал(а):

Я просил на пальцах объяснить соответствие классической механики постулату относительности. А Вы мне про первый закон.

Для этого Вам поточнее следовало бы сформулировать тогда - _что_ Вы подразумеваете под понятием классическая механика. Если некоторый исходный набор аксиом (вроде трех законов Ньютона) - все, что можно сказать я отметил - показать совместность этих аксиом при таких-то и таких-то предположениях о зависимостях сил от характеристик частиц.

[vek88]

myhand в сообщении #301629 писал(а):

vek88 в сообщении #301616 писал(а):

1. Следуют. И мы это покажем. В свое время. Ведь в этом, в частности, цель нашей темы.

Ах если бы. Вам неоднократно "намекали" о том, что - нет, не следуют. Вы вложили в теорию массу произвольных с общей точки зрения допущений. Прежде всего, при выборе пространства состояний.

Какие же это допущеня я вложил в теорию? При выборе пространства состояний я пока предположил, что это 6-пространство. Даже вектор $p_\alpha$ мы назвали импульсом пока только формально, не придав этому конкретного смысла.

Единственное мое допущение, относящееся к физике, - это Галилей-инвариантность.

И, забегая вперед, математики классифицировали все представления группы Галилея. В определенном смысле, среди них не найдено ничего, кроме частиц с определенной массой и определенным спином.

Так что же? Где масса произвольных с общей точки зрения допущений, якобы сделанных мной?

-- Ср мар 24, 2010 08:44:15 --

И еще. Если Вы хотите взять какое-то свое фазовое пространство, например, для описания твердого тела, то возьмите его. В нем найдите представление группы Галилея - и странным образом Вы увидите, что получили Вашу механику, например, для описания динамики твердого тела. И ничего кроме этого.

Так что следует, и еще как следует.

Впрочем мы ограничимся только рассмотрением системы материальных точек. И соответствующих фазовых пространств.

[vek88]

6. Представление алгебры Ли группы Галилея для одной частицы

Итак, ищем представление алгебры Ли группы Галилея (далее – алгебра Галилея). Для этого надо найти генераторы $H, P_\alpha, X_\alpha, J_\alpha,$ действующие в нашем фазовом пространстве и образующие алгебру Галилея. Фактически, это означает, что мы должны решить систему уравнений для этих генераторов. Напомним, что эти генераторы являются функциями состояния – для одной (безспиновой) частицы – функциями $x_\alpha, p_\alpha$.

Упростим задачу – мы уже установили, что генератор пространственных сдвигов имеет вид

$$P_\alpha = p_\alpha.$$

По аналогичным соображениям можно установить (рекомендуется сделать это в качестве упражнения), что

$$J_\alpha = \varepsilon_\alpha_\beta_\gamma p_\beta x_\gamma.$$

Это не что иное, как момент импульса (если я не ошибся в знаке – впрочем, на это я позволю себе в данном случае не обратить внимание, поскольку нигде не использую знак). А теперь внимание! В нашей алгебре Галилея (см. Википедию)

$$ [H_\alpha, P_\beta]=0,$$

следовательно,

$$[H, p_\alpha]=0.$$

Последнее означает, что

$$\frac{\partial H}{ x_\alpha}=0,$$

т.е. $H$ зависит только от импульса. Аналогично в нашей алгебре (см. Википедию)

$$ [H_\alpha, J_\beta]=0.$$

С учетом вида $J_\alpha$ находим, что $H$ зависит только от квадрата импульса, т.е.

$$H=H(p_\alpha^2).$$

Продолжим уточнять вид гамильтониана $H$. Учтом следующий коммутатор.

$$[X_\alpha, H]=0.$$

Отсюда получаем уравнение

$$\frac{\partial X_\alpha}{\partial x_\beta} \frac{\partial H}{\partial p_\beta} = p_\alpha.$$

С учетом вида $H$ находим, что

$$\frac{\partial X_\alpha}{\partial x_\beta} = 2 H' \delta_\alpha_\beta. \eqno(\ast)$$

Здесь штрих означает производную по квадрату импульса.

И тут появляется обезьянослоноут. Строго говоря, в алгебра Галилея мы имеем коммутатор

$$[X_\alpha, p_\beta]=0.$$

Но в этом случае не существует искомого представления алгебры Галилея (рекомендуется проверить в качестве упражнения). И мы делаем трюк - расширяем нашу алгебру Галилея, добавив новый генератор, коммутирующий со всеми десятью, уже имеющимися! А поскольку этот новый опреатор коммутирует со всеми остальными, состояния физической системы, полученные сдвигом в направлении этого генератора, следует считать эквивалентными. Новый оператор равен константе, которую мы обозначим $m$ и будем называть массой частицы. А предыдущий коммутатор мы перепишем в виде (см. Википедию)

$$[X_\alpha, p_\beta]=m\delta_\alpha_\beta.$$

Подставив это в уравнение $(\ast)$ находим, что

$$H = \frac{p^2}{2m} + C,$$

где $C$ произвольная константа.

И все? Да, в случае одной свободной частицы это все.

Кстати, вот ссылка на алгебру Галилея.

myhand в сообщении #299079 писал(а):

См. википедию. Английский текст там вполне ничего.

http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_transformation

[myhand]

vek88 в сообщении #301652 писал(а):

Какие же это допущеня я вложил в теорию? При выборе пространства состояний я пока предположил, что это 6-пространство.

_Весьма_ нетривиальное допущение, надо сказать. Вон - Аристотель о нем не знал.

Добавите еще высших производных в Ваше определение состояния - также получите "механику" (в формализме Лагранжа можно просто добавить производные в функцию Лагранжа).

vek88 в сообщении #301652 писал(а):

Единственное мое допущение, относящееся к физике, - это Галилей-инвариантность.

Нет. Вы произвольным (с общей точки зрения) образом выбрали пространство состояний.

vek88 в сообщении #301652 писал(а):

И, забегая вперед, математики классифицировали все представления группы Галилея. В определенном смысле, среди них не найдено ничего, кроме частиц с определенной массой и определенным спином.

Ну вот Вам $L=\alpha {\dot x}^4 + \beta {\ddot x}^2$ - как вы такой лагранжиан классифицируете?

Ладно. Данной дискуссией я отвлекаю от дальнейшего изложения, прошу извинить если что...

vek88 в сообщении #301685 писал(а):

И все? Да, в случае одной свободной частицы это все.

Не забудьте про уравнения Гамильтона.

[ИгорЪ]

а для безмассовой частицы этот гамильтониан не годится

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #301743 писал(а):

а для безмассовой частицы этот гамильтониан не годится

А если копнуть чуть глубже - предел "безмассовой" частицы в галилеевой механике - не имеет смысла. По крайней мере для свободной частицы.

В релятивистской - да, там имеет смысл. Используя подход Дирака, можно даже соорудить некоторый аналог гамильтониана для безмассовой частицы: http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_bracket

[vek88]

myhand в сообщении #301734 писал(а):

vek88 в сообщении #301652 писал(а):

Какие же это допущеня я вложил в теорию? При выборе пространства состояний я пока предположил, что это 6-пространство.

(1) Весьма_ нетривиальное допущение, надо сказать. Вон - Аристотель о нем не знал.

(2) Добавите еще высших производных в Ваше определение состояния - также получите "механику" (в формализме Лагранжа можно просто добавить производные в функцию Лагранжа).

vek88 в сообщении #301652 писал(а):

Единственное мое допущение, относящееся к физике, - это Галилей-инвариантность.

(3) Нет. Вы произвольным (с общей точки зрения) образом выбрали пространство состояний.

vek88 в сообщении #301652 писал(а):

И, забегая вперед, математики классифицировали все представления группы Галилея. В определенном смысле, среди них не найдено ничего, кроме частиц с определенной массой и определенным спином.

(4) Ну вот Вам $L=\alpha {\dot x}^4 + \beta {\ddot x}^2$ - как вы такой лагранжиан классифицируете?

Ладно. Данной дискуссией я отвлекаю от дальнейшего изложения, прошу извинить если что...

vek88 в сообщении #301685 писал(а):

И все? Да, в случае одной свободной частицы это все.

(5) Не забудьте про уравнения Гамильтона.

1-4. Вы изумительно неконструктивны. Ведь я уже предлагал Вам - сделайте что-нибудь сам - и покажите что интересного у Вас получилось.

Напоминаю еще раз. Моя задача в этой теме - показать определенный формализм. А выбор конкретного фазового пространства для представления алгебры Галилея - это Ваша селедка. Вы вольны выбирать то, что Вам понравиться.

Например, возьмите пространство волновых функций одной безспиновой частицы в качестве фазового пространства. Найдите в нем представление алгебры Галилея. И ... покажите нам, что у Вас получилось.

5. Будут. Хотя только для других участников темы. А Вы получите их сами в качестве упражнения на констуктивность общения. Если не сможете, то я это сделаю за Вас.

ИгорЪ в сообщении #301743 писал(а):

а для безмассовой частицы этот гамильтониан не годится

Нет, не годится. В этом фазовом пространстве при $m=0$ ИМХО решения нет.

myhand в сообщении #301752 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #301743 писал(а):

а для безмассовой частицы этот гамильтониан не годится

(1) А если копнуть чуть глубже - предел "безмассовой" частицы в галилеевой механике - не имеет смысла. По крайней мере для свободной частицы.

(2) В релятивистской - да, там имеет смысл. Используя подход Дирака, можно даже соорудить некоторый аналог гамильтониана для безмассовой частицы: http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_bracket

1. В нашем фазовом пространстве (если не ошибаюсь, впрочем, проверьте и расскажите нам) столь глубоко не копается - масса у нас обязательно ненулевая. В принципе, существует класс неприводимых представлений группы Галилея, соответствующих нулевой массе. См., например, Фушич, Никитин Симметрия уравнений квантовой механики. Такие представления реализуют нерелятивистские поля с нулевой массой покоя, например, галилеевски инвариантное электромагнитное поле.

2. Это Вы, батенька, перемудрили. Можно все проще - применяете наш подход для группы Пуанкаре на фазовом пространстве функций $\psi(x_\alpha),$ а в награду получаете положительную ветвь Клейна-Гордона. Подставьте в него $m=0$ и получите искомый гамильтониан (а не аналог). Кстати, в импульсном представлении он просто равен модулю вектора импульса (считая $c=1$).

[Padawan]

vek88
А почему именно скобки Пуассона? Что если я хочу найти представление группы Галилея преобразованиями другого вида? Будет это иметь физический смысл? Или тут именно существенно, что операторы должны быть одновременно и функциями на фазовом пространстве?

[vek88]

Padawan в сообщении #301958 писал(а):

vek88
А почему именно скобки Пуассона? Что если я хочу найти представление группы Галилея преобразованиями другого вида? Будет это иметь физический смысл? Или тут именно существенно, что операторы должны быть одновременно и функциями на фазовом пространстве?

И выбор конкретного фазового пространства $S$, и выбор конкретного подмножества множества $Aut(S)$ для представления алгебры Галилея (или Пуанкаре) - это наша селедка. Что хотим, то и выбираем с учетом решаемой задачи.

Так что скобки Пуассона вовсе не обязательно. Я занимался квантами и в свое время искал представления групп Пуанкаре и Галилея автоморфизмами гильбертовых пространств и пространств Фока. А классические частицы рассмотрел исключительно ради спортивного интереса - ну и взял то, что подвернулось под руки - скобки Пуассона.

[myhand]

vek88 в сообщении #301952 писал(а):

4. Вы изумительно неконструктивны. Ведь я уже предлагал Вам - сделайте что-нибудь сам - и покажите что интересного у Вас получилось.

Уж куда кажется более конструктивен. Я предъявил Вам лагранжиан, явно инвариантный относительно группы Галилея. Вывести уравнения движения или перейти к гамильтонову формализму - стандартная задача.

vek88 в сообщении #301952 писал(а):

Напоминаю еще раз. Моя задача в этой теме - показать определенный формализм. А выбор конкретного фазового пространства для представления алгебры Галилея - это Ваша селедка. Вы вольны выбирать то, что Вам понравиться.

В этом выборе - физика сидит. Помимо подразумеваемой Вами галилеевой инвариантности. Т.е. Вы показали, что при определенном выборе представления группы Галилея - получим классическую механику. Не спорю.

Но нет. Вы обещали показать как следует "все ли знают, что эта формула _автоматически выводится_ из предположения о Галилеевой инвариантности" (о кинетической энергии).

vek88 в сообщении #301952 писал(а):

2. Это Вы, батенька, перемудрили. Можно все проще - применяете наш подход для группы Пуанкаре на фазовом пространстве функций $\psi(x_\alpha),$ а в награду получаете положительную ветвь Клейна-Гордона. Подставьте в него $m=0$ и получите искомый гамильтониан (а не аналог). Кстати, в импульсном представлении он просто равен модулю вектора импульса (считая $c=1$).

Я рассматривал аналогичное Вашему представление (координаты и импульсы частицы). Причем здесь теория поля и уравнение Клейна-Гордона? Со скобками Дирака, действительно - погорячился. Если не использовать явно ковариантный гамильтонов формализм - они ни к чему.

[vek88]

myhand в сообщении #301985 писал(а):

vek88 в сообщении #301952 писал(а):

4. Вы изумительно неконструктивны. Ведь я уже предлагал Вам - сделайте что-нибудь сам - и покажите что интересного у Вас получилось.

(1) Уж куда кажется более конструктивен. Я предъявил Вам лагранжиан, явно инвариантный относительно группы Галилея. Вывести уравнения движения или перейти к гамильтонову формализму - стандартная задача.

vek88 в сообщении #301952 писал(а):

Напоминаю еще раз. Моя задача в этой теме - показать определенный формализм. А выбор конкретного фазового пространства для представления алгебры Галилея - это Ваша селедка. Вы вольны выбирать то, что Вам понравиться.

В этом выборе - физика сидит. Помимо подразумеваемой Вами галилеевой инвариантности. Т.е. Вы показали, что при определенном выборе представления группы Галилея - получим классическую механику. Не спорю.

(2) Но нет. Вы обещали показать как следует "все ли знают, что эта формула _автоматически выводится_ из предположения о Галилеевой инвариантности" (о кинетической энергии).

vek88 в сообщении #301952 писал(а):

2. Это Вы, батенька, перемудрили. Можно все проще - применяете наш подход для группы Пуанкаре на фазовом пространстве функций $\psi(x_\alpha),$ а в награду получаете положительную ветвь Клейна-Гордона. Подставьте в него $m=0$ и получите искомый гамильтониан (а не аналог). Кстати, в импульсном представлении он просто равен модулю вектора импульса (считая $c=1$).

(3) Я рассматривал аналогичное Вашему представление (координаты и импульсы частицы). Причем здесь теория поля и уравнение Клейна-Гордона? Со скобками Дирака, действительно - погорячился. Если не использовать явно ковариантный гамильтонов формализм - они ни к чему.

1. Я так и не понял - что Вы от меня то хотите в связи с Вашим лагранжианом? Что - я что-то должен с ним делать? Если так, то сделайте сами и расскажите нам, что интересного Вы получите.

2. А разве Вы еще не увидели формулы для кинетической энергии? Что,

$$H=\frac{p^2}{2m}$$

не та формула? Ах, Вы хотите через скорость? Тогда в качестве упражнения преобразуйте эту формулу к привычному для Вас виду. И покажите нам.

3. Да, в теорию поля меня занесло зря. Но тогда еще проще. В том, что мы только что построили, замените Галилея на Пуанкаре. И получите

$$H=\sqrt{m^2+p^2}.$$

Здесь можно положить $m=0.$ Так что в релятивистском случае ничего мудрить не нужно с безмассовой частицей.

ЗЫ. Кстати, спасибо Вам за ссылку на Википедию - это действительно конструктивный вклад в наше обсуждение.

[myhand]

vek88 в сообщении #302003 писал(а):

1. Я так и не понял - что Вы от меня то хотите в связи с Вашим лагранжианом? Что - я что-то должен с ним делать? Если так, то сделайте сами и расскажите нам, что интересного Вы получите.

Ну например, получите гамильтониан для него. Он будет другой, нежели приведенный Вами. Я для простоты ограничился одномерным случаем, нет вращений - надеюсь, это Вас не смутит.

vek88 в сообщении #302003 писал(а):

2. А разве Вы еще не увидели формулы для кинетической энергии? Что,

$$H=\frac{p^2}{2m}$$

не та формула? Ах, Вы хотите через скорость? Тогда в качестве упражнения преобразуйте эту формулу к привычному для Вас виду. И покажите нам.

Увидел. Вы хотели показать, что при _частном_ выборе пространства состояний - можно получить привычные соотношения классической механики? Еще раз, я _не возражаю_ против этого. Просто, мне казалось - задумка была более амбициозной (см. предыдущий пост).

А в итоге: 1) подразумевается галилеева инвариантность 2) выбрано частное пространство состояний $S$ 3) вид операторов, действующих на $S$.

vek88 в сообщении #302003 писал(а):

3. skip... Так что в релятивистском случае ничего мудрить не нужно с безмассовой частицей.

Да, не нужно, я выше уже исправился. Нужно - только если Вы хотите получить ковариантное гамильтоново описание.

Пожалуйста, не торопитесь отвечать, если не нашли время внимательно прочитать пост. Лучше не отвлекайтесь и продолжайте свое изложение, минуя мои, так сказать, "реплики из зала".

[Padawan]

А подход со скобками Пуассона и с инвариантным лагранжианом не одно и то же? В смысле не сводится ли одно к другому?

[vek88]

Padawan в сообщении #302083 писал(а):

А подход со скобками Пуассона и с инвариантным лагранжианом не одно и то же? В смысле не сводится ли одно к другому?

Насколько я помню (и проверяю себя по Лекциям по аналитической механике Гантмахера) лагранжев формализм эквивалентен гамильтонову в смысле возможностей представления механики. Поэтому я делаю вывод о том, что все сказанное мной может быть переложено на лагранжев формализм и/или на принцип наименьшего действия.

И совсем не обязательно использовать гамильтонов формализм и скобки Пуассона для представления групп (я уже выше говорил это). Например, если кому-то нравится принцип наименьшего действия, уравнения Лагранжа или что-то еще, нет проблем - работайте в этих формализмах. Но для обоснования Галилей- (или Пуанкаре-) инвариантности Вы обязаны будете построить представление группы Галилея (Пуанкаре).

Но, как я говорил уже не раз, я занимался этим очень давно и все забыл. Особенно это касается "технических" навыков в манипуляциях с формулами и формализмами. Поэтому я постоянно обращаюсь с просьбами помочь, проверить меня или сделать что-то в качестве упражнения. Например, если у кого-либо возникают идеи о Галилей-инвариантном лагранжиане, гамильтониан для которого отличается от полученного в разделе 6, то я прошу разобраться в этом самим и рассказать нам об этом. В частности, объяснить нам почему этот лагранжиан Галилей-инвариантен. В идеале для этого хорошо бы предъявить представление алгебры Галилея в его собственном фазовом пространстве в выбранном им самим классе автоморфизмов его собственного фазового пространства. Это я считаю принципиальным.

Ведь что значит инвариантность, например, в нашем случае одной частицы. Это значит, находясь в конкретной ИСО и наблюдая эту конкретную частицу я знаю и все возможные траектории движения этой частицы в этой же ИСО, соответствующие такому же состоянию частицы во всех других ИСО. Поэтому я считаю очень желательным предъявление множества траекторий с определенным на нем представлением группы Галилея или Пуанкаре. Или, хотя бы, с определенной на нем алгеброй Галилея или Пуанкаре. Без доказательства существования такой алгебры я не смогу поверить в инвариантность.

Именно такая трактовка инвариантности раскрывает смысл равноправности различных ИСО - мы в любой ИСО видим одно и то же множество траекторий и одно и то же множество автоморфизмов этого множества! А переход в другую ИСО означает просто определенный автоморфизм на множестве этих траекторий, при котором общая картина остается той же - я снова вижу то же множество траекторий и тот же класс автоморфизмов этого множества.

ИМХО именно такой подход позволяет довести до очевидности формализацию понятия инвариантности (или симметрии). Без этого слишком велика вероятность ошибок и недопониманий.

Кстати, здесь уместно еще раз поблагодарить уважаемого Padawan за помощь и поддержку, а также за исключительно конструктивное участие в теме.

С уважением,
vek88

[vek88]

7. Представление алгебры Ли группы Галилея для $n$ частиц

Для $n$ классических безспиновых частиц фазовое пространство - это $6n$-пространство точек вида $(x^i_\alpha, p^i_\alpha) (i=1, ..., n),$ где $x^i_\alpha$ - координаты $i$-й частицы, $p^i_\alpha$ - ее импульс. Скобки Пуассона определяются следующим образом. Пусть даны две функции состояния $\varphi(t, x^i_\alpha, p^i_\alpha)$ и $\psi(t, x^i_\alpha, p^i_\alpha)$.

$$[\varphi, \psi] =\frac{\partial \varphi}{\partial x^i_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial p^i_\alpha} -\frac{\partial \varphi}{\partial p^i_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial x^i_\alpha}.$$

Теперь для нас очевидно (надеюсь), что генераторы $P_\alpha, J_\alpha$ выражаются в виде суммы "одночастичных" генераторов, т.е.

$$P_\alpha = \sum\limits_{i=1}^{n} P^i_\alpha= \sum\limits_{i=1}^{n} p^i_\alpha,$$

$$J_\alpha = \sum\limits_{i=1}^{n} J^i_\alpha= \sum\limits_{i=1}^{n} \varepsilon_\alpha_\beta_\gamma p^i_\beta x^i_\gamma.$$

В качестве генератора $X^\alpha$ мы также возьмем сумму одночастичных генераторов

$$X_\alpha = \sum\limits_{i=1}^{n} X^i_\alpha= \sum\limits_{i=1}^{n} m x^i_\alpha.$$

Хотя для этого генератора я не уверен, что отсутствуют другие возможности (не помню).

Гамильтониан $H$ мы возьмем в виде

$$H=\sum\limits_{i=1}^{n} H^i + V= \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(p^i)^2}{2} + V,$$

где $V$ - потенциал взаимодействия наших частиц. Для этого генератора я тоже не уверен, что отсутствуют другие возможности.

Далее мы рассмотрим простейшие возможности выбора потенциала $V.$