Понятия полноты и компактности

[VoloCh]

ewert в сообщении #301723 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #301718 писал(а):

Тем не менее, Вики действует по моему

Ну, с девушками не спорят. Однако даже Вика понимает, что между пространствами и множествами есть всё-таки некоторая разница:

Цитата:

Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.

Для меня в этом вопросе Колмогоров бОльший авторитет, чем Вики. А для Вас? Да забавно, что статья названа "Компактные пространства", а примеры приведены "Компактных множеств".

Множества, пространства... есть разница. Например, возьмем вполне непрерывные операторы (переводящие ограниченные множества в компактные) - именно для них действует огромное множество практически важных теорем. Для них с конечномерного случая распространяется теория вращения векторного поля и т.д. А если не заморачиваться терминами? Как их определять? Оператор, переводящий ограниченное пространство в компактное пространство? Смешно! Оператор ведь определен уже на некотором пространстве (чаще всего линейном, банаховом).

[ewert]

VoloCh в сообщении #301730 писал(а):

возьмем вполне непрерывные операторы (переводящие ограниченные множества в компактные)

В предкомпактные.

[Профессор Снэйп]

Пусть $\Phi(\mathcal{T}, X)$ --- свойство подмножеств топологического пространства, то есть утверждение, истинное или ложное для каждой пары $(\mathcal{T}, X)$, где $\mathcal{T} = (T, \tau)$ --- топологическое пространство и $X \subseteq T$. Назовём это свойство существенно множественным, если его нельзя определить в терминах топологического пространства $(X, \tau \upharpoonright X)$ (то есть если $\Phi(\mathcal{T}_1, X_1)$ истинно и $\Phi(\mathcal{T}_2, X_2)$ ложно для некоторых $\mathcal{T}_1 = (T_1, \tau_1)$, $\mathcal{T}_2 = (T_2, \tau_2)$, $X_1 \subseteq T_1$ и $X_2 \subseteq T_2$, таких что $(X_1, \tau_1 \upharpoonright X_1)$ гомеоморфно $(X_2, \tau_2 \upharpoonright X_2)$).

Так вот, компактность не является существенно множественным свойством, посему вполне достаточно определять компактность только для пространств. Предкомпактность, напротив, является, и её нужно определять уже для множеств (после того, как определена компактность). Вроде всё очевидно, из-за чего такие споры?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #301739 писал(а):

Вроде всё очевидно, из-за чего такие споры?

Не знаю. С моей стороны -- из-за того, что по мне так любая система определений должна быть разумной, а не только формально корректной. Ну есть у меня такая причуда. Так вот, определять компактность изначально на всём пространстве и лишь затем сужать это определение на подмножества -- нелепо и лишь сбивает с толку. Поскольку в большинстве приложений пространство не является компактным и даже хотя бы локально компактным. А вот компактные его подмножества -- очень даже интересны.

Поэтому естественный подход -- прямо противоположный: определить компактность именно множества, а потом можно мельком и оговорить: дескать, а ведь знаете, бывают ведь и такие чудеса, когда и всё пространство целиком тоже вдруг оказывается компактным...

----------------------------------------------------------
И снова дополнение. Предкомпактность -- более принципиальное понятие, чем компактность. Как показывает приведённый VoloCh пример с компактным оператором. И не только он. Вообще при доказательстве теорем существования если строится некоторая последовательность, то она почти наверняка окажется предкомпактной (а ровно это от неё и требуется), но вовсе не компактной. Поэтому определять следует не предкомпактность как то, что после замыкания превращается в компактность, а наоборот: компактность как предкомпактность плюс замкнутость (хоть формально это и одно и тоже). Последнее, кстати, и логически проще.

Впрочем, это дополнение относится конкретно к метрическим пространствам. В абстрактных топологических, может, и наоборот.

[VoloCh]

ewert в сообщении #301751 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #301739 писал(а):

Вроде всё очевидно, из-за чего такие споры?

Не знаю. С моей стороны -- из-за того, что по мне так любая система определений должна быть разумной, а не только формально корректной. Ну есть у меня такая причуда. Так вот, определять компактность изначально на всём пространстве и лишь затем сужать это определение на подмножества -- нелепо и лишь сбивает с толку. Поскольку в большинстве приложений пространство не является компактным и даже хотя бы локально компактным. А вот компактные его подмножества -- очень даже интересны.

Поэтому естественный подход -- прямо противоположный: определить компактность именно множества, а потом можно мельком и оговорить: дескать, а ведь знаете, бывают ведь и такие чудеса, когда и всё пространство целиком тоже вдруг оказывается компактным...

----------------------------------------------------------
И снова дополнение. Предкомпактность -- более принципиальное понятие, чем компактность. Как показывает приведённый VoloCh пример с компактным оператором. И не только он. Вообще при доказательстве теорем существования если строится некоторая последовательность, то она почти наверняка окажется предкомпактной (а ровно это от неё и требуется), но вовсе не компактной. Поэтому определять следует не предкомпактность как то, что после замыкания превращается в компактность, а наоборот: компактность как предкомпактность плюс замкнутость (хоть формально это и одно и тоже). Последнее, кстати, и логически проще.

Впрочем, это дополнение относится конкретно к метрическим пространствам. В абстрактных топологических, может, и наоборот.

Опять вынужден согласицца. Конечно, я имел в виду предкомпактность. И, с другой стороны, если иметь дело только с топологией и потом не работать в конкретных (чего греха таить: в линейных, в банаховых) пространствах, то таки да, компактность что множества, что пространства) (определяемую через выбор конечного подпокрытия) не нужно раскрывать дальше. Ведь больше мы ничего о пространстве не знаем! Про все эти определения, их историчекие корни и взаимосвязи вкратце рассказано в Колмогорове-Фомине (пар.6, гл. 2)

[terminator-II]

Padawan в сообщении #301467 писал(а):

terminator-II в сообщении #301460 писал(а):

Секвенциальная компактность равносильна компактности в хаусдорфовых пространствах с первой аксиомой счетности.

Нет по-моему. Сейчас посмотрю (в Эдвардсе на 38 стр.) Первая аксиома- это которая локальная?

-- Вт мар 23, 2010 20:22:39 --

Вторая нужна для равносильности. А это и получится метризуемое пространство.

Да все так. Вы правы

[paha]

Я вот согласен с профессором Снейпом.

Доводы: компактность, связность, метризуемость, аксиомы счетности, отделимость, абсолютная замкнутость, полная ограниченность (для метрических пространств) и т.д. -- это то, что называется "топологическими свойствами", т.е. свойствами, которыми гомеоморфные пространства обладают или не обладают одновременно.

С другой стороны, подмножества топологических пространств могут обладать такими свойствами как открытость/замкнутось, всюду плотность, предкомпактность, ограниченность (в метрических пространствах). Свойствами же топологическими они обладают не как подмножества, а как гомеоморфные типы (кривое, конечно выражение); например множество ${\mathbb R}\setminus \{0\}\subset {\mathbb R}$ всюду плотно на прямой и не предкомпактно, а гомеоморфное ему $(0;1)\cup (2;3)\subset{\mathbb R}$ не является всюду плотным и предкомпактно.

Вот в алгебре также. Есть свойства групп: нильпотентность, конечная представимость и т.д., а есть свойства подгрупп: быть нормальной, иметь конечный индекс. Представьте себе, что мы определяли бы нильпотентность только для подгрупп, мельком оговаривая, что группа сама является своей подгруппой, поэтому бла-бла-бла... на том основании, что нильпотентные группы редко встречаются сами по себе, так что вот группа из жизни и - бах! - нильпотентная - такого не бывает (я не про нильпотентность тут говорю, а о принципе).

[Padawan]

paha в сообщении #301882 писал(а):

Я вот согласен с профессором Снейпом.

И я!

P.S. А предкомпактность в терминах пространства определяется так (и по-моему очень естественно): пространство предкомпактно, если его пополнение компактно.

-- Ср мар 24, 2010 18:21:23 --

paha в сообщении #301882 писал(а):

Вот в алгебре также.

А еще в каких категориях также?

[ewert]

paha в сообщении #301882 писал(а):

Я вот согласен с профессором Снейпом. Доводы: компактность, связность, метризуемость, аксиомы счетности, отделимость, абсолютная замкнутость, полная ограниченность

... и т.д. -- безусловно необходимы. Для тех, кому необходимы.

Практически же не нужны -- никому.

(извините, не я первый начал)

[paha]

ewert в сообщении #301892 писал(а):

... и т.д. -- безусловно необходимы. Для тех, кому необходимы.

Практически же не нужны -- никому.

значит, согласно классикам "(собственная) практика -- критерий (всеобщей) истины"

Padawan в сообщении #301885 писал(а):

P.S. А предкомпактность в терминах пространства определяется так (и по-моему очень естественно): пространство предкомпактно, если его пополнение компактно.

это работает только если пространство метрическое - для произвольного топологического пространства нет естественной процедуры пополнения... к тому же сильно мешает то, что любое хаусдорфово пространство обладает одноточечной компактификацией

[Padawan]

paha в сообщении #301950 писал(а):

Padawan в сообщении #301885 писал(а):

P.S. А предкомпактность в терминах пространства определяется так (и по-моему очень естественно): пространство предкомпактно, если его пополнение компактно.

это работает только если пространство метрическое - для произвольного топологического пространства нет естественной процедуры пополнения... к тому же сильно мешает то, что любое хаусдорфово пространство обладает одноточечной компактификацией

Для равномерных пространств работает (я их имел ввиду), в частности, для линейных топологических пространств.

[Профессор Снэйп]

paha в сообщении #301950 писал(а):

значит, согласно классикам "(собственная) практика -- критерий (всеобщей) истины"

Это в прикладных науках так. А в чистой математике главные критерии истины --- непротиворечивость и красота, внутреннее изящество.

-- Чт мар 25, 2010 09:45:56 --

Padawan в сообщении #301885 писал(а):

paha в сообщении #301882 писал(а):

Вот в алгебре также.

А еще в каких категориях также?

А что, мало? Алгебра --- это добрая половина математики.

[Padawan]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #302089 писал(а):

Padawan в сообщении #301885 писал(а):

paha в сообщении #301882 писал(а):

Вот в алгебре также.

А еще в каких категориях также?

А что, мало? Алгебра --- это добрая половина математики.

Проф. Снэйп, да Вы не подумайте, что я на алгебру как-то наезжаю (конкретнее на категорию групп) , просто интересно, можно ли "внутренне свойство" или "внешнее свойство" объекта в категорных терминах сформулировать. Вот и хочу еще примеров

[ewert]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #302089 писал(а):

Алгебра --- это добрая половина математики.

Ой недобрая эта половина...

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #302140 писал(а):

просто интересно, можно ли "внутренне свойство" или "внешнее свойство" объекта в категорных терминах сформулировать. Вот и хочу еще примеров

Думаю, можно. Только я не понял, Вас интересует наиболее общая теоретико-категорная формулировка или содержательные примеры в конкретных категориях?