Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[vek88]

Padawan в сообщении #299540 писал(а):

vek88 в сообщении #299488 писал(а):

$P(\mathbf{a})$ группы $G$ являются линейными операторами в некотором пространстве.
...
В качестве упражнения найдем генераторы группы Галилея. Начнем с рассмотрения ее простейшей подгруппы – группы пространственных сдвигов, определяемых формулой

$$x’_{\alpha} = x_{\alpha} + a_{\alpha},$$

где $a_{\alpha}$
...

Нестыковочка, сдвиги - это не линейные операторы.

Просто зачем ограничиваться только линейными преобразованиями? $P(\mathbf{a})$ - некоторое преобразование рассматриваемого пространства $\mathbb{R}^n$ (в нашем случае четырехмерного).

$$P(\mathbf{a})\approx 1+\sum\limits_{i=1}^r a_i X_i ,$$

где $X_i$ - некоторые векторные поля в $\mathbb{R}^n$. Т.е. генератор группы преобразований $\equiv$ векторное поле $\equiv$ инфинитезимальный оператор.

Спасибо. Это я так неудачно списывал. Здесь линейность и не нужна. Да я нигде ею и не пользовался. Пока нам нужно лишь показать, как выглядят генераторы группы Галилея.

Итак, уважаемые коллеги! Просьба учесть замечание уважаемого Padawan - начало раздела 3 должно выглядеть так (опустили слово линейными)

3. Генераторы группы Галилея

Пусть дана непрерывная группа $G$ размерности $r$ с параметрами $\mathbf{a} = a_1, …, a_r$. Это значит, что каждый элемент группы однозначно определяется заданием набора параметров. Предположим, что элементы $P(\mathbf{a})$ группы $G$ являются операторами в некотором пространстве. Выберем параметры так, что единичный элемент группы (тождественное преобразование) соответствует $a_1=0, …, a_r =0$, т.е. $P(\mathbf{0})=1$.

Надеюсь так будет правильно?

[Padawan]

Всё таки надо прояснить, что такое генератор группы. Это именно векторное поле, которое характеризует скорость смещения точек пространства под действием группы. А обозначение (и в конечном счете отождествление) полей в виде дифференциальных операторов вроде $P_\beta=\dfrac{\partial}{\partial x_\beta}$ - удобное соглашение.

$X_i (\mathbf{x})=\dfrac{\partial P(\mathbf{a})(\mathbf{x})}{\partial a_i}\Big|_{\mathbf{a}=0}$

Векторный базис в точке $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,t)$ образован векторами $\dfrac{\partial}{\partial{x_1}}=(1,0,0,0)$, $\dfrac{\partial}{\partial{x_2}}=(0,1,0,0)$, $\dfrac{\partial}{\partial{x_3}}=(0,0,1,0)$, $\dfrac{\partial}{\partial{t}}=(0,0,0,1)$

[vek88]

Padawan в сообщении #299561 писал(а):

Всё таки надо прояснить, что такое генератор группы. Это именно векторное поле, которое характеризует скорость смещения точек пространства под действием группы. А обозначение (и в конечном счете отождествление) полей в виде дифференциальных операторов вроде $P_\beta=\dfrac{\partial}{\partial x_\beta}$ - удобное соглашение.

$X_i (\mathbf{x})=\dfrac{\partial P(\mathbf{a})(\mathbf{x})}{\partial a_i}\Big|_{\mathbf{a}=0}$

Спасибо за Ваши комментарии. Мне, кажется, их вполне достаточно для тех, кто помнит что такое векторное поле. А для тех, кто этого не помнит, будет достаточно понимать смысл конкретных операторов, которые у нас будут возникать по ходу темы. Тем более, что генераторы группы Галилея, которые мы сейчас выпишем нужны с единственной целью - построить алгебру Ли этой группы. А больше они никому и ни для чего нафиг не нужны, поскольку, как мы увидим, имеют совершенно дурацкий вид.

В свою очередь эта алгебра Ли нам тоже будет нужна лишь временно (как подсказка вида коммутаторов - скобок Пуассона) - на самом деле мы будем строить ее представление в пространстве состояний $n$ материальных точек.

В принципе, я мог бы поступить просто - взять из литературы готовые коммутаторы алгебры Ли группы Галилея и не заморочиваться на этом. Так бы, наверное, и следовало поступить, если ориентироваться на математическую аудиторию. Но я ориентируюсь на физиков и/или интересующихся физикой. Поэтому хочу дать почувствовать "вкус" алгебры Ли - для чего предлагаю вывести все своими руками, хотя быть может и не вполне строго (или даже совсем не строго). Да и уперся я тут - хочу пройти путь именно от всем известной группы Галилея до классической механики - без купюр и пропусков. Согласен при этом на математическую нестрогость - лишь бы понятно было.

Еще раз спасибо за помощь, особенно в устранении ошибок. Очень надеюсь и дальше на Ваши замечания, дополнения и комментарии.

ЗЫ. Кстати посмотрел в источник, откуда я писал про непрерывную группу $G$ - там ни слова о линейных операторах. Так я и не понял, что меня толкнуло на линейные операторы - видимо, хотел как лучше.

[vek88]

(Оффтоп)

Вспоминаю как лектор по Аналитической геометрии еще только войдя в актовый зал от входа громогласно объявлял: зачеркните все, что вы записали на предыдущей лекции. Вот и я также: зачеркните весь раздел 3 - мы начнем его снова. Пользуемся подсказками уважаемого Padawan.

Я, видите ли списал, не подумав, что списываю. Кстати, своих детей всегда ругал не за то, что списывают, а за то, что списывают не разобравшись в списаном.

3. Генераторы группы Галилея

Пусть дана непрерывная группа $G$ размерности $r$ с параметрами $\mathbf{a} = a_1, …, a_r$. Это значит, что каждый элемент $P(\mathbf{a})$ группы $G$ однозначно определяется заданием набора параметров. Предположим, что элементы $P(\mathbf{a})$ группы $G$ являются операторами преобразования некоторого множества $S$ в себя. Для всякого $\mathbf{x} \in S$ результат применения к нему оператора $P(\mathbf{a})$ будем обозначать

$$\mathbf{x'} = P(\mathbf{a})(\mathbf{x}).$$

Выберем параметры так, что единичный элемент группы (тождественное преобразование) соответствует $a_1=0, …, a_r =0$, т.е. $P(\mathbf{0})=1$. Идея локального рассмотрения непрерывных групп состоит в следующем. Если все параметры малы, то с точностью до членов первого порядка

$$P(\mathbf{a}) \approx 1 + \sum\limits_{i=1}^r a_i X_i,$$

где $X_i$ - генераторы группы $G$ (или инфинитезимальные операторы), определяемые выражением

Padawan в сообщении #299561 писал(а):

$$X_i (\mathbf{x})=\dfrac{\partial P(\mathbf{a})(\mathbf{x})}{\partial a_i}\Big|_{\mathbf{a}=0}.$$

Оказывается все важнейшие свойства непрерывной группы можно описать конечным числом генераторов группы.

(Оффтоп)

Вспомнились ИМХО очень к месту слова
Ну и пусть
Будет нелёгким мой путь,
Тянут ко дну боль и грусть,
Прежних ошибок груз.
Но мой плот,
Свитый из песен и слов,
Всем моим бедам назло,
Вовсе не так уж плох!

To be continued.

[olav]

Padawan в сообщении #299412 писал(а):

Так возьмите да подставьте в $\dfrac {d^2 x'}{dt'^2}$

$$x'=\dfrac {x-vt}{\gamma},\quad t'=\dfrac{t-\dfrac{v}{c^2}}{\gamma},$$

Правильная формула $t'=\dfrac{t-\dfrac{v}{c^2}x}{\gamma}$. Надеюсь, это у вас просто опечатка. И при выводе формулы преобразования ускорения вы пользовались правильной формулой преобразования времени, раз никто не заметил ошибки в полученной вами формуле преобразования ускорения.

Цитата:

где $\gamma=\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}$.

У меня получилось

$$\dfrac {d^2 x'}{dt'^2}=\dfrac{\gamma^3}{\left(1-\dfrac{v}{c^2}\dfrac{dx}{dt}\right)^3}\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}$$

т.е.

$$a'=\dfrac{\gamma^3}{\left(1-\dfrac{vu}{c^2}\right)^3}\cdot a$$

-- Сб мар 20, 2010 16:44:16 --

Padawan в сообщении #299476 писал(а):

Стоит вопрос о наиболее общем виде таких уравнений. В частности, координаты точек системы могут входить в уравнения только через $|\vec r_i-\vec r_j|$.

А также скорости точек системы могут входить в уравнения только через $|\vec v_i-\vec v_j|$.

[myhand]

olav в сообщении #299754 писал(а):

Надеюсь, это у вас просто опечатка.

Опечатка, конечно.

olav в сообщении #299754 писал(а):

раз никто не заметил ошибки в полученной вами формуле преобразования ускорения.

А где там ошибка? Формула правильная.

[olav]

myhand в сообщении #299459 писал(а):

olav в сообщении #299447 писал(а):

Разве невозможна такая ситуация, что в материальной системе много частиц, но в момент времени $t$ ускорения (полные) двух частиц $i$ и $j$ направлены противоположно друг другу по прямой, соединяющей частицы.

Для произвольной системы взаимодействующих материальных точек - совершенно не обязательно. Весьма нетривиальное утверждение, более чем.

Я разве говорил о рассмотрении произвольной системы взаимодействующих материальных точек? Нет. Я говорил, что для доказательства невозможности инвариантности уравнений классической механики относительно преобразований Лоренца, достаточно рассмотреть не произвольную систему материальных точек, а систему материальных точек, движущихся в соответствии с уравнениями классической механики, для которой в некоторый момент времени $t$ в условно неподвижной ИСО ускорения точек $i$ и $j$ связаны соотношением $\vec a_i(t)=-\frac{a_i(t)}{a_j(t)}\vec a_j(t)$, потом перейти по Лоренцу в подвижную ИСО и убедиться, что в подвижной ИСО $\vec a'_i(t')\neq -\frac{a'_i(t')}{a'_j(t')}\vec a'_j(t')$

[myhand]

olav в сообщении #299761 писал(а):

Я разве говорил о рассмотрении произвольной системы взаимодействующих материальных точек? Нет. Я говорил, что для доказательства невозможности инвариантности уравнений классической механики относительно преобразований Лоренца, достаточно рассмотреть не произвольную систему материальных точек, а систему материальных точек, движущихся в соответствии с уравнениями классической механики, для которой в некоторый момент времени $t$ в условно неподвижной ИСО ускорения точек $i$ и $j$ связаны соотношением $\vec a_i(t)=-\frac{a_i(t)}{a_j(t)}\vec a_j(t)$, потом перейти по Лоренцу в подвижную ИСО и убедиться, что в подвижной ИСО $\vec a'_i(t')\neq -\frac{a'_i(t')}{a'_j(t')}\vec a'_j(t')$

Дык достаточно рассмотреть и одну свободную материальную точку Ее лагранжиан и уравнения движения очевидным образом не инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Для _произвольной_ системы материальных точек - выполнения вашего условия можно было бы добиться, задав специфическим образом начальные условия. И то - не факт. Зачем так усложнять доказательство тривиального утверждения?

[olav]

myhand в сообщении #299767 писал(а):

olav в сообщении #299761 писал(а):

Я разве говорил о рассмотрении произвольной системы взаимодействующих материальных точек? Нет. Я говорил, что для доказательства невозможности инвариантности уравнений классической механики относительно преобразований Лоренца, достаточно рассмотреть не произвольную систему материальных точек, а систему материальных точек, движущихся в соответствии с уравнениями классической механики, для которой в некоторый момент времени $t$ в условно неподвижной ИСО ускорения точек $i$ и $j$ связаны соотношением $\vec a_i(t)=-\frac{a_i(t)}{a_j(t)}\vec a_j(t)$, потом перейти по Лоренцу в подвижную ИСО и убедиться, что в подвижной ИСО $\vec a'_i(t')\neq -\frac{a'_i(t')}{a'_j(t')}\vec a'_j(t')$

Дык достаточно рассмотреть и одну свободную материальную точку Ее лагранжиан и уравнения движения очевидным образом не инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Для _произвольной_ системы материальных точек - выполнения вашего условия можно было бы добиться, задав специфическим образом начальные условия. И то - не факт. Зачем так усложнять доказательство тривиального утверждения?

Просто кинематическое доказательство (через ускорение) интуитивно более понятно, чем доказательство через Лагранжиан. Большинство людей могут составить себе интуитивное представление об ускорении. А вот интуитивное представление о лагранжиане... наверно единицы

[Dragon27]

olav в сообщении #299795 писал(а):

Большинство людей могут составить себе интуитивное представление об ускорении. А вот интуитивное представление о лагранжиане... наверно единицы

А не надо подключать к подобным вещам ущербную человеческую интуицию.
Подольше поупражняетесь - привыкните

[vek88]

Теперь, надеюсь, мы готовы выписать генераторы группы Галилея. Но сначала надо бы аккуратно записать нашу группу Галилея – это преобразования 4-ки координат $\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x’}$, выполняемые по формуле

$$\mathbf{x’} = \Gamma \mathbf{x} + \mathbf{a}.$$

Здесь $\mathbf{a}$ - 4-вектор смещения, $\Gamma$ - $4 \times 4$-матрица. Примем соглашение о том, что первые три координаты - пространственные, четвертая - временная. Т.е.

$$\mathbf{x}=\left( \begin{array}{ccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right).$$

Генераторы пространственно-временных сдвигов. Уважаемый Padawan уже выписал эти генераторы – мы лишь вместо векторов-строк будем использовать вектор-столбцы из соображений дальнейшего удобства.

$$ P_1=\left( \begin{array}{cccc}1\\0\\0\\0\end{array}\right), P_2=\left(\begin {array}{cccc} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), P_3=\left(\begin {array}{cccc} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), P_4=\left(\begin {array}{cccc} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right). $$

Генераторы перехода в движущуюся систему координат. Соответствующая матрица преобразования Галилея имеет вид

$$ \Gamma = \left(\begin {array}{cccc} 1 & 0 & 0 & V_1 \\ 0 & 1 & 0 & V_2 \\ 0 & 0 & 1 & V_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right),$$

где

$$\mathbf{V}=\left( \begin{array}{ccc}V_1\\V_2\\V_3\end{array}\right) - $$

вектор скорости. Отсюда находим для генераторов

$$ X_1=\left(\begin {array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right), X_2=\left(\begin {array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right), X_3=\left(\begin {array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right). $$

[myhand]

vec88, а может ограничимся двумя измерениями? Время и одна пространственная координата. Глядишь, физика поскорее появится...

генератор для преобразований галилея у вас неверный. Матрица уж больно нетривиального вида Не прямоугольная даже, размерности разных строк - разные. Я таких не видел раньше

лучше уж вам держать t и $\vec x$ - отдельно. Посмотрите википедию - люди дело пишут

[vek88]

myhand в сообщении #299843 писал(а):

(1) vec88, а может ограничимся двумя измерениями? Время и одна пространственная координата. Глядишь, физика поскорее появится...

(2) генератор для преобразований галилея у вас неверный. Матрица уж больно нетривиального вида Не прямоугольная даже, размерности разных строк - разные. Я таких не видел раньше

лучше уж вам держать t и $\vec x$ - отдельно. Посмотрите википедию - люди дело пишут

1. И как же к примеру мы при двух измерениях рассмотрим момент импульса. Ни шагу назад - низазто.

2. Пытался записать блочную матрицу. Видимо это Вас смутило. А сейчас лучше (без блочной матрицы)?

Обращаю внимание на дурацкий вид наших генераторов, как я уже выше писал. Теперь можно объяснить - почему дурацкий. Всю свою жизнь я имел дело с линейными представлениями групп, например, матрицами (пример - матрицы Паули) или операторами в гильбертовых пространствах или пространствах Фока (кванты и квантовая теория поля).

А здеся? Один генератор - это вектор. И надо помнить, что его действие на аргумент - это сложение. А другой генератор - матрица, а применяется к аргументу посредством умножения. Но что выросло, то выросло.

Зато идем напролом. Надеюсь, у нас все получится.

С уважением,
vek88

[myhand]

vek88 в сообщении #299858 писал(а):

1. И как же к примеру мы при двух измерениях рассмотри момент импульса. Ни шагу назад - низазто.

Большую часть физики при этом сохранили бы. В частности, мы выяснили бы почему Вы вдруг считаете, что $T=m v^2/2$ - "автоматически выводится из предположения о Галилеевой инвариантности".

vek88 в сообщении #299858 писал(а):

2. Пытался записать блочную матрицу. Видимо это Вас смутило. А сейчас лучше (без блочной матрицы)?

Да, так понятнее. Было бы понятно сразу, если бы Вы различали как-то строку и столбец (${\bf V}$ или ${\bf V}^{T}$).

[vek88]

myhand в сообщении #299873 писал(а):

vek88 в сообщении #299858 писал(а):

1. И как же к примеру мы при двух измерениях рассмотри момент импульса. Ни шагу назад - низазто.

(1) Большую часть физики при этом сохранили бы. В частности, мы выяснили бы почему Вы вдруг считаете, что $T=m v^2/2$ - "автоматически выводится из предположения о Галилеевой инвариантности".

vek88 в сообщении #299858 писал(а):

2. Пытался записать блочную матрицу. Видимо это Вас смутило. А сейчас лучше (без блочной матрицы)?

(2) Да, так понятнее. Было бы понятно сразу, если бы Вы различали как-то строку и столбец (${\bf V}$ или ${\bf V}^{T}$).

1. Видите ли, считаю этот вопрос очень важным. Разумеется, не в плане открытия чего-то в физике - узкому кругу специалистов, уверен, это давно и хорошо известно. Но ИМХО это важно в плане методы преподавания.

Плюс мне стало самому интересно достаточно аккуратно все это рассмотреть (хотя давно знаю об этом).

Так что предлагаю считать это маленьким коллективным исследованием из области методологии преподавания физики. И, соответственно, наберемся терпения.

2. Если честно, для меня LaTex сейчас большая проблема - я последний раз писал в нем статьи лет 15 назад. А здесь еще к тому же цейтнот. Поэтому хотел сэкономить в записи, а получилось как всегда.