Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[vek88]

Yakov-Chin в сообщении #299254 писал(а):

(1) В ОТО есть прекрасные уравнения, хоть десять элементов можно записать, правда решить не возможно, но зато красиво... (2) Кстати, параграф "Представление групп", который Вы представили ранее, поможет решить задачу хотя бы для n =3? Боюсь, что это будет математика ради математики.

Уважаемый Yakov-Chin!

1. ОТО к теме не относится, поэтому игнорирую.

2. Все, что я делаю в этой теме - это физика для физиков. А вот математики, боюсь, от моей элементарщины возмутятся. Правда не исключаю, что после выполнения основной цели данной темы мы попросим модераторов перенести нас в Математику, дабы там нам помогли навести математический лоск.

Что касается Вас, советую Вам don't worry, be happy - и ничего не бойтесь в этой теме.

ЗЫ. Прошу прощения у коллег за задержку с продвижением по теме. Дело в том, что кроме участия в форуме как-то вдруг выяснилось, что оказывается надо еще, к сожалению, хоть немного и поработать. И если прерваться в качестве отдыха на данный ответ - не проблема, то написание серьезного поста по теме требует немалого времени.

Вечером надеюсь выставить очередной пост. Впрочем, я в самом начале не обещал быстрого продвижения.

С уважением,
vek88

[Yakov-Chin]

vek88 в сообщении #299309 писал(а):

don't worry, be happy

我在等

[photon]

Yakov-Chin в сообщении #299349 писал(а):

我在等

Ваше "ожидание" не является содержательным сообщением по теме (то есть является оффтопиком), и выражать свои мысли следует в рамках правил этого форума (то есть на языках, разрешенных правилами). Неделя на изучение правил.

[olav]

ИгорЪ в сообщении #298803 писал(а):

olav 3-ускорение не есть геом. объект в четырехмерии. вопросы не корректны.

Существуют же всем известные формулы релятивистсткого преобразования скорости http://femto.com.ua/articles/part_2/3705.html, при помощи которых можно определить скорость объекта в движущейся системе отсчета, если известна его скорость в неподвижной. С какой стати аналогичный вопрос о существовании формул релятивистского преобразования ускорения объявляется некорректным?
Классическое преобразование ускорения такое $\vec a'(t')=\vec a(t)$, где $t'=t$. А каково релятивистское преобразование ускорения?
Пусть в неподвижной ИСО ускорения двух частиц $i$ и $j$ направлены по прямой, соединяющей частицы, противоположно друг другу, т.е. связаны соотношением $\vec a_i(t)=-\frac{a_i(t)}{a_j(t)}\vec a_j(t)$. Понятно, что если релятивистское преобразование ускорения при переходе в движущуюся ИСО таково, что $\vec a'_i(t')\neq -\frac{a'_i(t')}{a'_j(t')}\vec a'_j(t')$, то уравнения классической механики никак не могут быть инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Так каково релятивистское преобразование ускорения? Оставит ли оно инвариантной приведенную связь между ускорениями частиц $i$ и $j$?
На мой взгляд именно с ответа на этот принципиальный вопрос и надо начинать, когда мы хотим выяснить, могут ли те или иные преобразования координат и времени оставить инвариантными уравнения классической механики при переходе в движущуюся ИСО.

[myhand]

olav, (1) приведенная Вами пропорциональность ускорений имеет смысл только, если частиц - две. (2) нет, приведенная связь не будет инвариантной. Как получить закон преобразования трехмерного ускорения - я написал выше.

Ваш вопрос бессмысленный по простой причине, что соотношение между ускорениями следует из третьего закона Ньютона. Последний же не работает в СТО - там взаимодействие не может быть мгновенным и вводится обычно с использованием полей, которые также имеют импульс и энергию. В релятивистской механике есть аналог третьего закона Ньютона - сохранение импульса замкнутой системы. Только импульс поля также нужно учитывать, так что никакого замкнутого соотношения между мгновенными ускорениями частиц Вы не получите.

[Padawan]

Так возьмите да подставьте в $\dfrac {d^2 x'}{dt'^2}$

$$x'=\dfrac {x-vt}{\gamma},\quad t'=\dfrac{t-\dfrac{v}{c^2}x}{\gamma},$$

где $\gamma=\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}$.

У меня получилось

$$\dfrac {d^2 x'}{dt'^2}=\dfrac{\gamma^3}{\left(1-\dfrac{v}{c^2}\dfrac{dx}{dt}\right)^3}\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}$$

т.е.

$$a'=\dfrac{\gamma^3}{\left(1-\dfrac{vu}{c^2}\right)^3}\cdot a$$

[olav]

myhand в сообщении #299406 писал(а):

olav, (1) приведенная Вами пропорциональность ускорений имеет смысл только, если частиц - две.

Разве невозможна такая ситуация, что в материальной системе много частиц, но в момент времени $t$ ускорения (полные) двух частиц $i$ и $j$ направлены противоположно друг другу по прямой, соединяющей частицы.

Цитата:

(2) нет, приведенная связь не будет инвариантной.

Вот мы и нашли простое объяснение, почему законы классической механики не могут быть инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Цитата:

Как получить закон преобразования трехмерного ускорения - я написал выше.

Ваш вопрос бессмысленный по простой причине, что соотношение между ускорениями следует из третьего закона Ньютона.

Приведенное соотношение между полными ускорениями двух частиц, принадлежащих материальной системе, состоящей из большого количества частиц, следует не из третьего закона Ньютона, а из принципиальной возможности рассмотреть ситуацию, когда полные ускорения двух частиц в некий момент времени направлены противоположно друг другу по прямой, соединяющей частицы. Как это вопрос бессмысленный? Мы же здесь говорим об инвариантности именно законов классической механики относительно тех или иных преобразований координат и времени. То есть выясняем условия, которым должны подчиняться преобразования координат и времени, чтобы вид законов классической механики при переходе в движущуюся ИСО не изменился.

Цитата:

Последний же не работает в СТО

Если под теорией относительности вы понимаете релятивистскую механику, то да, третий закон Ньютона не работает в релятивистской механике. Но мы же говорим здесь не о релятивистской механике, а об условиях, которым должны подчиняться преобразования координат и времени, чтобы вид законов классической механики при переходе в движущуюся ИСО не изменился.

Цитата:

- там взаимодействие не может быть мгновенным и вводится обычно с использованием полей, которые также имеют импульс и энергию. В релятивистской механике есть аналог третьего закона Ньютона - сохранение импульса замкнутой системы. Только импульс поля также нужно учитывать, так что никакого замкнутого соотношения между мгновенными ускорениями частиц Вы не получите.

[myhand]

olav в сообщении #299447 писал(а):

Разве невозможна такая ситуация, что в материальной системе много частиц, но в момент времени $t$ ускорения (полные) двух частиц $i$ и $j$ направлены противоположно друг другу по прямой, соединяющей частицы.

Для произвольной системы взаимодействующих материальных точек - совершенно не обязательно. Весьма нетривиальное утверждение, более чем.

Тема этого топика - иная. Задана группа симметрий - ищем какие ограничения накладывает она на уравнения движения.

[olav]

Я правильно понял, что автор топика собирается решить такую задачу? Известно, что некие (неизвестные) уравнения движения инвариантны относительно преобразований Галилея. Найти эти неизвестные. И по мнению автора задача имеет единственное решение: эти неизвестные - суть уравнения классической механики.
То есть невозможно придумать других уравнений движения, которые были бы инвариантны относительно преобразований Галилея, кроме уравнений классической механики.

[Padawan]

Стоит вопрос о наиболее общем виде таких уравнений. В частности, координаты точек системы могут входить в уравнения только через $|\vec r_i-\vec r_j|$.

[ИгорЪ]

olav
Что вы понимаете под ускорением? В Сто это 3-вектор.
3-вектор ускорения не есть геометрический объект в 4-мерии, тут нечего добавить.
Ну а в известном смысле Padawan вроде прав

[vek88]

3. Генераторы группы Галилея

Пусть дана непрерывная группа $G$ размерности $r$ с параметрами $\mathbf{a} = a_1, …, a_r$. Это значит, что каждый элемент группы однозначно определяется заданием набора параметров. Предположим, что элементы $P(\mathbf{a})$ группы $G$ являются линейными операторами в некотором пространстве. Выберем параметры так, что единичный элемент группы (тождественное преобразование) соответствует $a_1=0, …, a_r =0$, т.е. $P(\mathbf{0})=1$.

Идея локального рассмотрения непрерывных групп состоит в следующем. Если все параметры малы, то с точностью до членов первого порядка

$$P(\mathbf{a}) \approx 1 + \sum\limits_{i=1}^r a_i X_i,$$

где $X_i$ - генераторы группы $G$ (или инфинитезимальные операторы). Оказывается все важнейшие свойства непрерывной группы можно описать конечным числом генераторов группы.

В качестве упражнения найдем генераторы группы Галилея. Начнем с рассмотрения ее простейшей подгруппы – группы пространственных сдвигов, определяемых формулой

$$x’_{\alpha} = x_{\alpha} + a_{\alpha},$$

где $a_{\alpha}$ - вектор, определяющий сдвиг начала пространственных координат.

Замечание 1. Здесь и далее для индексирования пространственных координат мы будем использовать греческие буквы - эти индексы пробегают значения $1, 2, 3$. Соответственно, величины вида $x_{\alpha}, y_{\alpha}, a_{\alpha}$ мы будем интерпретировать как трехмерные пространственные векторы.

Замечание 2. Для упрощения записи там, где это не приведет к недоразумениям, мы будем пользоваться соглашением о суммировании по повторяющимся индексам.

Рассмотрим сдвиги на малый вектор $a_{\alpha}$

$$x’_{\alpha} = x_{\alpha} + a_{\alpha}.$$

Соответствующий оператор преобразования можно записать в виде (напоминаю, что здесь сумма по $\beta$)

$$1+a_{\beta}P_{\beta}$$

где

$$P_{\beta} = \frac{\partial}{\partial x_{\beta}}$$

- генераторы подгруппы пространственных сдвигов.

To be continued.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #299481 писал(а):

Ну а в известном смысле Padawan вроде прав

Что значит "в известном". Он прав, если не учитывать то, что закон преобразования - "одномерный", одна пространственная координата. Т.е. это частный случай. А так - все вполне корректно, получили закон преобразования координатного ускорения. Никто же не запрещает написать закон преобразования координатной скорости к другой ИСО.

olav в сообщении #299470 писал(а):

То есть невозможно придумать других уравнений движения, которые были бы инвариантны относительно преобразований Галилея, кроме уравнений классической механики.

При определенных дополнительных ограничениях - да.

[vek88]

olav в сообщении #299470 писал(а):

Я правильно понял, что автор топика собирается решить такую задачу? Известно, что некие (неизвестные) уравнения движения инвариантны относительно преобразований Галилея. Найти эти неизвестные. И по мнению автора задача имеет единственное решение: эти неизвестные - суть уравнения классической механики.
То есть невозможно придумать других уравнений движения, которые были бы инвариантны относительно преобразований Галилея, кроме уравнений классической механики.

Padawan в сообщении #299476 писал(а):

Стоит вопрос о наиболее общем виде таких уравнений. В частности, координаты точек системы могут входить в уравнения только через $|\vec r_i-\vec r_j|$.

Уважаемые коллеги, призываю терпеливо годить.

Я и так надрываюсь. Как всегда сначала взялся за задачу, а потом понял, что это на порядок сложнее, чем казалось вначале. Занимался этим очень давно и оказалось, что действительно все основательно забыл. Приходится, фактически, все учить заново, руководствуясь только остатками интуитивного понимания и осознания.

Так что давайте не забегать вперед - мы постепенно все увидим своими глазами. И все проверим и перепроверим.

[Padawan]

vek88 в сообщении #299488 писал(а):

$P(\mathbf{a})$ группы $G$ являются линейными операторами в некотором пространстве.
...
В качестве упражнения найдем генераторы группы Галилея. Начнем с рассмотрения ее простейшей подгруппы – группы пространственных сдвигов, определяемых формулой

$$x’_{\alpha} = x_{\alpha} + a_{\alpha},$$

где $a_{\alpha}$
...

Нестыковочка, сдвиги - это не линейные операторы.

Просто зачем ограничиваться только линейными преобразованиями? $P(\mathbf{a})$ - некоторое преобразование рассматриваемого пространства $\mathbb{R}^n$ (в нашем случае четырехмерного).

$$P(\mathbf{a})\approx 1+\sum\limits_{i=1}^r a_i X_i ,$$

где $X_i$ - некоторые векторные поля в $\mathbb{R}^n$. Т.е. генератор группы преобразований $\equiv$ векторное поле $\equiv$ инфинитезимальный оператор.