Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[vek88]

Как-то так сложилось на нашем форуме, что при рассмотрении классической механики и СТО, преобразований Галилея и Лоренца, а также целого ряда конкретных вопросов, все смешалось в доме Облонских. Мы утеряли логику основ и забыли основательно - что, откуда и почему следует или не следует? Как следствие, слишком много шума из ничего.

В этой теме предлагаю сознательно ограничиться рассмотрением конкретного вопроса - связи классической механики с предположением о ее инвариантности относительно преобразований Галилея (далее - Галилева инвариантность). Возьмем, например, простую формулу для кинетической энергии материальной точки

$$T=\frac{mv^2}{2}.$$

Так вот, все ли знают, что эта формула автоматически выводится из предположения о Галилеевой инвариантности? А все ли знают, что из Галилеевой инвариантности следуют законы сохранения энергии, импульса, момента количества движения и массы закнутой системы?

Итак, предлагаю совместными усилиями вывести классическую механику из Галилеевой инвариантности. Разумеется, не всю - у нас на это не хватит сил и времени. Но азы классической механики мы вывести сможем, в том числе, упомянутые выше законы сохранения.

Предлагаю следующие принципы нашего "исследования".

1. Я буду кратко и на элементарном уровне сообщать необходимый математический минимум.
2. Не претендуя объять необъятное мы будем простыми средствами применять этот минимум к рассмотрению простейшей модели классической механики - системы материальных точек, взаимодействующих по простейшим законам.
3. Для большинства коллег все будет очень необычно - призываю к терпению.
4. Двигаться будем поэтапно - от простого к сложному.
5. Фотоны, эфир, уравнения Максвелла пока не трогаем.
6. Быстрого движения вперед не обещаю, поскольку тема непростая. Да и я очень давно не занимался группами и потому все основательно подзабыл. Так что будем вспоминать вместе.

С уважением,
vek88

P.S. Если есть вопросы, пожелания, сразу пишите.

(Оффтоп)

А у меня пока дела - на несколько часов покидаю форум.

[myhand]

vek88 в сообщении #298700 писал(а):

Так вот, все ли знают, что эта формула автоматически выводится из предположения о Галилеевой инвариантности?

Неа, мы не знаем. Покажите, пожалуйста.

[vek88]

1. Группы

Определение 1.1. Множество $G$ объектов (элементов) $a, b, c, …$ называется группой, если на множестве $G$ определена бинарная операция (далее – умножение), которая каждой паре элементов $a, b \in G$ ставит в соответствие некоторый объект (результат умножения обозначаем $a b$) $a b \in G$ так, что:

1) $a (b c) = (a b) c$ для любых $a, b, c \in G$ (ассоциативность умножения);

2) существует единица группы, т.е. такой элемент $E \in G$, что $E a = a E = a$ для любого $a \in G$;

3) для каждого $a \in G$ в $G$ существует обратный элемент $a^{-1}$ такой, что $a^{-1} a = a a^{-1} = E$.

Далее нас далее будут интересовать группы преобразований.

Упражнение 1.1. Рассмотрим множество $G$ невырожденных линейных преобразований плоскости. Каждое такое преобразование определяется однозначно невырожденной матрицей $2 \times 2$. Соответственно, применение преобразования $A$ к вектору $x$ задается умножением матрицы на вектор: $A x$. Определим на $G$ операцию умножения преобразований $A, B$ как обычное умножение матриц. Проверьте, что множество невырожденных линейных преобразований плоскости удовлетворяет Определению 1.1 и, следовательно, является группой.

Определение 1.2. Неоднородная группа Галилея определяется как множество всех преобразований вектора трех пространственных координат и времени при переходе от одной инерциальной системы координат к другой, включая: трехмерные повороты, трехмерные пространственные сдвиги и сдвиги по оси времени.

Упражнение 1.1. Проверьте, что неоднородная группа Галилея удовлетворяет Определению 1.1.

Замечание по терминологии. Поскольку нас далее интересует исключительно неоднородная группа Галилея, мы позволим себе вольность – будем, если это не приведет к недоразумениям, говорить просто о группе Галилея, подразумевая неоднородную группу Галилея.

[olav]

Инвариантность законов классической механики при переходе в движущуюся ИСО подразумевает в том числе и то, что ускорения, вызванные взаимодействием любых двух материальных точек должны быть направлены по прямой, соединяющей точки, противоположно друг другу. Этому требованию удовлетворяют преобразования Галилея.
Если в неподвижной ИСО ускорения, вызванные взаимодействием двух материальных точек, направлены по прямой, соединяющей точки, противоположно друг другу, то при переходе в движущуюся ИСО по Лоренцу, эти ускорения преобразуются так, что уже не будут направлены по прямой соединяющей точки.
Преобразования Лоренца не оставляют инвариантным направление ускорений, вызванных взаимодействием любых двух материальных точек. Или я не прав?
Чё-то я нигде не видел релятивистский закон преобразования ускорений при переходе в движущуюся ИСО. Поэтому пришлось самому напрягать мозг. Могу и ошибиться. Классический закон преобразования такой $\vec a'=\vec a$. А релятивистский?

[ИгорЪ]

vek88
Вопросы для лектора:
1. а что есть разве однородная группа Галилея?
2. Кинематические группы часто определяют как группы движения метрики. Например группа Пуанкаре сохраняет метрику Минковского. А группа Галилея?
olav 3-ускорение не есть геом. объект в четырехмерии. вопросы не корректны.

[vek88]

Наверное, будет полезно привести несколько примеров преобразований из неоднородной группы Галилея.

1. $x'=x+Vt, y'=y, z'=z, t'=t$ - переход в систему координат, движущуюся вдоль оси $x$ со скоростью $V$;

2. $x'=x+a, y'=y, z'=z, t'=t$ - сдвиг по оси $x$ на постоянную величину $a$;

3. $x'=x, y'=y, z'=z, t'=t + t_0$ - сдвиг по времени на постоянную величину $t_0$;

4. $x'=-y, y'=x, z'=z, t'=t$ - поворот вокруг оси $z$ на угол $\frac{\pi}{2}$.

Уважаемые коллеги!

Просьба проверьте, что я тут е-мое написал. Поскольку списать не с чего, а сам запросто могу ошибиться.

Завтра надеюсь перейти к следующей теме - Представления групп. А пока спрашивайте и шлите замечания и предложения. При этом большая просьба придерживаться, по возможности, темы. В частности, просьба не переводить стрелки на обсуждение СТО и преобразований Лоренца, как это сделал уважаемый olav в своем сообщении #298791. На подобные вопросы я отвечать не буду - иначе мы погрязнем в посторонних вопросах.

-- Ср мар 17, 2010 22:36:13 --

ИгорЪ в сообщении #298803 писал(а):

vek88
Вопросы для лектора:
1. а что есть разве однородная группа Галилея?
2. Кинематические группы часто определяют как группы движения метрики. Например группа Пуанкаре сохраняет метрику Минковского. А группа Галилея?
olav 3-ускорение не есть геом. объект в четырехмерии. вопросы не корректны.

Уважаемый ИгорЪ!

1. Поскольку я не считаю себя большим специалистом в терминологии, то стараюсь, в меру сил, использовать более или менее приемлемые термины. Возникновение прилагательного неоднородная применительно к группе Лоренца я заметил много лет назад. Прилагательное однородная при этом не использовалось - говорили просто о группе Лоренца. Неоднородную же группу Лоренца называют также группой Пуанкаре. По аналогии применяю прилагательное неоднородная и к группе Галилея, чтобы отличить от просто группы Галилея (без 4-сдвигов).

Кстати, термин однородная/неоднородная в принципе согласуется с традиционным его использованием, если под однородностью понимать обычное свойство "независимости уравнений от одинакового по всем переменным изменения масштаба".

И еще. В нашей теме призываю не очень заморочиваться на терминах, поскольку мы ставим задачу вникнуть в нашу сравнительно узкую тему достаточно глубоко. Для того и сузили тему и я буду придерживаться этого строго. При этом, надеюсь, терминологические проблемы снимутся сами собой.

Кстати, в профессиональной книге Фушич, Никитин Симметрия уравнений квантовой механики тоже не заморочиваются, если я правильно понял. И говорят просто о группе Галилея, включающей, в том числе, и 4-сдвиги!

А вообще в подобных случаях предлагаю участникам обсуждения самим быстро проверять терминологию в интернете. И если уж обнаружите с моей стороны серьезные ляпы, просьба сообщать о них.

2. Вы знаете, если честно, не задумывался о метрике, соответствующей группе Галилея. На первый взгляд, здесь кроме эвклидовой метрики для пространственных координат ничего разумного для 4-вектора предложить не удается. Но, возможно, я не прав. Думаю, что с этим Вы сами разберетесь лучше меня. И потом нам расскажете.

[Someone]

vek88 в сообщении #298805 писал(а):

Вы знаете, если честно, не задумывался о метрике, соответствующей группе Галилея.

И.М.Яглом. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. "Наука", Москва, 1969.

Правда, в книге рассматривается только двумерное пространство-время.

[myhand]

vek88 в сообщении #298805 писал(а):

2. Вы знаете, если честно, не задумывался о метрике, соответствующей группе Галилея. На первый взгляд, здесь кроме эвклидовой метрики для пространственных координат ничего разумного для 4-вектора предложить не удается. Но, возможно, я не прав. Думаю, что с этим Вы сами разберетесь лучше меня. И потом нам расскажете.

Есть подход Картана, позволяющий рассматривать классическую гравитацию (и механику) - аналогично ОТО, см. Гравитация т.I, гл.12. Там примерно так и обстоит.

olav в сообщении #298791 писал(а):

Чё-то я нигде не видел релятивистский закон преобразования ускорений при переходе в движущуюся ИСО. Поэтому пришлось самому напрягать мозг. Могу и ошибиться. Классический закон преобразования такой $\vec a'=\vec a$. А релятивистский?

А нечего напрягать. Надо знать как преобразуется 4-вектор. Если $\tau$ - собственное время частицы и $x(\tau)$ - мировая линия, то скорость (4-вектор) - определится: $x'(\tau)=u(\tau)=\frac{dx}{d\tau}$.

Аналогично, 4-вектор ускорения: $w(\tau)=\frac{du}{d\tau}=\frac{d^2 x(\tau)}{d\tau^2}$. Отсюда получаем закон преобразования второй производной по времени (обычному, координатному - не собственному) от пространственных компонент $x$. Громоздкий и нафиг никому не нужный

[ИгорЪ]

Someone в сообщении #298833 писал(а):

vek88 в сообщении #298805 писал(а):

Вы знаете, если честно, не задумывался о метрике, соответствующей группе Галилея.

И.М.Яглом. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. "Наука", Москва, 1969.

Правда, в книге рассматривается только двумерное пространство-время.

Да "метрика галилея" там рассматривается.
Вот только если из предложенной там метрики попробовать написать действие частицы как длину галилеевой "мировой линии", то не удается получить обычное выражение.

[vek88]

2. Представления групп

Определение 2.1. Изоморфизм группы $G$ в группу $G’$ - это взаимно однозначное отображение группы $G$ в группу $G’$, которое переводит элементы $a, b \in G$ в элементы $a’, b’ \in G’$ так, что

$$(ab)’ \rightarrow a’ b’,$$

причем единица группы $G$ переходит в единицу в группу $G’$, обратные элементы переходят в обратные.

Определение 2.2. Пусть $G$ - группа. Если собственное подмножество $G_0$ группы $G$ само образует группу с той же групповой операций, то $G_0$ называют подгруппой группы $G.$

Теорема Кэли. Всякая группа $G$ изоморфна некоторой подгруппе (может быть представлена такой подгруппой, реализована в виде такой подгруппы) группы всех взаимно однозначных преобразований некоторого класса объектов на себя.

Поясним почему нам интересны именно представления, в нашем случае, группы Галилея. Дело в том, что сама группа Галилея в том виде, как мы ее определили, не очень то нам интересна в силу бедности класса объектов (т.е. четверок координат $x,y,z,t$), которые она преобразует. Ну, преобразует эти объекты-четверки взаимно однозначно – ну и что прикажете с этим делать?

А вот что нам действительно было бы интересно знать, как состояние $Q(t)$ некоторой системы взаимодействующих материальных точек преобразуется при переходе в любую другую инерциальную систему координат? А если это нам интересно, мы должны озаботиться двумя вопросами:

1. Какие классы объектов (далее – состояний) интересны нам для описания поведения системы взаимодействующих материальных точек?
2. Определившись с выбором класса состояний мы должны найти представление группы Галилея в виде взаимно однозначных преобразований (= операторов), действующих на этом классе состояний.

Что нам это даст? Да все, что хотите. Например, если в качестве состояния нам дадут начальное состояние $Q(t_0)$ системы метериальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения (классическом ньютоновскому, разумеется), то мы сразу бодро скажем каким будет состояние $Q(t)$ этой системы в любой будущий момент времени $t$ (или каким оно было в прошлом). А большего, по существу, нам и не нужно знать.

[vek88]

vek88 в сообщении #298959 писал(а):

Что нам это даст? Да все, что хотите. Например, если в качестве состояния нам дадут начальное состояние системы метериальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения (классическом ньютоновскому, разумеется), то мы сразу бодро скажем каким будет состояние этой системы в любой будущий момент времени (или каким оно было в прошлом). А большего, по существу, нам и не нужно знать.

Конечно, это все прекрасно, но давайте вдумаемся в техническую сложность этой конструкции. Пусть для определенности $Q(t)$ представляет описание $n$ взаимодействующих по закону всемирного тяготения материальных точек. Для $n=1$ все просто - это свободное движение материальной точки. Для $n=2$ стерпим, поскольку помним законы Кеплера. Но уже при $n=3$ никакой упомянутой выше бодрости мы продемонстрировать не сможем. Более того, скорее мы впадем в кому, поскольку не сможем так вот запросто оперировать динамическим описанием такой системы.

И это понятно - ведь пытаясь получить нетривиальные (т.е. отличные от свободного движения) представления группы Галилея мы, фактически, замахнулись на получение сразу же готовых решений каких-то (еще даже не сформулированных) уравнений, про которые мы уже заранее можем догадаться, что их решать очень и очень не просто. Ну что ж, делать нечего, придется волноваться поэтапно: сначала уравнения, а потом уж можно будет рассуждать об их решении. А как же мы получим уравнения движения материальных точек исходя из группы Галилея?

В принципе, это элементарно - мы догадываемся, что для этого надо ограничиться локальным рассмотрением группы Галилея. Так мы подходим к идее генераторов группы Галилея.

Замечание. Фактически, мы вторгаемся в сферу групп и алгебр Ли. Не считаю себя специалистом в этой области, а всего лишь "пользователем". А поскольку последний раз пользовался этим очень давно, почти все забыл. Да и пользовался не группой Галилея, а готовыми результатами по группе Пуанкаре. Поэтому:

1. Буду старательно обходить все острые углы, ограничиваясь рассуждениями на пальцах. А про Ли буду по возможности умалчивать.

2. Если кто-то сможет столь же элементарными средствами помочь мне, хотя бы полезными комментариями и добавлениями, с радостью приму помощь.

Итак, далее мы рассмотрим генераторы группы Галилея и их свойства.

[myhand]

vek88 в сообщении #299069 писал(а):

2. Если кто-то сможет столь же элементарными средствами помочь мне, хотя бы полезными комментариями и добавлениями, с радостью приму помощь.

Итак, далее мы рассмотрим генераторы группы Галилея и их свойства.

См. википедию. Английский текст там вполне ничего. Может просто перевод сделать, после чего приступить к более интересным частям, например, лагранжиану для материальной точки?

http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_transformation

[ИгорЪ]

myhand в сообщении #299079 писал(а):

Может просто перевод сделать, после чего приступить к более интересным частям, например, лагранжиану для материальной точки?

поддерживаю!

[vek88]

Спасибо, myhand и ИгорЪ, за активность и советы.

myhand в сообщении #299079 писал(а):

(1) См. википедию. Английский текст там вполне ничего. (2) Может просто перевод сделать, (3) после чего приступить к более интересным частям, например, лагранжиану для материальной точки? http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_transformation

1. Спасибо, посмотрел. И даже сохранил для дальнейшего использования. Да, в серьезных случаях английский вариант надо смотреть обязательно. Для меня эта ссылка полезна уже тем, что коротко и ясно приведены генераторы как для группы Галилея, так и для расширения оператором массы (оператор Казимира). Правда, я подумаю о выборе конкретных обозначений для генераторов.

2. Материал обязательно использую при подготовке раздела о генераторах, но творчески. Поскольку считаю, что и я сам, и аудитория, не готовы к рассказам об обертывающих группах, операторах Казимира и прочих узкоспециальных математических деталях. Моя задача - обойтись, по возможности, элементарными средствами, как это обычно принято у физиков. А при необходимости повысить математическую строгость, уверен, в соответствующем месте совместными усилиями мы это сделаем. Но сначала - физический смысл!

3. А вот лагранжиан - прошу погодить с его рассмотрением. Сначала мы дойдем от группы Галилея до уравнений Гамильтона и скобок Пуассона для системы взаимодействующих материальных точек, поскольку именно этот формализм ИМХО наиболее близок к нашей Галилей-инвариантной проблеме. При этом я снова акцент сделаю на элементарное рассмотрение на основе физического смысла, по возможности, избегая использования сложных математических терминов и определений. Все будет на уровне обычного математического анализа.

С уважением,
vek88

[Yakov-Chin]

В ОТО есть прекрасные уравнения, хоть десять элементов можно записать, правда решить не возможно, но зато красиво... Кстати, параграф "Представление групп", который Вы представили ранее, поможет решить задачу хотя бы для n =3? Боюсь, что это будет математика ради математики.