проверка иррациональности

[Paata]

доказать либо опровергнуть:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\text{знаменатель} \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*k!} \right)}{n^{2}*n!}=0 $$

где под знаменатель числа $\frac{p}{q}$ падразумывается следующее:
это такое число $q'$ что $\frac{p}{q} = \frac{p'}{q'}$ и при этом НОД$(p',q') = 1$

замечание: как я понимаю, методы асимптотики здесь не очень помогает.

[Sonic86]

Этот предел равен бесконечности. Доказать не смогу, но попробую объяснить, почему. Во-первых, я в Maple посчитал значения для $n \leq 32$. Растет как экспонента или быстрее, но сильно дергается при этом (при $n=20$ логарифм это дроби чуть больше 20).
Во-вторых. Я заменю знаменатель суммы из числителя на $lcm (kk!)_{k=1}^n$. У меня отношение $\frac{\text{знаменатель}\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{kk!}}{lcm(kk!)_{k=1}^n}$ не превышает 48 для $n \leq 32$ и более чем в половине случаев равно 1. А знаменатель суммы я проанализировать пока не могу.
Теперь покажем, что $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{lcm(kk!)_{k=1}^n}{n^2n!} = + \infty$. Пусть $p$ - простое. Если $p \geq \frac{n}{2}$, то $p^2|pp!$. Если $p<\frac{n}{2}$ и $p \not | n$ и $k=p^{t_p}m+r, p \not | m, 0 \leq r<p$, то в числе $kk!$ содержится множителей $p$ больше чем в $nn!$ на $ord_p(kk!/(nn!)) = ord_p((p^{t_p}m)/((p^{t_p}m+r)))=t_p$. Поэтому $lcm(kk!)$ делится как минимум на

$$\prod\limits_{0<p<n/2, p \not |n} p^{ord_p(n!)+t_p} \prod\limits_{n/2 \leq p \leq n} p^2} = n! \prod\limits_{0<p<n/2, p \not |n} p^{t_p} \prod\limits_{n/2 \leq p \leq n} p}$$

Обозначим$w(n) = \prod\limits_{p|n}p$ ($1 \leq w(n) \leq n$) и тогда $lcm(kk!)$ делится как минимум на

$$\frac{n!}{w(n)} \prod\limits_{0<p<n/2} p \prod\limits_{n/2 \leq p \leq n} p} = \frac{n!}{w(n)} \prod\limits_{1 \leq p \leq n}p$$

Теперь вспоминаем, что $p(n) \sim n \ln n$, откуда $\ln p(n) \sim \ln n$ и $\ln(\prod\limits_{1 \leq p \leq n}p) \sim \sum\limits_{\frac{n}{\ln n}} \ln n \sim n$ и тогда $\prod\limits_{1 \leq p \leq n}p$ растет не медленее, чем $e^n$, а тогда

$$\frac{lcm(kk!)_{k=1}^n}{n^2n!} \sim \frac{n!e^n}{n^2w(n)n!} \to + \infty$$

P.S. А почему проверка иррациональности?

[Sonic86]

Насчет скорости $\prod\limits_{1\ leq p \leq n} p$ немного наврал, см. последнее сообщение в topic16981.html

[Paata]

мне кажется что ты немножко перестарался если решать задачу такого типа которую ты написал то можно конечноже еще проше:
вот так:
$\prod _{p |n} p =v(n)$ .
понятно что $lcm (kk!) = n*n!*N$ где $N$ целое. что можно сказать про $N$ ?
понятно что оно должно делится на простые числа которые заключени между $ \sqrt{n} < p < n$ за исключением тех простых которые делят $n$ но их $v(n)$. но $ \ln \prod_{\sqrt{n} < p < n} p \approx n - \sqrt{n} \approx n $.
тогда имеем что $lcm (kk!) > n*n! *e^{n}\frac{1}{v(n)}$ с некоторого места для $n$.вот и все.

задача возникла с связи с такой zадачей: ирационально ли число $\sum \frac{1}{kk!}$

[Sonic86]

ага первый раз задачу по аналитической ТЧ решаю.

А число $\sum\limits_{k \geq 1}\frac{1}{kk!}$ вроде бы иррационально. Тут надо доказывать так же, как и для числа $e$.

[RIP]

Sonic86 в сообщении #290081 писал(а):

А число $\sum\limits_{k \geq 1}\frac{1}{kk!}$ вроде бы иррационально. Тут надо доказывать так же, как и для числа $e$.

Доказать так же, как для числа $e$, не получится (для этого и нужно равенство предела нулю). А число трансцендентно, но так просто это, наверно, не докажешь. Док-во можно найти, например, в главе 7 книги Шидловский А.Б. — Трансцендентные числа (лень искать в свободном доступе). Иррациональность, наверно, можно и проще доказать, но совсем уж тривиально, как для $e$ и $e^2$, вряд ли получится.