Математическая олимпиада. 1998 год. 11 класс. #4

[Grappy]

Помогите пожалуйста решить задачу.
Из Журнала Квант 1998г
Решения в источнике не нашел , да и у самого не получилось.

Решить в целых числах.
$3^x+4^y=5^z$

от модератора AD:

Окружая формулы знаками доллара, Вы узнаете много интересного.
Введение, FAQ.

[gris]

Я сразу нашёл два решения (2;2;2) и (0;1;1). Мало?

[Sonic86]

Обычно такие уравнения имеют несколько небольших решений. Решать их можно так: находите несколько наименьших решений, а потом пользуйтесь сравнениями по небольшим модулям и приходите к противоречию.
Для примера можете вот здесь посмотреть:
topic16555.html

[Grappy]

Спасибо. Но , не могли бы вы , объяснить как исключить другие корни?
Я не смог разобраться.

[Sonic86]

Ну вот например:
$y=0$ или $y>0$.
1. $y=0$ - подставляем и решаем.
2. $y>0 \Rightarrow 4^y \equiv 0 (\mod 4)$. Тогда $3^x+4^y=5^z \Rightarrow 3^x + 0 \equiv 5^z (\mod 4) \Leftrightarrow (-1)^x \equiv 1^z \equiv 1 (\mod 4)$, откуда сразу $x = 2x_1$, то есть случай нечетных $x$ уже исключен.
Это конечно совсем не решение - я просто показал как можно рассуждать. Попробуйте сами поковыряться с несколькими модулями - у Вас все обязательно получится

[Grappy]

Спасибо большое. Все получилось

[maxal]

см. также
topic3675.html
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=48431