2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Математическая олимпиада. 1998 год. 11 класс. #4
Сообщение23.01.2010, 16:47 


23/01/10
7
Помогите пожалуйста решить задачу.
Из Журнала Квант 1998г
Решения в источнике не нашел , да и у самого не получилось.

Решить в целых числах.
$3^x+4^y=5^z$

 !  от модератора AD:
Окружая формулы знаками доллара, Вы узнаете много интересного.
Введение, FAQ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая олимпиада. 1998 год. 11 класс. #4
Сообщение23.01.2010, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Я сразу нашёл два решения (2;2;2) и (0;1;1). Мало?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая олимпиада. 1998 год. 11 класс. #4
Сообщение23.01.2010, 16:52 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Обычно такие уравнения имеют несколько небольших решений. Решать их можно так: находите несколько наименьших решений, а потом пользуйтесь сравнениями по небольшим модулям и приходите к противоречию.
Для примера можете вот здесь посмотреть:
topic16555.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая олимпиада. 1998 год. 11 класс. #4
Сообщение23.01.2010, 17:16 


23/01/10
7
Спасибо. Но , не могли бы вы , объяснить как исключить другие корни?
Я не смог разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая олимпиада. 1998 год. 11 класс. #4
Сообщение25.01.2010, 07:21 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Ну вот например:
$y=0$ или $y>0$.
1. $y=0$ - подставляем и решаем.
2. $y>0 \Rightarrow 4^y \equiv 0 (\mod 4)$. Тогда $3^x+4^y=5^z \Rightarrow 3^x + 0 \equiv 5^z (\mod 4) \Leftrightarrow (-1)^x \equiv 1^z \equiv 1 (\mod 4)$, откуда сразу $x = 2x_1$, то есть случай нечетных $x$ уже исключен.
Это конечно совсем не решение - я просто показал как можно рассуждать. Попробуйте сами поковыряться с несколькими модулями - у Вас все обязательно получится :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая олимпиада. 1998 год. 11 класс. #4
Сообщение27.01.2010, 19:58 


23/01/10
7
Спасибо большое. Все получилось :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая олимпиада. 1998 год. 11 класс. #4
Сообщение27.01.2010, 20:46 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
см. также
topic3675.html
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=48431

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group