2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 China National Olympiad
Сообщение04.10.2008, 20:16 
Аватара пользователя


28/09/08
11
Надеюсь решение этой задачи доставит такое же удовольствие вам, какое оно доставило мне.
Натуральные числа $a_1,a_2,\ldots,a_{2006}$ таковы, что числа $\frac{a_1}{a_2},\frac{a_2}{a_3},\ldots,\frac{a_{2005}}{a_{2006}}$ попарно различны. Найдите наименьшее количество различных чисел во множестве {${a_1},{a_2},\ldots,{a_{2006}}$}

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 08:12 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Эта задача простая. Если имеется n различных чисел, то различных отношений не больше n(n-1)+1, Причём равенство достигается например для n различных простых чисел. Соответственно n(n-1)+1>=2005. Минимальное значение n=46. Тогда можно расставить номера этих чисел по формуле на $i*46+j$ - ом месте $p_{i*j\mod 46}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2008, 10:21 
Аватара пользователя


28/09/08
11
Это авторское решение. В своё время оно девольвировало моё более сложное решение.Приятно осознавать,что вы умеете решать экономично.

Добавлено спустя 48 минут 21 секунду:

Вот ещё одна не сложная задача из той же оперы.
Решить в неотрицательных целых числах уравнение
$2^x3^y - 5^z7^w = 1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 07:29 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Достаточно рассматривать разные варианты по модулям 3, 5, 8 и т.д. Получается длинно и неинтересно. Написано вот здесь. Есть ли у Вас что-то более лаконичное?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 19:12 
Аватара пользователя


28/09/08
11
Функция $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ удовлетворяет условию:
$f(x^3+y^3)=(x+y)(f(x)^2-f(x)f(y)+f(y)^2).$
Доказать что для любого действительного x:$f(1996x)=1996f(x)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.10.2008, 09:00 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
1. Подставим $y=-x$ и получаем $f(0)=0$, подставим $y=0$ и получаем $f(x^3)=xf(x)^2$.
2. Далее подставим $y=x$ получим $f(2x^3)=2xf(x)^2=2f(x^3)$, т.е. $f(2z)=2f(z) ,z=x^3$.
3. Подставим $y=2x$ получим $f(9x^3)=9xf(x)^2=9f(x^3), т.е. $f(9z)=9f(z)$.
4. $y=9x$ даст $f(730x^3)=10x73f(x^2)=730f(x^3)\to f(730z)=730f(z)$.
5. $y=9t,x=2t$ даст $f(737z)=737f(z)$.
Вообще, если доказано, что $f(az)=af(z),f(bz)=bf(z)$, то получаем $f(cz)=cf(z)$, где $c=a^3+b^3$.
Только у меня не получилось представления числа $1996=2*2*499$ в виде произведения полученных значений с.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.10.2008, 09:38 
Аватара пользователя


28/09/08
11
Пусть $af(x)=f(ax)$ тогда $axf(x)^2=af(x^3)=f(ax^3)=f((a^\frac{1}{3}x)^3)=a^\frac{1}{3}xf(a^\frac{1}{3}x)^2.$
Руст из вашего первого пункта видно что $f(x)$ имеет тот же знак, что и x. Тогда получим что $f(a^\frac{1}{3}x)=a^\frac{1}{3}f(x)$
Дальше всё понятно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.10.2008, 10:06 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Вообще получается $f(a^{1/3}x)=\pm a^{1/3}f(x)$. Но знак легко убирается тройным применением. Но для получения нового целого значения с с применением этого нужно представит какой то куб в виде произведения ранее полученных. Но этого вряд ли легко получит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.10.2008, 10:19 
Аватара пользователя


28/09/08
11
Знак убирается как раз при помощи вашего первого пункта.
$f((a+b)x)=f((a^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3})^3+(b^\frac{1}{3}x^\frac{1}{3})^3)=...=(a+b)f(x)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.10.2008, 11:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да, забыл воспользоваться последним замечанием (после пункта 5) своего поста используя $a^{1/3},b^{1/3}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2008, 18:33 


21/06/08
17
Юстас писал(а):
Достаточно рассматривать разные варианты по модулям 3, 5, 8 и т.д. Получается длинно и неинтересно. Написано вот здесь. Есть ли у Вас что-то более лаконичное?

Это вы ,наверное, про моё решение.Длинно,согласен,но весьма интересно, как такой, казалось бы простой метод может решать, такие задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group