У вас милая привычка считать собеседника дураком. Придется говорить с вами также.
Не возражаю. Это лучше, чем изъясняться длинно и сложно. То, как написано у вас внизу, мне понравилось. Если для аналогичного разговора вам нужно представлять перед собой дурака, продалжайте в том же духе.
Итак. Условия Коши Римана приводят к уравнению Лапласа для вещ. и мнимой частей аналитической функции в комплексном случае и волновому уравнению для вещ. и мнимой частей -аналитической функции в двойном случае. Это определяет применения ТФКП в задачах плоской электростатики, где действительно применяются конформные преобразования для преобразования одних граничных условий в другие.
Такое использование ТФКП действительно встречается, только оно не единственное. Есть и другие варианты, среди которых метод комплексного потенциала. Зря вы его не упомянули. Допускаю, что знакомы, но если подзабыли, предлагаю, все же освежить, в частности, по приводившейся выше ссылке на книгу Лаврентьева с Шабатом. Этот метод не подразумевает отображения границ или граничных условий. Он заключается в конструировании некоторого поля, задавая пространственные распределения особых точек, связанных с источниками, стоками, вихрями, мультиполями и т.п. Таким образом, можно описывать не только идеальные поля, но и с диссипацией. То есть, работать уже не с уравнениями Лапласа (для комплексных) или Даламбера (для двойных чисел), но и с ненулевой правой частью. Но это так, к слову. Главное, что я хочу подчеркнуть, что бы вы не забывали о вариантах, отличающихся от метода отображения границ..
По видимому, аналогичные применения ТФДП (теории функции двойного переменного) возможны при решении задач двумерного волнового уравнения, допускаю, что там есть аналоги -конформных преобразований, позволяющие сводить друг к другу задачи с разными граничными условиями. Я не знаю есть ли такая наука, пусть даже есть.
Наконец-то, похоже, появился шанс понять, о чем я пытаюсь говорить. В том то и дело, что
аналогичного применения ТФДП до сих пор не было. Я сейчас говорю о "вашем" применении, связанном с отображением границ или граничных условий. Это обусловлено тем, что границы на плоскости двойной переменной - пространственно-временные линии, как пространственноподобные, так и времениподобные, а чаще всего - смешанные. В терминах, применимых для отображения границ, пространственно-временные задачи, даже связанные всего с двумя измерениями, как правило не формулируют. Ну не принять это делать. Трудно и неудобно. Да и экспериментально пришлось бы снимать показания датчиков, расположенных не только по пространству но и по времени. Принципиально все это осуществимо, но редко используется.. Если я ошибаюсь, прошу привести ссылки..
Если это так, то, надеюсь,вы понимаете, что принципиальных проблем в именно таком подходе не должно возникать. Частично, именно о необходимости расширения известных методов ТФКП на аналогичный метод отображения границ в ТФДП я вам и пытаюсь который пост подряд говорить. Но это не вся новизна. Самой теории функций двойной переменной, устроенной по образу и подобию ТФКП до сих пор не построено. Все, что по данному поводу есть - лишь разрозненные фрагменты, с трудом связываемые между собой и страдающие обширнейшими лакунами. В частности, до сих пор нет полной ясности в виде гиперболического аналога интегральной формулы Коши. Но еще более вопиющая проблема в отсутствии строгого определения сходящейся (расходящейся) последовательности двойных чисел, а вместе с этим и следующих из такого определения предела степенного ряда и предела функции. Иногда эти пробелы не мешают работать с двойными числами и функциями над ними, но иногда мешают и даже очень.
Одна из целей, которую я ставлю перед собой и своими коллегами - разобраться с этими проблемами, желательно, с позитивным исходом. Работа с алгебраическими фракталами на двойных числах, о которых мы говорили выше, одно из направлений этой работы. Но также ведутся исследования и по построению максимально полной ТФДП и по ее приложениям к физике.
Но и это еще не все. У h-аналитических функций должен быть и аналог метода комплексного потенциала, которым я дополнил ваше упоминание об отображении границ. В таком варианте использование ТФДП и h-аналитических функций двойной переменной, на сколько мне известно, до нашей группы вообще никто не ставил. Если я тут также ошибаюсь, прошу показать соответствующую ссылку. Именно это и упомянутое выше я и считаю тем "новьем", которого не было до сих пор в арсенале физиков. Да и у математиков вы найдете мало похожего. Я вполне могу допустить, что все эти новые прибамбасы вокруг двойных чисел, даже если они все до единого будут реализованы с положительным результатом, окажутся не нужными не только в физике, но и в математике. Но для того, что бы иметь полное право сделать подобное заключение обоснованно, а не авансом, все эти пробелы ТФДП должны быть заполнены и их последствия проанализированы. На сегодня этого нет и отрицательный вердикт в бесполезности выносится заочно и a'priory. Причем не только физиками, но и математиками. Именно против этого я с коллегами и выступаю. Во всяком случае, в меру отпущенных нам способностей, сил и материальных возможностей..
У меня есть сомнения в мощи ТФДП по сравнению с ТФКП, но это субъективное мнение, пусть математики скажут.)
Вы не одиноки в своих сомнениях. Более того, девяносто девять процентов математиков вам скажут о бедности и тривиальности теории функций над двойными числами по сравнению с ТФКП. Отчасти они правы. Но только отчасти. Двойные числа очень похожи на обычные действительные, только двумерны. Но говорить о тривиальности ТФДП, все равно, что говорить о тривиальности теории функций вещественной переменной. Вам когда ни будь приходилось такое слышать, да еще в контексте отказа от каких бы то ни было глубинных исследований? А по поводу ТФДП именно так все и происходит. Попробуйте найти хоть один учебник. Думаю, не получится.. При всем при этом ликвидировать некоторую "неполноценность" двойных чисел также легко, как в свое время была ликвидирована "неполноценность" действительных чисел. То есть обычным комплексным расширением. Построить комплексное расширение с
на
нет никаких проблем. Кстати, в этом случае и с интегральной формулой Коши, имеющей определенные проблемы в
, также, похоже, все благополучно разрешается. В этой связи обращу ваше внимание на аналогию. Вам не приходилось слышать об интегральной формуле Коши на одномерной действительной оси? Не задавались вопросом - почему? Примерно поэтому же возникают проблемы и в
, но они же и снимаются в
. И так во всем. Но это совсем не означает тривиальности и бесполезности самих
. Нужно просто четко представлять их собственные возможности, недостатки и достоинства, чего на сегодня в полном объеме нет.
В любом случае, это просто метод решения известных уравнений мат. физики. Не более. Какую такую новую физику вы тут увидели? Неоткуда ей взяться, разве что понятия физики у вас другие.
До тех пор, пока за двойными числами и функциями от них вы и другие физики видят одни лишь волновые уравнения или уравнения Даламбера никакой новой физики или новых физических полей не может проявиться в принципе. Попробуйте поступить по другому. Постройте
любое конформное отображение исходной сетки декартовых прямоугольных координат псевдоевклидовой плоскости, связанное с той или иной элементарной h-аналитической функцией, постройте для него в точности все аналоги величин имеющиеся на комплексной плоскости, и задайтесь вопросом, силовые линии
какого физичекого поля вы при этом получили? И как интерпретировать все те математические величины, которые как гиперболические аналоги при этом получились? Математически у этого поля нет никаких темных мест. Все также прозрачно, как и при аналогичном отображении на комплексной плоскости. Но только у последней наготове несколько(!) равнозначных вариантов физических полей, которые с равным успехом данной аналитической функцией описываются, а в случае двойной переменной ни одной(!). (Волновая интерпретация не в счет, так как не дает возможности проинтерпретировать ВСЕ появляющиеся параметры.) Ну нет у физиков в запасе ни одного известного физического поля, которое вело бы себя также как поля обычно связываемые с обычными аналитическими функциями. А именно: двумерные поля электро- и магнитостатики, поля течения идеальной жидкости, теплопроводности, двумерного гравитационного поля и любого другого, о котором можно сказать, что оно двумерно потенциально и соленоидально. Для h-аналитических функций таких аналогии нет. Ни одной.. Если вас такая асимметрия устраивает, то меня и моих коллег нет. Я уверен, что соответствующих физических ситуаций, которые должны востребовать h-аналитические функции двойной переменной должно быть также много. Поэтому и ведем работы, как в направлении нетривиальных аналогов множеств Жюлиа и Мандельброта, так к и в направлении конформных расширений двумерной СТО, так и по конформным отображениям границ, и т.д. и т.п. А на ближайшем семинаре в субботу собираемся обсуждать методы экспериментального обнаружения подобных гиперболических полей, тем более, что с метаматической стороны, во всяком случае, при двух значимых измерениях, все кристально ясно, как такое поле должно себя проявлять.
только не надо говорить что волна это не поле, поле это, поле.
Не возражаю, что волна это поле. Но только не все поле, а его часть. Или, более точно, в характеристиках волны нет полной информации о состоянии поля. Описание поля при помощи h-комплексного потенциала или связанной с тем h-аналитической функции более полное. Если угодно в этой связи в знаменитом споре Эйнштейна и Бора я занимаю сторону первого о неполноте квантовой механики и необходимости ее дополнения до полноценнной и целостной конструкции. И для занятия этой позиции мне совершенно не нужно знать детали современной квантовой механики, вполне достаточно, что у меня есть версия, какая конструкция не обладает недостатками волновой.. А уж эту конструкцию я чувствую в на много более адекватном и полноценном виде, чем многие самые эрудированные физики или математики, так как посвятил ей более тридцати лет. У большинства не наберется и нескольких часов знакомства..