Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел

[Time]

Вас просили быть вежливее. Тренируйтесь..

[ИгорЪ]

Time
Моё утверждение было следующим, в двумерном случае уравнение Лапласа и волновое уравнение могут быть интерпретированы как следствия условий Коши Римана для комплексных и двойных чисел. Отсюда все возможные применения для нахождения всевозможных решений этих уравнений, разработанные в комплексном случае и спорные в двойном. При этом совершенно безразлично о каком поле речь, электромагнитном, цветном или гравитационном. уравнения движения полей всегда содержат как частный случай и Лапласа и волновое и их неоднородные обобщения. Посему, мне непонятно что за фундаментальные новые поля вы хотите обнаружить.

Теперь про Коши Римана.

Time в сообщении #274315 писал(а):

Когда мы замораживаем одну временную и одну пространственную координаты, оставляя действующими две пространственные координаты, уравнения Максвелла один в один сводятся к условиям Коши-Римана на комплексной плоскости.

Это вы можете доказать?

-- Ср дек 23, 2009 11:57:47 --

но только с источниками!

[Time]

ИгорЪ в сообщении #274334 писал(а):

Моё утверждение было следующим, в двумерном случае уравнение Лапласа и волновое уравнение могут быть интерпретированы как следствия условий Коши Римана для комплексных и двойных чисел. Отсюда все возможные применения для нахождения всевозможных решений этих уравнений, разработанные в комплексном случае и спорные в двойном. При этом совершенно безразлично о каком поле речь, электромагнитном, цветном или гравитационном. уравнения движения полей всегда содержат как частный случай и Лапласа и волновое и их неоднородные обобщения.

Хочу обратить ваше внимание, что сами по себе аналитические и h-аналитические функции задают не только поля, которые удовлетворяют уравнениям Лапласа и Даламбера, но и распределения точечных особенностей, которые можно интерпретировать как точечные источники и вихри. Информация, как о поле, так и об этих точечных особенностях содержится в единственном объекте - комплексной (h-комплексной) функции. Если же мы переходим к описанию поля при помощи уравнения Лапласа или Даламбера, то в этом уравнении самом по себе информации о источниках и вихрях нет, что бы она появилсь нужно добавить граничные условия, а это уже дополнительная конструкция.

ИгорЪ в сообщении #274334 писал(а):

Посему, мне непонятно что за фундаментальные новые поля вы хотите обнаружить.

Я не хочу, как минимум два поля (в двумерном случае) сами собой вылазюют, причем вместе со своими свойствами, являющимися гиперболическими аналогами обычных свойств потенциальности и соленоидальности на евклидовой плоскости.

ИгорЪ в сообщении #274334 писал(а):

Теперь про Коши Римана.

Time в сообщении #274315 писал(а):
Когда мы замораживаем одну временную и одну пространственную координаты, оставляя действующими две пространственные координаты, уравнения Максвелла один в один сводятся к условиям Коши-Римана на комплексной плоскости.
Это вы можете доказать?

-- Ср дек 23, 2009 11:57:47 --

но только с источниками!

Вы путаете распределенные источники и точечные.
Берете обычные уравнения Максвелла, обнуляете распределенные источники и частные производные по времени, а также одной из пространственных координат, получаете один в один условия Коши римана для напряженностей електрического и магнитного полей. Проделать тоже самое для обнуления частных производных по двум пространственным координатам и получить гиперболические аналого условий Коши-Римана мы не можем. Если б было иначе, это говорило бы о наличии продольной составляющей у электромагнитных волн. Вы о такой слыхали?

[Vallav]

Time в сообщении #274317 писал(а):

Вас просили быть вежливее. Тренируйтесь..

Да я ничё.
Не хотите демонстрировать всю мощь Вашего метода -
Ваше право.
Прдолжайте болтать на здоровье...

[peregoudov]

Time в сообщении #273818 писал(а):

P.S. Обращение к модератору

Я так понимаю, в чудесной стране лапландии Павлов уже побывал?

ИгорЪ в сообщении #274016 писал(а):

Time
У вас милая привычка считать собеседника дураком.

По себе судит, вестимо...

-- Ср дек 23, 2009 21:05:13 --

Vallav в сообщении #274413 писал(а):

Не хотите демонстрировать всю мощь Вашего метода -
Ваше право.

Да какая мощь? Всю свою немощь Павлов уже наглядно продемонстрировал.

А решение в обычной СТО для произвольного ускорения ракеты скидываю вам в личку. Здесь прошу не светить. Сначала посмотрим, как обкакается Павлов с решением им же выдуманной задачки.

[ИгорЪ]

Time в сообщении #274357 писал(а):

Информация, как о поле, так и об этих точечных особенностях содержится в единственном объекте - комплексной (h-комплексной) функции. Если же мы переходим к описанию поля при помощи уравнения Лапласа или Даламбера, то в этом уравнении самом по себе информации о источниках и вихрях нет, что бы она появилсь нужно добавить граничные условия, а это уже дополнительная конструкция.

Тем не менее, у Смирнова (том с ТФКП) написано "Каждая плоская электростатическая картинка соответствует регулярной функции, и наоборот, каждая регулярная функция соответствует некоей электростатической картинке" посему Лаплас с гр. условиями + источниками=аналитическая (регулярная) функция. Тут всё.

Time в сообщении #274357 писал(а):

Берете обычные уравнения Максвелла, обнуляете распределенные источники и частные производные по времени, а также одной из пространственных координат, получаете один в один условия Коши римана для напряженностей електрического и магнитного полей. Проделать тоже самое для обнуления частных производных по двум пространственным координатам и получить гиперболические аналого условий Коши-Римана мы не можем.

Значит ваша логика такова. Комплексные условия КР=уравнения Максвелла без времени и одной координаты, раз двойные условия КР не равны Максвеллу с двумя замороженными пространственными координатами, то должны существовать некие новые "уравнения Максвелла" с неизвестными научной общественности полями?

-- Ср дек 23, 2009 23:42:39 --

Time в сообщении #274357 писал(а):

Если б было иначе, это говорило бы о наличии продольной составляющей у электромагнитных волн. Вы о такой слыхали?

С продольной уточните. Если мыслить формально и удалить две пространственные составляющие и останется временная плюс пространственная так что ли? а её вроде не должно быть. Или как иначе? Ну так я вам скажу шо есть двумерная элетродинамика с уравнениями двойных КР и ещё. Нашел у себя в столе. Как то баловались с дуальными вариантами кватернионной формулировки элетромагнетизма и получился как раз один вариант с двойными условиями КР. Вот думаю послать к вам в журнал если вам это интересно? Если серьёзно, всё это говорит о том, что не следует так сильно ставить на h-аналитические функции, связь с физическими полями может быть далеко не прямой. Вон Пенроуз на твисторах условия КР изучал, кое чего получил, как вы наверное знаете.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #274555 писал(а):

посему Лаплас с гр. условиями + источниками=аналитическая (регулярная) функция. Тут всё.

Против такой формулировки ничего не имею. Единственно следует добавить, что это верно только в двумерии и что скалярных функций, удовлетворяющих одновременно уравнению Лапласа - две, одна функция потенциала, а другая - функция тока. В квадратичном многомерии таких функций всегда одна и ей невозможно поставить в соответствие аналитическую комплексную (гиперкомплексную) функцию.

ИгорЪ в сообщении #274555 писал(а):

Значит ваша логика такова. Комплексные условия КР=уравнения Максвелла без времени и одной координаты, раз двойные условия КР не равны Максвеллу с двумя замороженными пространственными координатами, то должны существовать некие новые "уравнения Максвелла" с неизвестными научной общественности полями?

Нет не так. Из этого следует лишь, что поле, соответствующее h-аналитическим функциям не может быть частным случаем двумерного электромагнитного поля. То, что это поле не может быть частным случаем других фундаментальных полей следует из других соображений. Но это столь же обоснованно, как и утверждение, что электромагнетизм с h-аналитическими функциями и рядом не стоял. Отсюда возможны два гипотетических вывода. Первый, что подобные поля совершенно абстрактны и не имеют никакого отношения к реальности, и второй, что они столь же естественны для физического мира как и обычные двумерные потенциальные и соленоидальные поля, просто в силу ряда причин не были включены в научный обиход. Я уверен в неизбежности второго вывода. Но пока это мое личное субъективное мнение. Точки, как всегда, должен расставить опыт. Благодаря чистой математике мы прекрасно знаем, как должны себя вести подобные поля, если они есть в реальности. Нужно просто выдвинуть ряд гипотез, что именно может генерировать данное поле и проверить их на практике. В случае положительного результата хоть одного такого эксперимента - появляется возможность рассчитать следствия его модификации. Если такой расчет в последующем подтверждается в соответсвующей дополнительной серии экспериментов - физикам придется признать наличие дополнительного фундаментального взаимодействия обладающего гиперболической потенциальностью и соленоидальностью. Если эксперимент ничего ничего не покажет, значит, верен первый вариант и гиперболически потенциальных и соленоидальных полей не существует. Но лично я такому варианту сильно удивился бы.. Слишком красивы и целесообразны h-аналитические функции, что бы оказаться без физической аналогии.. Да вы и сами косвенно это подтвердили, доказывая, что они чуть ли не априори связаны с уже известными полями..

[Time]

ИгорЪ в сообщении #274555 писал(а):

С продольной уточните. Если мыслить формально и удалить две пространственные составляющие и останется временная плюс пространственная так что ли? а её вроде не должно быть. Или как иначе?

Похоже, вы все с волновым уравнением это проделываете. Оставьте его в покое. Возьмите именно уравнения Максвелла и посмотрите, что при замораживании двух пространственных координат вырисовывается. Результат, как раз и говорит, что ничего нетривиального с оставшимися двумя координатами, одна из которых временнАя, а другая пространственная - не получается.. Отчасти, это говорит об отсутствии продольной составляющей у электромагнитной волны.

ИгорЪ в сообщении #274555 писал(а):

Ну так я вам скажу шо есть двумерная элетродинамика с уравнениями двойных КР и ещё.

С удовольствием познакомлюсь. На русском какой ни будь ссылки не дадите? Впрочем, можно на любом..

ИгорЪ в сообщении #274555 писал(а):

Как то баловались с дуальными вариантами кватернионной формулировки элетромагнетизма и получился как раз один вариант с двойными условиями КР.

С дуальным или с двойным? Это разные вещи. Мне известны такие построения на кватернионах, включающих именно двойные числа, как подалгебру. В частности, в работах Казановы, одна из которых называется "От алгебры Клиффорда до атома водорода". Скорее всего, у вас тоже самое.. Иначе не понятно, как у вас оставались бы условия К-Р для двойных чисел. В этом, кстати, нет ничего необычного. Дело в том что такое расширение кватернионов оказывается связанным не столько с пространством Минковского, сколько с восьмимерным финслеровым линейным пространством, имеющим фундаментальную метрическую форму не квадратичную, а биквадратичную. Добро пожаловать в круг финслеристов. Я всегда подозревал, что вы наш человек. А для финслерова пространства подобный предельный случай соответствующего ему идеального поля - вещь совершенно естественная. Кстати, обратите внимание, что конформная группа таких двойных кватернионов уже не 15 параметрическая как у четырехмерного Минковского, а почти такая же бесконечнопараметрическая как у всех пространств Бервальда-Моора, включая его частный случай в виде двумерного псевдоевклида..

ИгорЪ в сообщении #274555 писал(а):

Вот думаю послать к вам в журнал если вам это интересно?

Если все это уже давно не сделано другими - с удовольствием напечатаем (при положительных рецензиях, естественно). Присылайте..

ИгорЪ в сообщении #274555 писал(а):

Если серьёзно, всё это говорит о том, что не следует так сильно ставить на h-аналитические функции, связь с физическими полями может быть далеко не прямой.

Ваш скепсис совершенно естественен, если исходить из уверенности, что в четырехмерии рулит метрика Минковского (а хоть бы и финслерова двойных кватернионов). Но я в отличие от вас вижу резоны подозревать в такой роли четырехмерного Бервальда-Моора. А в этом случае выделенная роль h-аналитических функций в двумерии практически такая же, как роль обычных аналитических функций на евклидовой плоскости. Наличие же или отсутствие связи таких полей с физическими явлениями нужно проверять на практике. Одними формулами тут не обойтись. Как в аргументах "против", так и в аргументах "за". Или вы готовы, игнорируя экспериментальную проверку, вынести вердикт в нефизичности (связь с обычным электромагнетизмом и его уравнениями Максвелла вами пока ничем осязаемым не подкреплена) заочно?

[Scholium]

Time в сообщении #267703 писал(а):

Разрешите сделать весьма вероятный с моей точки зрения прогноз, что примерно также, как выше продемонстрировали свою позицию Вы, завтрашние студенты станут столь же высокомерно относиться к той новой системе аксиом квантовой механики, которая, возможно, рано или поздно сменит нынешних набор аксиом. Они совершенно искренне будут уверены, что эти новые формулы также мог бы написать даже школьник, в крайнем случае, первокурсник. Только где они эти первокурсники сейчас? Могу еще дополнить сделанный выше прогноз утверждением, что новый набор аксиом станет базироваться на прямом соотнесении с аналитическими и h-аналитическими функциями. Те варианты, что показали Вы мне в ссылках - лишь полумеры, не позволяющие сделать конструкцию до конца красивой, лаконичной и предельно простой. Думаю, пары лет для построения основы такой новой конструкции будет достаточно, во всяком случае, если за нее взяться без предубеждений в ненужности поличисел..
В любом случае, спасибо за диалог. Он позволил мне глубже понять важность и необходимость влезания в область квантовых задач, чего у меня раньше не было. Более того, я старательно обходил данную тематику. Постараюсь в самое ближайшее время сформировать хотя бы небольшую команду профессионалов, что бы она попробовала заняться этой проблемой. Вдруг, что дельное и получится..

Прошло уже много времени. Насколько, если не секрет, Вы продвинулись в Вашем понимании основ квантовой механики (КМ)? Я думаю, что обобщать КМ можно в разных направлениях. Вот очень сильный пример аксиоматизации квантовой статистической механики и квантовой теории поля: Ж. Эмх. «Алгебраические методы в статической механике и квантовой теории поля». Лично меня интересует стохастическое обоснование КМ, по этому поводу можно посмотреть мою тему: Ненормируемая плотность распределения вероятности.

Ваши исследования в области гиперкомплексных чисел и смежных областях весьма интересны, но нужно время чтобы прочитать Ваши работы (я только сегодня вышел на Вашу тему).

[Time]

Scholium в сообщении #307252 писал(а):

Прошло уже много времени. Насколько, если не секрет, Вы продвинулись в Вашем понимании основ квантовой механики (КМ)?

Ну, времени прошло не так уж и много. Однако, кое что, получилось. Правда, не столько у меня, сколько у Гарасько, но работал он по моей просьбе и как раз в том направлении, что бы гармонично совместились h-аналитические функции и плотность распределения вероятности квантовых явлений. У меня есть черновик статьи по данному поводу. Если пришлете адрес - вышлю посмотреть.

Основное отличие от стандартного подхода, на сколько я понимаю, заключается в том, что в обычном подходе к специальной теории относительности на двумерной плоскости двумерный аналог модуля вектора четырехскорости (в данном случае это двускорость) не равен тождественно единицы, а изменяется в соответствии с задаваемым h-аналитической функцией конформным растяжением/сжатием. Или другими словами, пространственно-временные масштабы наблюдателей, находящихся в разных точках-событиях нелинейного поля - не обязательно одинаковы. Почему физики (кроме Вейля) не стали рассматривать такую возможность - для меня большая загадка.. Именно это обстоятельство, как мне представляется, и ответственно в конце концов за то, что квантовая механика с неким трудом совмещается с релятивистскими представлениями. То есть, простенькие h-аналитические функции и тут подсказывают вполне естественный выход.

Scholium в сообщении #307252 писал(а):

Лично меня интересует стохастическое обоснование КМ, по этому поводу можно посмотреть мою тему: Ненормируемая плотность распределения вероятности.

Я иногда поглядывал Вашу тему. Мне кажется, что пересечения того, о чем пишите Вы и изложено в черновике статьи - есть. Если гляните последнюю, составите собственное мнение.

Scholium в сообщении #307252 писал(а):

Ваши исследования в области гиперкомплексных чисел и смежных областях весьма интересны, но нужно время чтобы прочитать Ваши работы (я только сегодня вышел на Вашу тему).

Можно смотреть сайт www.polynumbers.ru . Там в разделе "Журнал" довольно много статей на данную тему.

[Scholium]

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Прошло уже много времени. Насколько, если не секрет, Вы продвинулись в Вашем понимании основ квантовой механики (КМ)?

Ну, времени прошло не так уж и много. Однако, кое что, получилось. Правда, не столько у меня, сколько у Гарасько, но работал он по моей просьбе и как раз в том направлении, что бы гармонично совместились h-аналитические функции и плотность распределения вероятности квантовых явлений. У меня есть черновик статьи по данному поводу. Если пришлете адрес - вышлю посмотреть.

У меня несколько адресов, на выбор:

[e-mail]
[e-mail]
[e-mail]
[e-mail]

Статью, с удовольствием посмотрю, если конечно пойму, о чем речь :) . Возможно, я буду задавать наивные вопросы, уж не обессудьте! Параметр h в определении h-аналитических функций это малый параметр? А определение надо искать у Лаврентьева и Шабата? Какой физический смысл у h? Не обязательно все подробно рассказывать, достаточно задать направление поиска. У меня еще не было времени самостоятельно все найти.

Time писал(а):

Основное отличие от стандартного подхода, на сколько я понимаю, заключается в том, что в обычном подходе к специальной теории относительности на двумерной плоскости двумерный аналог модуля вектора четырехскорости (в данном случае это двускорость) не равен тождественно единицы, а изменяется в соответствии с задаваемым h-аналитической функцией конформным растяжением/сжатием. Или другими словами, пространственно-временные масштабы наблюдателей, находящихся в разных точках-событиях нелинейного поля - не обязательно одинаковы. Почему физики (кроме Вейля) не стали рассматривать такую возможность - для меня большая загадка.. Именно это обстоятельство, как мне представляется, и ответственно в конце концов за то, что квантовая механика с неким трудом совмещается с релятивистскими представлениями. То есть, простенькие h-аналитические функции и тут подсказывают вполне естественный выход.

Ну, почему не стали рассматривать это можно пытаться объяснить. Достаточно посмотреть на пример Хью Эверетта, который выступил со своей интерпретацией многовариантности в квантовой механике (КМ). Против него началась мощная травля, причем не по существу, а именно за то, что пошел против устоявшегося научного течения. Отстали от него только после того, как он стал в секретных лабораториях Пентагона разрабатывать системы новых вооружений. Однако его работы в области КМ были незаслуженно забыты (никому не позволили вступать в научную дискуссию с ним). По-моему, это стало причиной сильного пьянства у него. Сейчас, правда, наступила демократия, в том числе научная, говорит и писать можно, все что хочешь :) .

Насчет соответствия КМ с релятивистскими представлениями. Насколько я знаю уравнение Дирака для электрона это как раз и есть обобщение уравнения Шредингера на случай околосветовых скоростей. Да и, по-моему, «Квантовая электродинамика» (4-й том теорфизики) Берестецкого, Лифшица и Питаевского является релятивистской КМ. О ее проблемах, в частности писал Ж. Эмх (ссылку на него я уже давал), вроде они связаны с расходимостями, которые устраняются если перейти на аксиоматику Эмха. Так что трудности КМ в релятивистской области мне пока не кажутся очень серьезными. Тем более, что существует даже квантовая теория гравитации, которая уже ближе к теории суперструн и М-теории Эдварда Витта.

К специальной теории относительности у меня какое-то несерьезное отношение. По крайней мере, мне она мало интересна, ибо я ей не очень верю.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Лично меня интересует стохастическое обоснование КМ, по этому поводу можно посмотреть мою тему: Ненормируемая плотность распределения вероятности.

Я иногда поглядывал Вашу тему. Мне кажется, что пересечения того, о чем пишите Вы и изложено в черновике статьи - есть. Если гляните последнюю, составите собственное мнение.

Безусловно! Могу покритиковать, если что не понравиться, но доброжелательно :) .

Time писал(а):

Можно смотреть сайт http://www.polynumbers.ru . Там в разделе "Журнал" довольно много статей на данную тему.

Начал уже смотреть Г.И. Гарасько. «Начала Финслеровой геометрии для физиков». Смотрю раздел КМ. Но пока ни за что еще не зацепился. Ключевые понятия в КМ, на мой взгляд, это принцип неопределенности, интерпретация пси функции и модуля ее квадрата, особенно, когда он не интегрируем, исследование случая свободного движения единственной квантовой частицы во всем пространстве – времени, в отсутствие внешних воздействий на нее (типа волна Де Бройля), объяснение противоречия волна-частица, взаимосвязь между координатами и импульсами частицы на вероятностном уровне и т.д. и т.п.

Я бы предположил, что на базе плоской волны Де Бройля двух частиц невозможно вывести эффекты типа дифракции или интерференции, так как волна эта вовсе не волна, а равномерное распределение частицы в пространстве. Другое дело, если взять за основу волновой пакет (что впрочем, требует обоснования, получше, чем в КМ (т. 3) Ландау и Лифшица), тогда подобная задача может быть выполнима (но требует доказательства), поскольку распределение у волнового пакета уже нормировано и волнообразно (типа хорошо убывающего квадрата синусоиды).

А вообще хотелось бы еще открыть такое свойство как стохастическая дифракция и интерференция (Интернет о нем ничего не знает). Но это требует привлечения других идей (стохастичности частицы или пространства, некоторой сопряженности частицы и пространства и т.д. и т.п.).

[Time]

Scholium в сообщении #307797 писал(а):

Статью, с удовольствием посмотрю, если конечно пойму, о чем речь :) . Возможно, я буду задавать наивные вопросы, уж не обессудьте! Параметр h в определении h-аналитических функций это малый параметр? А определение надо искать у Лаврентьева и Шабата? Какой физический смысл у h? Не обязательно все подробно рассказывать, достаточно задать направление поиска. У меня еще не было времени самостоятельно все найти.

В этой статье Гарасько все достаточно просто. Я наверное, погорячился охарактеризовав ее в связи с квантовой механикой. По-сути там речь о построении плотности распределения вероятности на основе h-аналитических функций. В электронном виде у себя не нашел. Завтра отсканирую бумажную версию и вышлю.
Приставка h к слову аналитические введена Лаврентьевым с Шабатом и призвана всего лишь отличать, что речь идет об аналитических функциях гиперболической (отсюда и h) комплексной переменной. Соответствующие условия Коши-Римана также отличаются от обычных, формально не сильно, лишь отсутсвием знака минус в одной из двух формул. Почитать книгу Л и Ш совсем не повредит, правда там совсем немного и не доконца. Они остановились на полуслове, давая пространственно-временную интерпретацию h-аналитических функций. Они предпочли менее эффективную волновую их интерпретацию.

Scholium в сообщении #307797 писал(а):

Так что трудности КМ в релятивистской области мне пока не кажутся очень серьезными.

Возможно я поторопился с подобными утверждениями.

Scholium в сообщении #307797 писал(а):

К специальной теории относительности у меня какое-то несерьезное отношение. По крайней мере, мне она мало интересна, ибо я ей не очень верю.

Я имел ввиду не только специальную теорию относительности в двумерном пространстве-времени, которая как известно опирается лишь на группу изометрических преобразований, трактуемых как переходы между инерциальными системами отсчета. Я намекал о потенциальной возможности бесконечномерную группу конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости рассматривать как симметрийную основу для переходов на плоскости уже между неинерциальными системами отсчета. Размерность этой группы позволяет надеяться это сделать. Это на много интересней, чем обычная СТО в двумерии.

Scholium в сообщении #307797 писал(а):

Начал уже смотреть Г.И. Гарасько. «Начала Финслеровой геометрии для физиков». Смотрю раздел КМ. Но пока ни за что еще не зацепился. Ключевые понятия в КМ, на мой взгляд, это принцип неопределенности, интерпретация пси функции и модуля ее квадрата, особенно, когда он не интегрируем, исследование случая свободного движения единственной квантовой частицы во всем пространстве – времени, в отсутствие внешних воздействий на нее (типа волна Де Бройля), объяснение противоречия волна-частица, взаимосвязь между координатами и импульсами частицы на вероятностном уровне и т.д. и т.п.

В этой книге Гарасько абсолютно никаких изменений в построениях квантовой механики не предпринимает. Разве что метрику меняет, но на основных понятиях КМ это никак не сказывается. Изменения попытался убедить его сделать я, и уже после написания книги. Он долго сопротивлялся, но в конце концов появилась та работа, что я Вам завтра собираюсь послать.

Scholium в сообщении #307797 писал(а):

Другое дело, если взять за основу волновой пакет (что впрочем, требует обоснования, получше, чем в КМ (т. 3) Ландау и Лифшица), тогда подобная задача может быть выполнима (но требует доказательства), поскольку распределение у волнового пакета уже нормировано и волнообразно (типа хорошо убывающего квадрата синусоиды).

При построении таких волновых пакетов, на сколько я понимаю, даже в случае двумерного пространства-времени двойные числа и их h-аналитические функции не участвуют? Именно это недоразумение я и хотел исправить, прося Гарасько позаниматься соответствующим вопросом.

Scholium в сообщении #307797 писал(а):

А вообще хотелось бы еще открыть такое свойство как стохастическая дифракция и интерференция (Интернет о нем ничего не знает). Но это требует привлечения других идей (стохастичности частицы или пространства, некоторой сопряженности частицы и пространства и т.д. и т.п.).

Не до конца пониаю, о чем речь, но интуитивно вижу, что двойные числа здесь будут в самый раз, так как единственная пространственная и временнАя координаты в этом случае именно что сопряжены друг с другом. Впрочем, возможно, мы сейчас о разном..

[Scholium]

Time писал(а):

В этой статье Гарасько все достаточно просто. Я наверное, погорячился охарактеризовав ее в связи с квантовой механикой. По-сути там речь о построении плотности распределения вероятности на основе h-аналитических функций. В электронном виде у себя не нашел. Завтра отсканирую бумажную версию и вышлю.
Приставка h к слову аналитические введена Лаврентьевым с Шабатом и призвана всего лишь отличать, что речь идет об аналитических функциях гиперболической (отсюда и h) комплексной переменной. Соответствующие условия Коши-Римана также отличаются от обычных, формально не сильно, лишь отсутсвием знака минус в одной из двух формул. Почитать книгу Л и Ш совсем не повредит, правда там совсем немного и не доконца. Они остановились на полуслове, давая пространственно-временную интерпретацию h-аналитических функций. Они предпочли менее эффективную волновую их интерпретацию.

Я начал уже читать Лаврентьева и Шабата (ЛШ), главу обобщение комплексных чисел. Для меня оказалось удивительным, что я не знал про параболические и гиперболические комплексные числа. А ведь их можно объяснить даже школьнику! Только мне больше нравится термин «гиперболическая аналитичность» вместо «h-аналитичности», так как второй вводит в заблуждение неспециалиста, а первый также предложен теми же учеными. Хотя это не принципиально.

ЛШ пишут, что «теория h-аналитических функций не так глубока, как теория обычных аналитических функций». Пример их использования ограничен качественными моделями сверхзвукового течения. А про квазиконформные отображения они пишут, что они «требуют развития аксиоматического подхода». Так что я пока не совсем понимаю, в чем прелесть этих функций?

Time писал(а):

Я имел ввиду не только специальную теорию относительности в двумерном пространстве-времени, которая как известно опирается лишь на группу изометрических преобразований, трактуемых как переходы между инерциальными системами отсчета. Я намекал о потенциальной возможности бесконечномерную группу конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости рассматривать как симметрийную основу для переходов на плоскости уже между неинерциальными системами отсчета. Размерность этой группы позволяет надеяться это сделать. Это на много интересней, чем обычная СТО в двумерии.

Вполне возможно, что это сделает теорию относительности более интересной. Но мне кажется, что лучше начинать с нерелятивистской квантовой механики и уже от нее перемещаться к релятивистской КМ и СТО.

Time писал(а):

В этой книге Гарасько абсолютно никаких изменений в построениях квантовой механики не предпринимает. Разве что метрику меняет, но на основных понятиях КМ это никак не сказывается. Изменения попытался убедить его сделать я, и уже после написания книги. Он долго сопротивлялся, но в конце концов появилась та работа, что я Вам завтра собираюсь послать.

А он удовлетворен интерпретацией КМ? Его устраивает понятие частица-волна, ненормируемая ПРВ, неопределенность физического смысла пси функции, непонятки с волной Де Бройля и волновым пакетом? Почему он сопротивляется? Ему неинтересно или по другим причинам?

Time писал(а):

При построении таких волновых пакетов, на сколько я понимаю, даже в случае двумерного пространства-времени двойные числа и их h-аналитические функции не участвуют? Именно это недоразумение я и хотел исправить, прося Гарасько позаниматься соответствующим вопросом.

Мне не нравиться как строиться волновой пакет (интегрированием по импульсу моноволн Де Бройля). Тогда как сам импульс моноволны отвязан от квантовой частицы. Тем не менее, волновой пакет более практичен, чем плоская волна, однако это скорее результат взаимной компенсации ошибок, чем изначально правильных действий.

Если я правильно понимаю смысл h-аналитических функций, то они если и начнут работать, то на этапе решения квантового уравнения Шредигера (УрШ), а не на этапе обоснования волны Де Бройля либо волнового пакета. А в УрШе мы должны выяснить смысл пси-функции, либо воспользоваться идеей Д. Бома о разложении квантового уравнения на действительные компоненты (ПРВ и фазовую функцию – действие). Причем от фазовой функции попытаться отказаться. Ну и решить проблему волна-частица (я предлагаю путем отказа от волны и введения идеи стохастичности).

Time писал(а):

Scholium писал(а):

А вообще хотелось бы еще открыть такое свойство как стохастическая дифракция и интерференция (Интернет о нем ничего не знает). Но это требует привлечения других идей (стохастичности частицы или пространства, некоторой сопряженности частицы и пространства и т.д. и т.п.).

Не до конца пониаю, о чем речь, но интуитивно вижу, что двойные числа здесь будут в самый раз, так как единственная пространственная и временнАя координаты в этом случае именно что сопряжены друг с другом. Впрочем, возможно, мы сейчас о разном..

Если мы обоснуем понятие волнового пакета (от плоской волны, скорее всего, придется отказаться), то можно пытаться решать математическую задачу дифракции для стохастического блуждания двух частиц через две щели. Объединенная ПРВ должна по идее дать интерференционную картину для индивидуальных ПРВ этих частиц. Помогут тут нам двойные числа или нет, я пока не знаю, но об их потенциале можно постоянно иметь в виду.

[Time]

Scholium в сообщении #308045 писал(а):

Я начал уже читать Лаврентьева и Шабата (ЛШ), главу обобщение комплексных чисел. Для меня оказалось удивительным, что я не знал про параболические и гиперболические комплексные числа. А ведь их можно объяснить даже школьнику! Только мне больше нравится термин «гиперболическая аналитичность» вместо «h-аналитичности», так как второй вводит в заблуждение неспециалиста, а первый также предложен теми же учеными. Хотя это не принципиально.

Один мой друг и коллега по работам с двойными числами ведет у себя в городе физмат школу. Он попробовал давать специальную теорию относительности именно в привязке к двойным числам. Школьники были в восторге, так как все получается очень просто и понятно. Я также воспринимаю СТО и ее возможные расширения на бесконечномерные группы нелинейных конформных преобразований (в квадратичной геометрии такое возможно только в двумерном пространстве-времени) именно через призму двойных чисел и их h-аналитических функций.
Обозначение действительно непринципиально.

Scholium в сообщении #308045 писал(а):

ЛШ пишут, что «теория h-аналитических функций не так глубока, как теория обычных аналитических функций». Пример их использования ограничен качественными моделями сверхзвукового течения. А про квазиконформные отображения они пишут, что они «требуют развития аксиоматического подхода». Так что я пока не совсем понимаю, в чем прелесть этих функций?

Полагаю, что ЛШ правы, когда так пишут, но лишь на половину. А именно, что теория h-аналитических функций крайне проста. Эта простота становится очевидной при переходе в базис из изотропных векторов, когда компоненты h-аналитической функции превращаются в пару произвольных аналитических функций от одной действительной переменной каждая. Проще, что называется, некуда. Однако они не правы, когда считают, что аналитические функции обычной комплексной переменной хоть немного сложнее. Они совершенно равнозначны h-аналитическим функциям, и разница лишь в том, что на комплексной плоскости нет вещественного изотропного базиса, в котором ту можно было бы разложить на две функции от одной действительной переменной каждая. Однако можно либо ввести такой базис как чисто мнимый, либо просто установив взаимооднозначное соответствие с h-аналитическими функциями двойной переменной. Такую работу мы с Гарасько проделали. Все получается красиво и однозначно. Конечно, немного жалко сознавать, что комплексные числа и аналитические функции от них оказались ничем не сложнее h-аналитических, зато паритет двух теорий почти полностью восстановился.
К тому же, похоже, ЛШ не знали, что на плоскости двойной переменной работают аналоги практически всех теорем ТФКП (думаю даже, что абсолютно всех). В частности, теорем Коши, Стокса, Остроградского и пр. Недавно, наконец, и с аналогом интегральной формулы Коши разобрались. Все не менее красиво и логично, чем в ТФКП..

Что касается применений h-аналитических функций двойной переменной лишь к качественным картинам сверхзвуковых течений, тут Вы не правы. Даже у ЛШ есть оговорка мельком, что эти функции можно было бы рассматривать как конформные отображения на плоскости с псевдоевклидовой метрикой, то есть, в двумерном пространстве времени. Однако они тут же одергивают себя и говорят, что не станут развивать мысль в этом направлении, а лучше рассмотрят иную интерпретацию. А именно, как двух встречных волн с профилем в виде аналитических функций от одной вещественной переменной каждая, распространяющихся со световой скоростью. Да, такая интерпретация действительно имеет место. Но интерпретация как нелинейного двумерного поля в пространстве-времени - на много более интересная и далекоидущая. Я теперь понимаю, почему они не стали развивать идею второго варианта и ограничились одним. В противном случае им бы пришлось говорить о конформных расширениях двумерной СТО, а это хоть и не дискредитирует последнюю, но все равно могло бы кем-то рассматриваться как наезд. В те времена такое вряд ли приветствовалось бы..
Если Вы хотите почувствовать, в чем прелесть этой второй, то есть, полевой интерпретации h-аналитических функций, то откройте 9 страницу этой темы ( topic27715-120.html ), там в самом низу рассмотрен пример логарифмов в обычных комплексных числах и в двойных. Попробуйте найти, как говорится, хотя бы пару отличий (кроме естественных отличий в метрике).
Квазиконформные давайте пока трогать не будем. Иначе только запутаемся..

Scholium в сообщении #308045 писал(а):

Вполне возможно, что это сделает теорию относительности более интересной. Но мне кажется, что лучше начинать с нерелятивистской квантовой механики и уже от нее перемещаться к релятивистской КМ и СТО.

Нужно идти по всем возможным направлениям. Что мы и стараемся делать, но у нас пока мало специалистов по КМ, да и классическая теория поля представляется несколько более наглядной и простой. Кроме того, с двойными числами связана геометрия двумерного псевдоевклидова пространства времени, а оно именно что релятивистски инвариантное. Если хотите начинать с нерелятивистской механики (хоть квантовой, хоть обычной), то для них более естественными являются параболические (дуальные) числа.

Scholium в сообщении #308045 писал(а):

А он удовлетворен интерпретацией КМ? Его устраивает понятие частица-волна, ненормируемая ПРВ, неопределенность физического смысла пси функции, непонятки с волной Де Бройля и волновым пакетом? Почему он сопротивляется? Ему неинтересно или по другим причинам?

Он не считает себя специалистом в КМ (хотя на мой взгляд это не так). Но самое главное, просто не может разорваться. Много сил отняла книга, да и сейчас "висят" много незавершенных и интересных задач. Кроме того, он считает, что в этом направлении мало шансов получить нечто интересное и нетривиальное. Короче, трудно расшевелить.. Хорошо еще хоть в таком начальном виде дело сделал. (Сейчас займусь сканированием обещанной статьи и ее посылкой.)

Scholium в сообщении #308045 писал(а):

Если я правильно понимаю смысл h-аналитических функций, то они если и начнут работать, то на этапе решения квантового уравнения Шредигера (УрШ), а не на этапе обоснования волны Де Бройля либо волнового пакета. А в УрШе мы должны выяснить смысл пси-функции, либо воспользоваться идеей Д. Бома о разложении квантового уравнения на действительные компоненты (ПРВ и фазовую функцию – действие). Причем от фазовой функции попытаться отказаться. Ну и решить проблему волна-частица (я предлагаю путем отказа от волны и введения идеи стохастичности).

Полагаю, что пока еще не совсем правильно понимаете h-аналитические функции. Им, скорее, соответствует не уравнение Шредингера (которое в определенном смысле можно рассматривать как аналог уравнения Пуассона), а квантовомеханический аналог уравнения Лапласа (для псевдоевклидовой плоскости лучше говорить об уравнении Даламбера). Можно конечно сказать, что это тот же Пуассон, только с нулевой правой частью. В соответствующих самим h-аналитическим функциям релятивистских состояниях как бы нет диссипации энергии. Если есть желание такую диссипацию в рассмотрение ввести, нужно обратиться уже не к h-аналитическим функциям, а к функциям с нарушенной аналитичностью. В книге ЛШ есть много примеров как похожая диссипация вводится на комплексной плоскости. Но этим направлением, на мой взгляд, лучше заниматься не ранее, чем досканально все встанет на свои места в более простых аналитических, вернее, h-аналитических случаях. Впрочем, я могу и ошибаться, КМ для меня слишком темный леc.

Scholium в сообщении #308045 писал(а):

Если мы обоснуем понятие волнового пакета (от плоской волны, скорее всего, придется отказаться), то можно пытаться решать математическую задачу дифракции для стохастического блуждания двух частиц через две щели. Объединенная ПРВ должна по идее дать интерференционную картину для индивидуальных ПРВ этих частиц. Помогут тут нам двойные числа или нет, я пока не знаю, но об их потенциале можно постоянно иметь в виду.

Что касается меня, то двумя руками "за" на счет желательности постоянно иметь ввиду двойные числа и функции от них. Они слишком естетсвенны и просты, что бы обманывать. :) Если удается выстраивать физическую модель предназначенную для двумерного пространства-времени в тесном соответствии с ними, тем лучше для самой модели..

[Scholium]

Time писал(а):

Один мой друг и коллега по работам с двойными числами ведет у себя в городе физмат школу. Он попробовал давать специальную теорию относительности именно в привязке к двойным числам. Школьники были в восторге, так как все получается очень просто и понятно. Я также воспринимаю СТО и ее возможные расширения на бесконечномерные группы нелинейных конформных преобразований (в квадратичной геометрии такое возможно только в двумерном пространстве-времени) именно через призму двойных чисел и их h-аналитических функций.
Обозначение действительно непринципиально.

Как факт это очень интересно. Я бы почитал этот материал. Однако я привык доверять своей научной интуиции, если так можно выразиться. В СТО я готов начать с анализа и обоснования ее постулатов. Чувствую я в них что-то «левое» :) .

Time писал(а):

Полагаю, что ЛШ правы, когда так пишут, но лишь на половину. А именно, что теория h-аналитических функций крайне проста. Эта простота становится очевидной при переходе в базис из изотропных векторов, когда компоненты h-аналитической функции превращаются в пару произвольных аналитических функций от одной действительной переменной каждая. Проще, что называется, некуда.

Ну, да. ЛШ пишут, что теория $h$-аналитических функций не так глубока, как теория обычных аналитических функций. И действительно, в изотропном базисе имеет место общее представление этих функций в виде:

$F_{(h)}(\xi, \zeta)=\varphi(\xi)+\psi(\zeta)+j(\varphi(\xi)-\psi(\zeta))$,

где

$\varphi(\xi)$ и $\psi(\zeta)$ – произвольные действительные дифференцируемые функции одного переменного;
$j^2=1$.

Однако вроде как все элементарные аналитические функции также $h$-аналитичны, что позволяет надеяться на достаточно широкий класс таких функций.

Time писал(а):

Однако они не правы, когда считают, что аналитические функции обычной комплексной переменной хоть немного сложнее. Они совершенно равнозначны h-аналитическим функциям, и разница лишь в том, что на комплексной плоскости нет вещественного изотропного базиса, в котором ту можно было бы разложить на две функции от одной действительной переменной каждая. Однако можно либо ввести такой базис как чисто мнимый, либо просто установив взаимооднозначное соответствие с h-аналитическими функциями двойной переменной. Такую работу мы с Гарасько проделали. Все получается красиво и однозначно. Конечно, немного жалко сознавать, что комплексные числа и аналитические функции от них оказались ничем не сложнее h-аналитических, зато паритет двух теорий почти полностью восстановился.

Вот! А это уже интересно! Относительно существования мнимого изотропного базиса. И про взаимно-однозначное соответствие также интересно. Вы можете сослаться на Ваши работы?

Time писал(а):

К тому же, похоже, ЛШ не знали, что на плоскости двойной переменной работают аналоги практически всех теорем ТФКП (думаю даже, что абсолютно всех). В частности, теорем Коши, Стокса, Остроградского и пр. Недавно, наконец, и с аналогом интегральной формулы Коши разобрались. Все не менее красиво и логично, чем в ТФКП..

Да Вы гении, скажем скромно :) ! Это были бы превосходные результаты!

Time писал(а):

Что касается применений h-аналитических функций двойной переменной лишь к качественным картинам сверхзвуковых течений, тут Вы не правы. Даже у ЛШ есть оговорка мельком, что эти функции можно было бы рассматривать как конформные отображения на плоскости с псевдоевклидовой метрикой, то есть, в двумерном пространстве времени. Однако они тут же одергивают себя и говорят, что не станут развивать мысль в этом направлении, а лучше рассмотрят иную интерпретацию. А именно, как двух встречных волн с профилем в виде аналитических функций от одной вещественной переменной каждая, распространяющихся со световой скоростью. Да, такая интерпретация действительно имеет место. Но интерпретация как нелинейного двумерного поля в пространстве-времени - на много более интересная и далекоидущая. Я теперь понимаю, почему они не стали развивать идею второго варианта и ограничились одним. В противном случае им бы пришлось говорить о конформных расширениях двумерной СТО, а это хоть и не дискредитирует последнюю, но все равно могло бы кем-то рассматриваться как наезд. В те времена такое вряд ли приветствовалось бы..
Если Вы хотите почувствовать, в чем прелесть этой второй, то есть, полевой интерпретации h-аналитических функций, то откройте 9 страницу этой темы ( topic27715-120.html ), там в самом низу рассмотрен пример логарифмов в обычных комплексных числах и в двойных. Попробуйте найти, как говорится, хотя бы пару отличий (кроме естественных отличий в метрике).
Квазиконформные давайте пока трогать не будем. Иначе только запутаемся..

Я также обратил внимание, что ЛШ пишут, что $h$-аналитичность можно интерпретировать как конформность в специальной «гиперболической» метрике. Жаль, что они не пошли по этому пути. Я посмотрел указанную Вами страницу, Действительно, это стоит развивать и применять в физических приложениях. Логично заодно разобраться с параболической аналитичностью (p-аналитичностью?) Чем она хороша или плоха? Я вот думаю, эллиптичность, гиперболичность, параболичность. Это все кривые второго порядка и видимо следствие квадратичной метрики. А в пространствах с неквадратичной метрикой должны быть собственная подобная классификация?

Time писал(а):

Нужно идти по всем возможным направлениям. Что мы и стараемся делать, но у нас пока мало специалистов по КМ, да и классическая теория поля представляется несколько более наглядной и простой. Кроме того, с двойными числами связана геометрия двумерного псевдоевклидова пространства времени, а оно именно что релятивистски инвариантное. Если хотите начинать с нерелятивистской механики (хоть квантовой, хоть обычной), то для них более естественными являются параболические (дуальные) числа.

Пожалуй, можно начать с КМ и затем двигаться дальше. Вы сами намекаете про изоморфность всех комплексных чисел между собой p-, e- и h-типа, соответственно параболических, эллиптических и гиперболических, однако для разных моделей есть свои предпочтения. Вот и будем анализировать на этих моделях тех или иные поличисла.

Time писал(а):

Он не считает себя специалистом в КМ (хотя на мой взгляд это не так). Но самое главное, просто не может разорваться. Много сил отняла книга, да и сейчас "висят" много незавершенных и интересных задач. Кроме того, он считает, что в этом направлении мало шансов получить нечто интересное и нетривиальное. Короче, трудно расшевелить.. Хорошо еще хоть в таком начальном виде дело сделал.

Я тоже думаю, что он зря скромничает. Как сказал Ричард Фейнман, квантовую механику не понимает никто! Отчасти это из-за из за лишней ее заформализованности. Вместо традиционной «волны-частицы» можно рассматривать две концепции: 1) нет волн, одни частицы и 2) нет частиц, одни волны. Первая – идея квантовой стохастичности, а вторая, эта идея эфира или физического вакуума как упругой безмассовой среды. Кроме этого, я бы не противопоставлял материю (частицы) и пространство (пустоту или отсутствие частиц). Похоже это одна и та же субстанция в разных состояниях. А вот время я считаю особой сущностью. Моя интуиция категорически против геометризации времени. Предполагаю, что кроме «внутреннего» времени (одномерного) существует еще независимое «внешнее» время, также одномерное. Другие размерности времени под очень большим вопросом. Так что разработка даже этих концепций может быть весьма интересна.

Time писал(а):

(Сейчас займусь сканированием обещанной статьи и ее посылкой.)

Рецензию я Вам вчера выслал. Вы ее получили?