2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Первообразные
Сообщение21.12.2009, 10:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sonic86 в сообщении #273692 писал(а):
Ладно, блин, $x=a \sin t$. Число $a$ хотя бы подберите сами.

Какой-такой синус?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение21.12.2009, 11:05 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
ewert писал(а):
Какой-такой синус?...

Ой, блин, гоню-гоню уже... :oops: извините. Там действительно секанс нужен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение21.12.2009, 12:00 


21/12/09
5
Замена $x=asint$ или $x=acost$ была бы применима в случае $\sqrt{a^2-x^2}$ в знаменателе.
В данном случае, действительно, нужен секанс или косеканс.
Т.е. $x=\frac{\sqrt2}{cost}$, тогда $dx=\frac{\sqrt2sint}{cos^2t}dt$ и
$\int=\int{\frac{\frac{2\sqrt2sint}{cos^4t}}{\sqrt2\sqrt{\frac{1}{cos^2t}-1}}}dt$ $=2\int{\frac{\frac{sint}{cos^4t}}{\frac{sint}{cost}}}dt$ $=2\int{\frac1{cos^3t}}dt$ $=2\int{\frac{d(sint)}{cos^4t}}dt$ $=2\int{\frac{d(sint)}{(1-sin^2t)^2}}dt$
Еще замена: $p=sint$
$=2\int{\frac{dp}{(1-p^2)^2}}$ $=2\int{\frac{dp}{(1-p)^2(1+p)^2}}$ $=\frac12\int{(\frac{1}{1-p}+\frac{1}{(1-p)^2}+\frac{1}{1+p}+\frac{1}{(1+p)^2})}dp$ $=\frac12ln|\frac{1+p}{1-p}|+\frac12(\frac{1}{1-p}+\frac{1}{1+p})+c$ $=\frac12ln\frac{1+sint}{1-sint}+\frac{1}{1-sin^2t}+c$ $=ln\frac{cost}{1-sint}+\frac{1}{cos^2t}+c$ $=ln\frac{cos(\frac{1}{\sqrt2}arcsinx)}{1-sin(\frac{1}{\sqrt2}arcsinx)}+\frac{1}{cos^2(\frac{1}{\sqrt2}arcsinx)}+c$
По-моему так)

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение21.12.2009, 20:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А ещё гораздо разумнее -- заменить на гиперболический косинус. Впрочем, "доктор сказал в морг -- значить в морг", в смысле именно тригонометрично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение21.12.2009, 21:25 
Аватара пользователя


21/04/09
195
ToJluK
не сходиться с ответом =(

Вот я тоже прихожу к $\int\frac{2dt}{\cos^3(t)}$. Но я пока не представляю как из него сделать $\frac{x}{2}\sqrt{x^2 - 2} + \ln|x + \sqrt{x^2 - 2}|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение22.12.2009, 04:40 
Аватара пользователя


21/04/09
195
хы помогла подстановка $x=\frac{\sqrt{2}}{\cos(2t)}$
вроде бы тоже самое, но почему то выглядит более очевиднее...

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение23.12.2009, 01:43 


21/12/09
5
Да, потерял я один минус и обратный переход сделал вообще не правильно, там
получается $t=arccos\frac{\sqrt2}{x}$. Но ответ все равно не совсем такой:
$$ln\frac{1}{\sqrt2}(x+\sqrt{x^2-2})+\frac{x}{2}\sqrt{x^2-2}+c$$
надо еще что-то с $\sqrt2$ сделать))

-- Ср дек 23, 2009 03:45:45 --

Но решение так или иначе слишком длинное; интересно было бы увидеть
гиперболическую подстановку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение23.12.2009, 07:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ToJluK в сообщении #274278 писал(а):
надо еще что-то с $\sqrt2$ сделать))

Надо его выкинуть -- это (после вынесения из-под логарифма) аддитивная постоянная.

Гиперболическая -- очень просто: $x=\sqrt2\ch t$, $x^2-2=2\sh^2t$, $dx=2\sh t\,dt$, получится $\int2\ch^2t\,dt=\int(1+\ch2t)dt$ и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group