Первообразные

[ewert]

Sonic86 в сообщении #273692 писал(а):

Ладно, блин, $x=a \sin t$. Число $a$ хотя бы подберите сами.

Какой-такой синус?...

[Sonic86]

ewert писал(а):

Какой-такой синус?...

Ой, блин, гоню-гоню уже... извините. Там действительно секанс нужен.

[ToJluK]

Замена $x=asint$ или $x=acost$ была бы применима в случае $\sqrt{a^2-x^2}$ в знаменателе.
В данном случае, действительно, нужен секанс или косеканс.
Т.е. $x=\frac{\sqrt2}{cost}$, тогда $dx=\frac{\sqrt2sint}{cos^2t}dt$ и
$\int=\int{\frac{\frac{2\sqrt2sint}{cos^4t}}{\sqrt2\sqrt{\frac{1}{cos^2t}-1}}}dt$ $=2\int{\frac{\frac{sint}{cos^4t}}{\frac{sint}{cost}}}dt$ $=2\int{\frac1{cos^3t}}dt$ $=2\int{\frac{d(sint)}{cos^4t}}dt$ $=2\int{\frac{d(sint)}{(1-sin^2t)^2}}dt$
Еще замена: $p=sint$
$=2\int{\frac{dp}{(1-p^2)^2}}$ $=2\int{\frac{dp}{(1-p)^2(1+p)^2}}$ $=\frac12\int{(\frac{1}{1-p}+\frac{1}{(1-p)^2}+\frac{1}{1+p}+\frac{1}{(1+p)^2})}dp$ $=\frac12ln|\frac{1+p}{1-p}|+\frac12(\frac{1}{1-p}+\frac{1}{1+p})+c$ $=\frac12ln\frac{1+sint}{1-sint}+\frac{1}{1-sin^2t}+c$ $=ln\frac{cost}{1-sint}+\frac{1}{cos^2t}+c$ $=ln\frac{cos(\frac{1}{\sqrt2}arcsinx)}{1-sin(\frac{1}{\sqrt2}arcsinx)}+\frac{1}{cos^2(\frac{1}{\sqrt2}arcsinx)}+c$
По-моему так)

[ewert]

А ещё гораздо разумнее -- заменить на гиперболический косинус. Впрочем, "доктор сказал в морг -- значить в морг", в смысле именно тригонометрично.

[ИС]

ToJluK
не сходиться с ответом =(

Вот я тоже прихожу к $\int\frac{2dt}{\cos^3(t)}$. Но я пока не представляю как из него сделать $\frac{x}{2}\sqrt{x^2 - 2} + \ln|x + \sqrt{x^2 - 2}|$

[ИС]

хы помогла подстановка $x=\frac{\sqrt{2}}{\cos(2t)}$
вроде бы тоже самое, но почему то выглядит более очевиднее...

[ToJluK]

Да, потерял я один минус и обратный переход сделал вообще не правильно, там
получается $t=arccos\frac{\sqrt2}{x}$. Но ответ все равно не совсем такой:

$$ln\frac{1}{\sqrt2}(x+\sqrt{x^2-2})+\frac{x}{2}\sqrt{x^2-2}+c$$

надо еще что-то с $\sqrt2$ сделать))

-- Ср дек 23, 2009 03:45:45 --

Но решение так или иначе слишком длинное; интересно было бы увидеть
гиперболическую подстановку.

[ewert]

ToJluK в сообщении #274278 писал(а):

надо еще что-то с $\sqrt2$ сделать))

Надо его выкинуть -- это (после вынесения из-под логарифма) аддитивная постоянная.

Гиперболическая -- очень просто: $x=\sqrt2\ch t$, $x^2-2=2\sh^2t$, $dx=2\sh t\,dt$, получится $\int2\ch^2t\,dt=\int(1+\ch2t)dt$ и т.д.