Первообразные

[ИС]

Применя подходящую подстановку найти

$$ \int (x^2 \sqrt[3]{1-x}) dx $$

Что значит применяя подходящую подстановку? я должен представть что х это какая-то функция f(t) ?... что здесь за подстановка должна быть?

[ИСН]

Не раздумывая: $t=\sqrt[3]{1-x}$ превратит это в интеграл от рациональной функции, а те берутся всегда.

[ИС]

еще раз ) метод замены переменной и метод подстановки это одно и то же?

[gris]

Замена и подстановка это одно и то же. Можно, наверное, проследить историю этого термина и определить какие-то особые признаки "подстановки" и "замены", но это совершенно несущественно. Например, Зорич использует оба термина, причём к одним и тем же преобразованиям.
Замена переменной звучит более корректно. "Подстановка" более технична. К тому же есть ряд устойчивых словосочетаний "подстановка Эйлера", "универсальная тригонометрическая подстановка".
Это как многочлен и полином.

[ИСН]

Как гиппопотам и бегемот.

[ИС]

применяя тригонометрическую подстановку найти интеграл

$$\int\frac{x^2 dx}{\sqrt{x^2 - 2}}$$

без идей =(

-- Пн дек 21, 2009 06:24:16 --

найти интеграл методом разложения

$$\int\frac{dx}{1+e^x}$$

[Sonic86]

ИС писал(а):

без идей =(

У Вас в знаменателе выражение $\sqrt{x^2-a^2}$. С помощью какой тригонометрической подстановки это выражение упрощается?

-- Пн дек 21, 2009 09:43:19 --

ИС писал(а):

найти интеграл методом разложения

В смысле в ряд разложить? Ну тогда используйте ряд геометрической прогрессии.

[ИС]

Sonic86 в сообщении #273663 писал(а):

С помощью какой тригонометрической подстановки это выражение упрощается?

Тоже без идей..

Sonic86 в сообщении #273663 писал(а):

В смысле в ряд разложить?

В смысле был один интеграл, а его нужно представить в виде суммы "более прсотых", которые можно легко найти.

[Sonic86]

ИС писал(а):

Тоже без идей..

А $\sin x = \sqrt{1- \cos ^2 x}$ ничего не напоминает?

ИС писал(а):

В смысле был один интеграл, а его нужно представить в виде суммы "более прсотых", которые можно легко найти.

Ну тут, честно говоря, этот интеграл можно сразу взять... Если сделать понятно какую подстановку, получится дробно-рациональная функция, ее можно разложить уже на простые дроби...

[ИС]

Sonic86 в сообщении #273675 писал(а):

ничего не напоминает?

никаких ассоциаций с исходным примером =(

Sonic86 в сообщении #273675 писал(а):

... Если сделать понятно какую подстановку

Какую? )

[ewert]

Не надо ничего раскладывать. Домножьте числитель и знаменатель на $e^{-x}$.

[ИС]

ewert
Есть! Усёк =)

А что с предыдущим?

[ewert]

$\displaystyle\left({a\over\cos x}\right)^2-a^2=a^2\tg^2x$

[ИС]

Хм.. А как с помощью этого справиться с

$$\int\frac{x^2 dx}{\sqrt{x^2 - 2}}$$

???
не понимаю =(

[Sonic86]

ИС писал(а):

не понимаю =(

Вы точно не прикалываетесь?
Ладно, блин, $x=a \sin t$. Число $a$ хотя бы подберите сами.