2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Первообразные
Сообщение31.10.2009, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
$\sqrt{1+ x^2}$ сойдёт за новую переменную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение02.11.2009, 16:07 
Аватара пользователя


21/04/09
195
Методом интегрирования по частам
$$\int \left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 dx $$

кого обозвать u, кого v если

$\int u dv = u v - \int v du $

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение02.11.2009, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Use \left(...\right), во-первых. Upd. Да, вот так.
А так, ну, допустим... пусть $dx\over x^2$ будет нашим $dv$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение02.11.2009, 16:25 
Аватара пользователя


21/04/09
195
а тогда

$$v = \int \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{x} + 2 \int \frac{dx}{x^2}$$
$$  v = \int \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x}+c $$
???

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение02.11.2009, 17:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Вообще тут принцип такой. Один сомножитель должен интегрироваться, а другой дифференцироваться так, чтобы в результате выражение упростилось. В смысле приблизилось к интегрируемому виду. Иногда и три раза по частям приходится.
Здесь шесть вариантов разбиения выражения на сомножители.
Логарифм интегрировать мерзопакостно. Его дифференцировать хорошо.
Значит интегрируем $\dfrac{dx}{x^2}$, что Вы и сделали во второй строке. Только можно без С. (Иногда оно нужно бывает!) И под интегралом остался логарифм уже в первой степени. Повторяем процедуру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение02.11.2009, 19:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #257618 писал(а):
Только можно без С. (Иногда оно нужно бывает!)

Никогда -- ежели речь именно про интегрирование по частям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение03.11.2009, 09:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Я имею в виду, что иногда бывает удобнее в качестве $v$ взять табличную первообразную с ненулевой аддитивной константой. Для меня это пример, который я на форуме и увидел:
$\int 2x\arctg x dx=\left|u=\arctg x; dv=2xdx;du=\dfrac{dx}{x^2+1};v=x^2+1\right|=$
$=(x^2+1)\arctg x-\int \dfrac{x^2+1}{x^2+1} dx=(x^2+1)\arctg x-x+C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение04.11.2009, 22:34 
Аватара пользователя


21/04/09
195
применяя метод разложения

$$ \int\frac{1+x}{1-x}dx $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение04.11.2009, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
тут не раскладывать, а в столбик делить с остатком. как всегда, если степень многочлена в числителе не меньше степени в знаменателе

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение04.11.2009, 22:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
или тупо взять знаменатель за новую переменную, пользуясь его предупредительной линейностью

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение04.11.2009, 23:00 
Аватара пользователя


21/04/09
195
есть! спаибо болььшое!

-- Чт ноя 05, 2009 00:03:57 --

А вот такое вот методом разложения?
$$\int\frac{x^2}{(1-x)^{100}}dx$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение05.11.2009, 00:26 
Аватара пользователя


21/04/09
195
Разобрался =) и с последним )

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение06.11.2009, 02:28 
Аватара пользователя


21/04/09
195
методом разложения.
1)$$\int\frac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$$
2)умножаю числитель и знаменатель на
$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$$

3) из 1) и 2)
$$\int\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} }{2x}dx  = \int\frac{\sqrt{x+1}}{2x}dx - \int\frac{\sqrt{x-1}}{2x}dx$$
4) $$\int\frac{\sqrt{x+1}}{2x}dx = \int\frac{x+1}{2x \sqrt{x+1}}dx  $$
5) $$k = \sqrt{x+1}; dk = \frac{dx}{2\sqrt{x+1}}.$$
6) из 5) и 4)
$$ \int\frac{k^2dk}{(k^2 - 1)} = \int dk + \int\frac{dk}{k^2 - 1} = \sqrt{x+1} - \frac12 \ln \left|\frac{1+\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}\right|+C$$
тут где-то должна быть ошибка... никак не найду (((

к этому примеру правильный ответ $\frac{1}{3}\left((x+1)^{\frac{3}{2}}-(x-1)^{\frac{3}{2}}\right)$ ???

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение06.11.2009, 02:37 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Стесняюсь спросить: а $x$ в знаменателе 3) откуда взялся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первообразные
Сообщение06.11.2009, 02:54 
Аватара пользователя


21/04/09
195
:?
АААААААААА!!!! ((((((((
спс, дальше все понятно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group