Школьный диффгем?

[id]

Цитата:

Космонавт находится на краю конического кратера и должен попасть в диаметрально противоположную точку. Если он пойдет "по диаметру" ( проходя через центр кратера ), то пройдет $2000$ м, если по краю кратера - то $2000 \frac {\pi} 3$ м. Найти длину кратчайшего пути.

Задача школьная, и, ясно, что у нее есть "регулярное" решение, с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа. ( до ума не доводил, но, видимо, надо перейти к полярным координатам, минимизируя длину кривой в первой четверти. Функционал будет что-то вроде $J(r) = \int\limits_{0}^{\frac {\pi} 2} \sqrt {r^2(\phi) + (\alpha r'(\phi))^2} d\phi$ c условиями $r(0)=R, \ r'(\frac {\pi} 2)=0$. Получается уравнение второго порядка на $r$, которое заменой $g(\phi) = \frac 1 {r(\phi)}$ сводится к линейному второго порядка с постоянными коэффициентами, которое уже решается ).


Собственно, предлагаю найти
а) школьное решение
б) просто для проверки сравнить с "регулярным"

[gris]

А развертку сделать?

[Mathusic]

gris в сообщении #263268 писал(а):

А развертку сделать?

Да, стандартная идея. Только я наверное условия не понимаю, разве путь через диаметр - не отрезок??

[id]

Mathusic
Для конуса этот путь - сумма двух образующих, объединение проекций которых на основание - это и есть отрезок.
Альтернативный - по дуге основания в $\pi$.

Космонавт ведь идет по дну кратера как-никак.

[gris]

А я склеил конус из бумаги и натянул резиночку по его внешней стороне. Она же тоже по кратчайшему пути ляжет? С учётом масштаба у меня получилось 1732 м 5 см.

[vvvv]

Конечно, проще всего сделать развертку и затем на дуге окружности провести хорду (прямую), соединив проивоположные точки кратера.
Если развертку свернуть в конус, то хорда превратится в геодезическую т.е.в кратчайшую

[ewert]

Кто-то чего-то тут на этот счёт уже гуторил...

gris в сообщении #263268 писал(а):

А развертку сделать?

[gris]

Да все, наверное, помнят задачу о мухе, которая ползала по резиновой ленте кубу. Кстати, в задаче вовсе необязательно говорить про противоположные точки. Достаточно длины пути через центр, откуда узнаём радиус развёртки, и длины пути по краю, откуда узнаём градусную меру дуги. А потом теорема косинусов. Находим длину хорды. А вот интересно, эта геодезическая не лежит в плоскости?

Но интерес-то был в том, чтобы решить с помощью интегралов и сравнить.

Увидел vvvv и обрадовался, что картинка будет. Однако ж нет.

[vvvv]

Это известная задача. А рисовать-то тут нечего, что разве саму геодезическую на конусе.

[ewert]

gris в сообщении #263732 писал(а):

задачу о мухе, которая ползала по кубу.

Не помню, была ли тут такая задача; на всякий случай напомню.

Разрезать тетраэдр в плоскую развёртку так, чтобы суммарная длина разрезов была минимальной.

[worm2]

ewert писал(а):

Разрезать тетраэдр в плоскую развёртку так, чтобы суммарная длина разрезов была минимальной.

У меня получился разрез длиной $\sqrt{3}+1$ для тетраэдра с ребром 1: разрезал одно ребро и от его середины сделал прямые разрезы до остальных двух вершин. Проверять минимальность пока не умею

[ewert]

worm2 в сообщении #264073 писал(а):

У меня получился разрез длиной $\sqrt{3}+1$ для тетраэдра с ребром 1: разрезал одно ребро и от его середины сделал прямые разрезы до остальных двух вершин. Проверять минимальность пока не умею

Нет, это не минимум.

[worm2]

Да, вроде существует разрез с меньшей длиной $\frac{\sqrt{21}+\sqrt{78}+6\sqrt{7}}{11}$, и это, имхо, более подходящий вариант на роль минимума (доказывать по-прежнему не умею, но уверенности уже больше). Я мог наврать в формуле [upd: и наврал ], она получается из решения задачи о точке Ферма для половинки равностороннего треугольника. Оно?

[ewert]

Да, в конце концов -- оно, только ответ там, кажется, гораздо проще (я наизусть не помню).

--------------------------------------------------
а, ну да, пересчитал, получается вроде как просто $\sqrt{7}$ (это -- длина разрезов по всему тетраэдру, а не по половинке)

[worm2]

Да, действительно, $\sqrt{7}$. Вычислений много, а результат простой