2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение21.11.2009, 14:28 
Заслуженный участник


11/05/08
31587
worm2 в сообщении #264086 писал(а):
Вычислений много, а результат простой :)

Как это так много.

Пусть $a,b,c$ -- это расстояния от той точки до вершин прямоугольного треугольника (т.е. половинки равностороннего). По теоремам косинусов

$a^2+b^2+ab=1;$
$a^2+c^2+ac={1\over4};$
$b^2+c^2+bc={3\over4}.$

Теперь складываем площади маленьких треугольничков в целый прямоугольный:

${1\over2}(ab+ac+bc)\cdot{\sqrt3\over2}={\sqrt3\over8}.$

Соответственно,

$2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+ac+bc)={7\over2}=2(a+b+c)^2,$

вот и всё.

Для развлечения -- та же задачка, но для куба. (Там ответ, насколько помню, несколько неожиданный.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение21.11.2009, 17:29 
Заблокирован


19/09/08

754
gris в сообщении #263500 писал(а):
А я склеил конус из бумаги и натянул резиночку по его внешней стороне. Она же тоже по кратчайшему пути ляжет? С учётом масштаба у меня получилось 1732 м 5 см.

gris, а у Вас достаточно точно получился ответ :) Любая хорда на развертке кратера, стягивающая центральный угол (2/3)*pi,
будет кратчайшим расстоянием.
см.картинку
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение21.11.2009, 17:48 
Заслуженный участник


11/05/08
31587
а чего там смотреть, там на картинке нету решительно ни одной хорды, да и сектор там нарисован явно не тот, что нужен для решения (он непонятно с какой стати удвоен)

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение21.11.2009, 17:56 
Заблокирован


19/09/08

754
ewert в сообщении #264166 писал(а):
а чего там смотреть, там на картинке нету решительно ни одной хорды, да и сектор там нарисован явно не тот, что нужен для решения (он непонятно с какой стати удвоен)

Соедините точки, отмеченные на развертке и получите хорду (одну).Как провести тысячу хорд, думаю, Вы сообразите.
Развертка именно та.Если не та - покажите ту.
И ответ совпадет с тем, что gris нашел эксперементально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение21.11.2009, 18:07 
Заслуженный участник


11/05/08
31587
Там плохо видны точки (я даже и не пытался все их отыскать), но дело даже не в этом. Кратчайшее расстояние -- по определению является кратчайшим. Следовательно, рисовать следует -- половину развёртки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение21.11.2009, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13479
Самое удивительное, что кратчайший путь не меняется, если основание конуса слегка сжать. (Правда, это уже не та задача.) Просто я своём эксперименте для повышения точности сделал 60 замеров, а потом взял среднее. А для того, чтобы не было систематических ошибок, я каждый раз устанавливал конус по новому. Один раз я случайно сжал основание, но положение резинки не изменилось.
Я с детства обожаю, когда результаты практических экспериментов совпадают с теоретическими расчётами. Один раз даже натягивал нитку из противоположных углов комнаты для проверки длины диагонали параллелепипеда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение21.11.2009, 18:45 
Заслуженный участник


11/05/08
31587
gris в сообщении #264187 писал(а):
Один раз я случайно сжал основание, но положение резинки не изменилось.

Это потому, что масло высохло, а добавить его Вы забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение21.11.2009, 18:51 
Заблокирован


19/09/08

754
gris в сообщении #264187 писал(а):
Самое удивительное, что кратчайший путь не меняется, если основание конуса слегка сжать. (Правда, это уже не та задача.) Просто я своём эксперименте для повышения точности сделал 60 замеров, а потом взял среднее. А для того, чтобы не было систематических ошибок, я каждый раз устанавливал конус по новому. Один раз я случайно сжал основание, но положение резинки не изменилось.
Я с детства обожаю, когда результаты практических экспериментов совпадают с теоретическими расчётами. Один раз даже натягивал нитку из противоположных углов комнаты для проверки длины диагонали параллелепипеда.

gris, Вы хороший экпериментатор - на такой простой модели достичь шесть точных знаков.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение21.11.2009, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13479
самое интересное, что точность каждого отдельного измерения не превышала 0,05 мм (я использовал обычный штангенциркуль), то есть 5 см с учётом масштаба, но при 60 измерениях вероятность ошибки больше 0,5 см составляет менее 1%. Так что в шести знаках нет ничего удивительного. Обычная статистика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение22.11.2009, 23:36 
Заблокирован


19/09/08

754
А вот кратер с геодезической :)
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение23.11.2009, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13479
Наконец-то. Если перевернуть, то как раз и получится мой конус. Только он матово-белый.
А меня всё же мучает вопрос - эта геодезическая будет располагаться в плоскости, перпендикулярной образующей конуса, проходящей через середину дуги? И есть ли в этом какой-то смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение23.11.2009, 15:19 
Заслуженный участник


11/05/08
31587
gris в сообщении #264572 писал(а):
А меня всё же мучает вопрос - эта геодезическая будет располагаться в плоскости, перпендикулярной образующей конуса, проходящей через середину дуги?

Конечно, нет. Плоским сечением мог бы быть, например, эллипс (если конус достаточно узкий). Однако: продолжите эту линию назад до противоположной образующей так, чтобы обе ветви встретились. Ну так они встретятся там под ненулевым углом -- какой уж там эллипс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение23.11.2009, 20:43 
Заблокирован


19/09/08

754
Геодезическая на конусе не будет плоской кривой.Но геодезическая обладает тем свойство, что нормаль к кривой в каждой точке является
нормалью к поверхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение24.11.2009, 06:15 


02/11/08
1180
Problem 262
30 October 2009
http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=262 - тут кратер поинтересней, и края разной высоты и область ограничена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный диффгем?
Сообщение25.11.2009, 06:49 


02/11/08
1180
А для единичного куба длину разреза можно сделать меньше, чем $12a+3$, $a={\sqrt3\over6}$ ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group