А теперь после подстановки 3° в 1°, затем разложения биномов Ньютона и объединения подобных членов мы видим, что последний член разложения –
6°)

оказывается и положительным, и САМЫМ длинным по числу цифр, а величины предыдущих членов оказывается недостаточными для онуления этого (последнего) члена.
При этом обнаруживаются и другие нтересные вещи. Так, похоже,

.
Поправка:
...последний член разложения –
6°)

...
где простое


Специально для тех, кто хочет считать только до трех.
=============
Завершая большой материал для публикации, я обнаружил, что небольшая модификация идеи приводит, при доказанности используемых инструментов, к краткому доказательству ВТФ.
***
Рассмотрим числа

в равенстве
1°)

,
где простое

, в базе

.
Поскольку основание

является, как легко видеть, взаимнопростым с числами

, то в базе

существует такая цифра

, что умножение числа

на

– соответственно и равенства 1° на

– превращает последнюю цифру числа
2°)

, где

– последние цифры чисел

в базе

, в

.
После этого умножим число

на такое число

, что окончание числа

на длине, превышающей длину значимой части числа

, станет равным

.
И теперь на этой длине мы получаем, по-видимому, противоречивое равенство:
3°)

(при положительных и не равных

).
Работа продолжается.
Работа продолжается.
Есть небольшая путаница, но она будет устранена.
ВТФ. Текст, близкий к завершению ***
Рассмотрим наименьшее (по числу

) равенство
1°)

,
где простое

и

, в базе

:
2°)

.
Запишем равенство 1° (после раскрытия биномов Ньютона) в виде
3°)

.
А теперь с помощью умножения равенства 1° на соответствующие числа

начнем последовательно онулять цифры в числе

на длину, превышающую длину числа

.
И теперь на этой длине мы получаем новое равенство Ферма
4°)

с МЕНЬШИМ числом

,
что противоречит условию.
Покажем, что процесс онуления возможен.
(Окончание следует)
Специально для «троечников»
***
ВТФ. Текст, близкий к завершению
Рассмотрим наименьшее (по числу

) равенство
1°)

,
где простое

и

, в базе

:
2°)

.
Запишем равенство 1° в виде
3°)

.
А теперь с помощью умножения равенства 1° на соответствующие числа

начнем последовательно онулять цифры в числе

на длину, превышающую длину числа

.
И теперь на этой длине мы получаем новое равенство Ферма
4°)

с МЕНЬШИМ числом

,
что противоречит условию.
=============================
Покажем, что процесс онуления возможен.
Введем обозначения:

–

-я цифра от конца в числе

;

– последняя цифра числа

;
![$d_{i]}$ $d_{i]}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/e/21e77ed1d6f16135bf6a7ad8489060fe82.png)
–

-значное окончание числа

.

– часть числа

, полученная отбрасыванием

-значного окончания.
Нам достаточно рассмотреть преобразование лишь второй цифры

числа

, причем учитывая лишь двузначные окончания чисел в базе

.
Итак, в числе

с помощью умножения числа

на

требуется преобразовать цифру

в

.
По двузначным окончаниям равенство 1° выглядит так:
5°)
![$[(a+(mP)_2)^3+(b+(mQ)_2)^3-(c+(mR)_2)^3]_{2]}= $ $[(a+(mP)_2)^3+(b+(mQ)_2)^3-(c+(mR)_2)^3]_{2]}= $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/5/97515762c431c1b8d76e71912fad2b6d82.png)
![$=[(a^3+b^3-c^3)+3m(a^{3-1}P+b^{3-1}Q-c^{3-1}R)]_{2]}=$ $=[(a^3+b^3-c^3)+3m(a^{3-1}P+b^{3-1}Q-c^{3-1}R)]_{2]}=$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/a/98a543d72731180048092e0c9193f9a182.png)
.
![$=/[(a^3+b^3-c^3)]_{2]}+[3m(a^{3-1}P+b^{3-1}Q-c^{3-1}R)]_{2]}/_{2]}=0$ $=/[(a^3+b^3-c^3)]_{2]}+[3m(a^{3-1}P+b^{3-1}Q-c^{3-1}R)]_{2]}/_{2]}=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/2/6f20ea274c59a21e2cfb1a048230dd6f82.png)
.
Отсюда видно, что нам нужно умножить число

на такое число

, чтобы ко второй цифре в 5°, в последней строке, прибавилась цифра
![$/m-[n(a^{n-1}P+b^{n-1}Q-c^{n-1}R)]_{2]}/_1=x$ $/m-[n(a^{n-1}P+b^{n-1}Q-c^{n-1}R)]_{2]}/_1=x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/3/5730521d379a314c9a8451b6f863d16d82.png)
.
Это произойдет в том случае, если ко второй цифре

числа

прибавится число

– как-угодно разбросанное по вторым цифрам чисел

; позже, после возведения чисел в степень и раскрытия биномов, этот разброс и должен образовать цифру

_1.
Такая цифра

существует на том основании, что вторые цифры в числах

, как и в числах

, составляют полное множество цифр в базе

. И потому существует такая цифра

, что

.
Здесь важно учитывать то, что числа

являются константами во всех операциях пребразования цифр. И потому полное множество

всех цифр

в базе

остается ПОЛНЫМ и во множестве последних цифр в числах

(при взаимнопростых

и

), и в числах

, и в числах

.
Впрочем, все эти простейшие леммы, по-видимому, были известны математикам древнего мира, и не исключено, что в теории чисел они сформулированы более компактно.
Таким образом, последнее, что требуется для завершения доказательства ВТФ, это показать, что среди цифр-чисел

нет нуля. Это удобнее всего сделать в базе

.
Так, число

является либо степенью, либо делится на

. И при этом, как показывает компьтерный обсчет и анализ,

. И факт

становится очевидным. (Возможно и аналитическое доказательство этого факта.)
Числа

и

не могут быть одновременно равны нулю, ибо в противном случае числа

и

не являются взаимнопростыми.
И наконец, из равенства, например,

, следует, что

…
Однако, на сегодня хватит. За мной остается случай

или

равно нулю.