Первообразные

[ИС]

Искал такой интеграл $\int\frac{dx}{\sin^2(x) + 2 \cos^2(x)}$. Получил ответ
$\frac{1}{\sqrt{2}}\arcctg(\sqrt{2}ctg(x))$. Вот

А в ответе $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctg(tg(x)/\sqrt{2}) $=))

Как бы так показать что это одно и тоже, не ища этот интеграл заного )

[ИСН]

Взять производную от одного и от другого; если сойдётся - ...

[gris]

C арктангенсом точностью до плюс константы.
При дифференцировании константа обнуляется, так что у Вас правильно

С косинусом - перейти к половинному углу. Но проще - выразить через синус с $\pi/2-x$, а потом к половинному. А его уж нет...

[ИС]

gris
Точно! сбасибо большое!

[ИС]

Подскажите что-нибудь.

$\int\frac{x^2 +1}{x^4+1}dx$

чет я его и так и эдак и никак (

[gris]

Знаменатель можно разложить

[ИСН]

Все рациональные функции берутся одинаково (а каждая плохая не берётся по-своему). Разлагаете знаменатель на множители (числитель не надо) и вперёд.

[ИС]

пасиб, разобрался!

вот еще один... никак его.. (

$$\int\frac{1}{1-x^2}\ln\frac{1+x}{1-x}dx$$

[ewert]

Тупо проинтегрируйте (в качестве вспомогательного шага) первый сомножитель и внесите результат под знак дифференциала.

[ИСН]

Слушайте, в этом нет никакой поэзии. Возьмите железкой и посмотрите, как она это делает.
Или так: дробь разбиваем на простейшие, логарифм тоже на что-то там, авось прояснится.

-- Пт, 2009-10-30, 23:45 --

А, ну так-то конечно, ewert прав.

[ИС]

Блин как все прсото-то!)) а вглядит страшно )

[ewert]

ИС в сообщении #256821 писал(а):

)) а вглядит страшно )

Ну, это только вглядит, а выглядит -- вполне приемлемо.

[ИС]

надеюсь когда-нибудь я всетаки разберусь как их искать...

$$\int\frac{2^x\cdot 3^x}{9^x - 4^x}dx$$

[ewert]

Разделите числитель и знаменатель на $4^x$ и внесите высветившуюся степень под знак дифференциала.

[ИС]

$$\int\frac{xdx}{\sqrt{1+ x^2 + \sqrt{(1+x^2)^3}}}$$