Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений

[age]

grisania
Разумеется! Что если от уравнения $k^3+y^3=(k+1)^3$ можно прийти к уравнению $x^2+432=y^3$, то можно и наоборот. А вы как хотели?

[grisania]

age в сообщении #248886 писал(а):

grisania
Разумеется! Что если от уравнения $k^3+y^3=(k+1)^3$ можно прийти к уравнению $x^2+432=y^3$, то можно и наоборот. А вы как хотели?

Я хотел узнать насколько элементарно найти решения уравнения $x^2+432=y^3$, зная что оно уравнение Морделла про которое много что известно. maxal предложил свериться по табличке:
http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/
Или же просить SAGE. Но если идти по указанной ссылке, то там я не вижу самого решения уравнения Морделла $x^2+432=y^3$.

[dmd]

grisania в сообщении #248899 писал(а):

Но если идти по указанной ссылке, то там я не вижу самого решения уравнения Морделла $x^2+432=y^3$.

E_-00432: r = 0   t = 3   #III =  1
          E(Q) = <(12, 36)>
          R =   1.0000000000
           2 integral points
              1. (12, 36) = (12, 36)
              2. (12, -36) = -(12, 36)

[grisania]

dmd в сообщении #248929 писал(а):

grisania в сообщении #248899 писал(а):

Но если идти по указанной ссылке, то там я не вижу самого решения уравнения Морделла $x^2+432=y^3$.

E_-00432: r = 0   t = 3   #III =  1
          E(Q) = <(12, 36)>
          R =   1.0000000000
           2 integral points
              1. (12, 36) = (12, 36)
              2. (12, -36) = -(12, 36)

Супер элементарное решение может для вас, но оно мне не доступно, ибо всё знать наверно невозможно. Повторяю вопрос. Я хочу знать насколько элементарно найти решения

E_-00432: r = 0   t = 3   #III =  1
          E(Q) = <(12, 36)>
          R =   1.0000000000
           2 integral points
              1. (12, 36) = (12, 36)
              2. (12, -36) = -(12, 36)

[/quote]
уравнения $x^2+432=y^3$, зная что оно уравнение Морделла.

[dmd]

Насколько понимаю, в данный момент не имеется общих методов целочисленного решения эллиптических уравнений. Об уравнениях Мордела в частности и о том как просчитаны указанные таблицы - может скажут знающие профи?

[maxal]

dmd в сообщении #248995 писал(а):

Насколько понимаю, в данный момент не имеется общих методов целочисленного решения эллиптических уравнений.

Элементарных методов действительно нет. В общем случае эта задача сводится к конечному перебору (метод Бейкера и т.д.), для некоторых уравнений он обозримый, для некоторых - нет.

[KORIOLA]

Уважаемые господа математики!
Имеется предполагаемое неравенство:
$X^{3}-(X-1)^{3}\ne{Y}^{3},$
где $X,Y$ - целые числа.
Требуется доказать, что это неравенство выполняется для любых значений числа $X$ или доказать, что для каких-то
значений числа $X$ неравенство превращается в равенство.
С уважением.
KORIOLA

Предупреждение за дублирование тем! Темы объединены.

[mitia87]

Вы, наверное, забыли написать, что $x \ne 1$, а то $1 ^ 3 - (1 - 1) ^ 3 = 1 ^ 3$ и что $x \ne 0$, а то $0 ^ 3 - (0 - 1) ^ 3 = 1 ^ 3$.
P.S.
Заметим, что $x ^ 3 - (x - 1) ^ 3 = 3x^2 - 3x + 1 \geq 1\ \forall x \in \mathbb{Z} \Longrightarrow y \geq 1 \Longrightarrow y \in \mathbb{N}$.
Рассмотрим 1 случай: $x \geq 2 \Longrightarrow x - 1 \geq 1 \Longrightarrow x, x-1, y \in \mathbb{N}$. По ВТФ решений нет.
Рассмотрим 2 случай: $x \leq -1 \Longrightarrow x - 1 \leq -2$. Делаем замену $z = - x$ Тогда имеем $x ^ 3 - (x - 1) ^ 3 = (1 + z) ^ 3 - z ^ 3, z \geq 1 \Longrightarrow 1 + z, z, y \in \mathbb{N}$. По ВТФ решений нет.
Рассмотрим 3 случай: $x = 1 \Longrightarrow 1 ^ 3 - (1 - 1) ^ 3 = 1 ^ 3, x = 0 \Longrightarrow 0 ^ 3 - (0 - 1) ^ 3 = 1 ^ 3$.

[KORIOLA]

Уважаемый mitia87!
Спасибо за подсказку. Конечно, при $X=1$ получается тривиальное решение, но я все-таки допустил неточность в формулировке:
надо было указать, что $X\ne{1}.$ Спасибо также за приведенное обоснование.
KORIOLA

[RIP]

topic24793.html

[KORIOLA]

Для РІПИ
Ївану із хутора Нойманівка.
Все зрозумів. Дякую за роз'яснення.
КОРІОЛЕНКО

Предупреждение за использование языка отличного от русского и английского. По совокупности нарушение - бан на две недели.

[grisania]

KORIOLA в сообщении #264336 писал(а):

Для РІПИ
Ївану із хутора Нойманівка.
Все зрозумів. Дякую за роз'яснення.
КОРІОЛЕНКО

А вы KORIOLA как я понял украинец. Можно узнать - вы свидомый украинец?

[KORIOLA]

Для grisania.
Узнать можно. Разрешаю. Узнавайте.
А по существу доказательства уравнения (неравенства)
сказать что-нибудь можете?
KORIOLA






___________________________________________________________________
Цитаты подобны изюминке в хлебе, но никто не выпекает хлеб из одного изюма

[KORIOLA]

grisania.
Сегодня, просматривая страницы этой темы, я обратил внимание на уравнение:
$1+3x^2=4y^3$.
Такое точно уравнение имеется и в моем доказательстве ВТФ для n=3, ранее опубликованном на этом форуме. Правда, оно записано в другом виде [формула (10)]. Недавно я нашел в Интернете подсказку, как решить это уравнение. Оказалось, что решение очень простое, из него однозначно следует, что указанное уравнение не имеет решения в целых числах. Постараюсь свое доработанное доказательство ВТФ для n=3 опубликовать на форуме. Как раз из-за недоказанности нерешаемости этого уравнения в целых числах обсуждение на форуме моего доказательства было прекращено, а тема закрыта.
KORIOLA

[vlata]

при заданном начальным условием нечётном ${Y^3=3k^2+3K+1}$ и чётном приращении $6(k+1)$ для $Y^3$ получаем всегда нечётный $Y^3$. Это означает, что при разности оснований у двух ваших кубов равной 1, - из возможных решений для $Y^3$ исключены чётные кубы. Как следствие, - приращение для $Y^3$ приобретает вид $6(2k+3)$. Но это не беда, всё равно охватываются все возможные значения $Y^3$, но теперь каждое следующее значение для $Y^3$ будет равно ${Y^3=3k^2+3K+1}$ + $6(2k+3)$, или ${Y^3=3k^2+15K+19}$ - а это тоже нечётное число... но которое невозможно представить в виде куба с целым основанием. Всё.