Роль комплексных функций и переменных в физике.

[peregoudov]

Принципиально и в математике можно обойтись без комплексных чисел, заменив их "упорядоченными парами" вещественных.

Истинная сила комплексных чисел в алгебре (существование корней у любого алгебраического уравнения) и в анализе (аналитические функции с массой полезных свойств) --- тут комплексные числа дают вещественным огромную фору.

[Munin]

peregoudov в сообщении #244786 писал(а):

Принципиально и в математике можно обойтись без комплексных чисел, заменив их "упорядоченными парами" вещественных.

Только в математике эти развлечения заканчиваются выводом, что построенная конструкция изоморфна комплексным числам, а значит, ими и называется.

[peregoudov]

Так ведь и желанию автора темы построить "физику без комплексных чисел" тоже нельзя дать рационального объяснения.

[Munin]

Не, правильно человек мыслит, проверяет предоставляемые ему конструкции на прочность.

[Lyoha]

t3rmin41 в сообщении #244755 писал(а):

То есть, из всего вышесказанного, я делаю вывод, что принципиально в физике без комплексных переменных можно обойтись (например, заменив их векторами). Другое дело, что комплексные величины упрощают расчёты. Так выходит?

Предлагаю начать с простейшего. Возьмем осцилятор $m\ddot x+kx=0$. Сумеете найти уравнение движения без комплексных чисел - можно продолжить. Нет - говорить не о чем.

[Comanchero]

Так не прокатит, положим $x=sin(A \cdot z)$, затем решим уравнение относительно $A$... И всё... Чем это хуже подстановки $x=e^{iAz}$ ?

[ewert]

Lyoha в сообщении #245231 писал(а):

Предлагаю начать с простейшего. Возьмем осцилятор $m\ddot x+kx=0$. Сумеете найти уравнение движения без комплексных чисел - можно продолжить.

Я сумею, притом тривиально. И даже в любой размерности. Это к тому, что контрпример -- явно неудачен.

[Lyoha]

Comanchero в сообщении #245285 писал(а):

Так не прокатит, положим $x=sin(A \cdot z)$, затем решим уравнение относительно $A$... И всё... Чем это хуже подстановки $x=e^{iAz}$ ?

Оба варианта - подстановка известного ответа, а не решение. Для такой физики - да, ни комплексные числа, ни интегралы с производными не нужны. Только задачник с ответами.

ewert в сообщении #245289 писал(а):

Я сумею, притом тривиально. И даже в любой размерности. Это к тому, что контрпример -- явно неудачен.

Ну давай, посмотрим.

[t3rmin41]

Lyoha в сообщении #245231 писал(а):

t3rmin41 в сообщении #244755 писал(а):

То есть, из всего вышесказанного, я делаю вывод, что принципиально в физике без комплексных переменных можно обойтись (например, заменив их векторами). Другое дело, что комплексные величины упрощают расчёты. Так выходит?

Предлагаю начать с простейшего. Возьмем осцилятор $m\ddot x+kx=0$. Сумеете найти уравнение движения без комплексных чисел - можно продолжить. Нет - говорить не о чем.

Между прочим, в физике это уравнение запишется как
$x(t)=Ae^{j (\omega t+\phi)}$ но имется в виду будет только реальная часть решения, т.е. $x(t)=A \cos {(\omega t+\phi)}$ так как мнимую часть измерить невозможно. Отобразить - да, можно, с помощью плоскости $Re-Im$, но не измерить.

До меня начинает доходить смысл комплексных величин в физике. Приведу пример, может я буду неправ, тогда поправьте меня:
допустим, имеем силу тока, которая изменяется как
$i(t)=I_0 \cos{(\omega t+\phi)}$. На экране осциллографа мы увидим косинусоиду. Но если представить это в записи
$i(t)=I_{0}e^{j (\omega t+\phi)}$ то мы можем думать, что в те интервалы, когда реальная часть (косинусоида) уменьшается, то мнимая (синусоида) увеличивается, и наоборот. Когда например, у косинусоиды пик $\omega t+\phi=0;\pi$, то синусоида равна нулю $\sin{(0)}=\sin{(\pi)}=0$, и наоборот. На самом-то деле только косинусоида уменьшается-увеличивается, но у нас как бы получается синхронное увеличение-уменьшение реальной и мнимой частей.
Зато если мы захотим измерить квадрат амплитуды (что есть величина реальная), то мы это сделать сможем.

[Comanchero]

t3rmin41 в сообщении #245295 писал(а):

Зато если мы захотим измерить квадрат амплитуды (что есть величина реальная), то мы это сделать сможем.

А амплитуда в физике величина нереальная?

[t3rmin41]

Амплитуда-то реальная, но она не состоит из реальной и мнимой частей. То есть, и квадрат амлитуды не состоит из реальной и мнимой частей, есть ведь только реальные величины, но мы можем вместо того, чтобы ставить в аргумент косинуса $2\omega$, просто отнять от квадрата реальной части квадрат мнимой - получится то же самое. Человек-то может и то и другое сделать, но вот в электрических цепях удвоение циклической частоты (и просто частоты) не всегда желательно - там контур может быть не рассчитан на этот диапазон, греться схема начинает и т.д., а вот умножить сигнал на самого себя, повернуть фазу на $\frac{\pi}{2}$ - гораздо проще.

[Lyoha]

t3rmin41 в сообщении #245295 писал(а):

Между прочим, в физике это уравнение запишется как
$x(t)=Ae^{j (\omega t+\phi)}$ но имется в виду будет только реальная часть решения, т.е. $x(t)=A \cos {(\omega t+\phi)}$ так как мнимую часть измерить невозможно. Отобразить - да, можно, с помощью плоскости $Re-Im$, но не измерить.

Нет, ответ будет именно $\cos(\omega t + \phi)$.

Цитата:

До меня начинает доходить смысл комплексных величин в физике. Приведу пример, может я буду неправ, тогда поправьте меня:
допустим, имеем силу тока, которая изменяется как
$i(t)=I_0 \cos{(\omega t+\phi)}$. На экране осциллографа мы увидим косинусоиду. Но если представить это в записи
$i(t)=I_{0}e^{j (\omega t+\phi)}$ то мы можем думать, что в те интервалы, когда реальная часть (косинусоида) уменьшается, то мнимая (синусоида) увеличивается, и наоборот. Когда например, у косинусоиды пик $\omega t+\phi=0;\pi$, то синусоида равна нулю $\sin{(0)}=\sin{(\pi)}=0$, и наоборот. На самом-то деле только косинусоида уменьшается-увеличивается, но у нас как бы получается синхронное увеличение-уменьшение реальной и мнимой частей.
Зато если мы захотим измерить квадрат амплитуды (что есть величина реальная), то мы это сделать сможем.

Мы имеем только действительную часть, синусы-косинусы. Бывает удобно перейти от них к комплексным экспонентам. Производные дадут поворот на 90 градусов, импеданс тоже хорошо впишется с комплексную модель. Но это - чисто математический приём перехода к другим функциям. Для получения ответа надо будет подставить начальные условия, перейдя обратно к действительным функциям. И амплитуда существует в данном случае только для действительной части, поэтому мощность получится именно по известному интегралу. Здесь как раз надо чётко разделять физику и математические методы.

[ewert]

t3rmin41 в сообщении #245312 писал(а):

То есть, и квадрат амлитуды не состоит из реальной и мнимой частей, есть ведь только реальные величины,

Между прочим, и "реальная" часть комплексного числа, и "ирреальная" -- суть обе величины "реальные" (сиречь вещественные). И амплитуда складывается (по соотв. правилу) именно из них. И ежели ни той, ни другой нет? -- то может, и амплитуды нет?... и может, и вообще никакой природы нет?...

[t3rmin41]

ewert, предлагаю вам тогда измерить на участке цепи переменного тока мнимую часть напряжения. Можно прямо в розетке у себя дома :]

-- Пн сен 21, 2009 22:49:21 --

Цитата:

Но это - чисто математический приём перехода к другим функциям.

Не спорю. И он очень полезен в электрических цепях, я уже написал почему.

Цитата:

Нет, ответ будет именно $\cos(\omega t + \phi)$.

Тогда уж $x(t)=2C_1\cos(\omega t+\phi)$

[Munin]

t3rmin41 в сообщении #245323 писал(а):

ewert, предлагаю вам тогда измерить на участке цепи переменного тока мнимую часть напряжения. Можно прямо в розетке у себя дома :]

Берётся фазометр...