Парадокс конвертов

[gris]

...

[Vallav]

eLectric в сообщении #243024 писал(а):

А расскажите подробнее, почему р(А)*А + р(б)*Б является ошибочной?

Ошибочно не (p(x)*2*x+p(x/2)*x/2)/2
а предположение, что для любого x p(x) больше, чем
0.5*p(x/2).

[Jnrty]

Vallav и eLectric! По предупреждению за неправильное оформление формул. Вы уже написали много сообщений, но продолжаете нарушать пункт 1)к) правил форума.
Использование тега [math] объясняется в темах http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html.

[eLectric]

Vallav, Jnrty видимо прав и я плохо понял вашу формулу.
Какое предположение вы считаете ошибочным. Откуда оно взялось?

[Vallav]

eLectric в сообщении #243206 писал(а):

Vallav, Jnrty видимо прав и я плохо понял вашу формулу.
Какое предположение вы считаете ошибочным. Откуда оно взялось?

В статье неправильно считается математическое ожидание
суммы во втором конверте при условии, что в первом конверте обнаружена сумма $x$.
Расчет справедлив в предположении, что $p(x/2)=p(x)$, что не может выполняться для любых
$x$.

[eLectric]

Ну, мы про то и говорим, что вероятности сильно зависят от условий.
И если множество денег неограничено, то формула справедлива. Поскольку для любого x существует как вдвое меньшее, так и вдвое большее число.

[Vallav]

eLectric в сообщении #243316 писал(а):

Ну, мы про то и говорим, что вероятности сильно зависят от условий.
И если множество денег неограничено, то формула справедлива. Поскольку для любого x существует как вдвое меньшее, так и вдвое большее число.

Не, если $p(x/2)\neq p(x)$, то
формула для матожидания неверна.
В общем случае
Матожидание суммы во втором конверте равно
$\frac{p(x/2)*x/2+p(x)*2*x}{p(x/2)+p(x)}$
где
$p(x)$ - вероятность того, что при изготовлении конвертов меньшая сумма равна $x$

[eLectric]

Vallav,
Ну так вы согласны, что вероятности зависят от условий?
Они неравны, если общее количество денег ограничено. А какие именно вероятности, зависит от других условий распределения - дискретные или нет, а если дискретные, то какая плотность распределения. Потому, как не может быть одинаковая плотность по всему интервалу.

[Vallav]

eLectric в сообщении #243386 писал(а):

Vallav,
Ну так вы согласны, что вероятности зависят от условий?
Они неравны, если общее количество денег ограничено. А какие именно вероятности, зависит от других условий распределения - дискретные или нет, а если дискретные, то какая плотность распределения. Потому, как не может быть одинаковая плотность по всему интервалу.

Вероятности естественно зависят от условий.
Но если они заданы - про условия, от которых они
зависят - можно забыть.
Основная фишка данного парадокса - неправомерный
переход к бесконечности.
На любом конечном интервале сумм $x$
парадокса нет. Парадокс появляется, если интервал
устремляется к бесконечности а величина $p(x)$ при этом стремится к нулю.
Если забыть, что в пределе $p(x)$
равно нулю...

[eLectric]

ОК.
Тепреь можно и дальше. Многие люди видят в статье только парадокс и воюют только с парадоксом. Тогда как работа математиков, описаная в статье, о выйгрышной стратегии.
Конечно, в статье как-то невнятно выражены условия задачи, ну что уж сказать...
Имхо, задача выглядит так:
Мнжество денег ограничено, значения в конвертах дискретны.
Распределение не очень понятно. Естественнее всего предположить, что нижняя половина всего интервала (от 1 до max) заполнена плотно, т.е. там все натуральные числа подряд до половины max. А в верхней половине только четные числа.
Игрок не знает предела.
Требуется определить оптимальную стратегию.

[Vallav]

eLectric в сообщении #243611 писал(а):

ОК.
Тепреь можно и дальше. Многие люди видят в статье только парадокс и воюют только с парадоксом. Тогда как работа математиков, описаная в статье, о выйгрышной стратегии.
Конечно, в статье как-то невнятно выражены условия задачи, ну что уж сказать...
Имхо, задача выглядит так:
Мнжество денег ограничено, значения в конвертах дискретны.
Распределение не очень понятно. Естественнее всего предположить, что нижняя половина всего интервала (от 1 до max) заполнена плотно, т.е. там все натуральные числа подряд до половины max. А в верхней половине только четные числа.
Игрок не знает предела.
Требуется определить оптимальную стратегию.

То есть, вероятность, что меньшая сумма в конвертах
равна $x$ не зависит от $x$
при $0 \geq x\leq x_0$ и равна нулю
при $x > x_0 $?
Так если $x_0$ известно, стратегия
очевидная и давно известная.

[maxal]

А есть еще в чем-то похожая игра, где двум игрокам, сидящим друг напротив друга, показывают карточки с написанными на них числами (вроде бы из ограниченного итервала - например, от 1 до 100), так что каждый игрок видит только число написанное с его стороны, и для выигрыша нужно в некоторый момент заявить, что твое число больше чем у противника и оказаться правым. Не напомните, как называется эта игра и в чем там соль стратегии?

[Nxx]

Цитата:

Не, распределение такое, как я указывал.
Изначально ( до открытия конвертов ) неизвестно, какие
в них суммы денег. Известно только, что в одном в два раза меньше, чем в другом.

Хитрость тут в том, что такое распределение невозможно. Пара двух сумм не может быть выбрана абсолютно равномерно случайно из натурального ряда чисел. Это значит, что условие задачи некорректно: невозможно, чтобы вероятность пар х,2х и 2х,4х всегда была равна. В реальности, так как количество денег у предлагающего игру ограниченно (хотя мы и не знаем, какой суммой), разумно предположить, что вероятность меньшей пары чисел больше. А значит, во втором конверте, скорее всего, сумма меньшая, чем в первом конверте.

[eLectric]

Vallav,

Цитата:

То есть, вероятность, что меньшая сумма в конвертах
равна $x$ не зависит от $x$

Чего-то мне этого не понять.
.......
Положим, что в конверты кладутся числа (денежки) из интервала от 1 до 100.
Все числа целые. В нижней половине интервала (от 1 до 50) может быть любое целое.
Тогда в верхней половине интервала (от 51 до 100) только четные.

Если игрок знает предел, то тогда стратегия такая:
Если в первом конв больше, чем от половины интервала, то не менять однозначно.
Если в перв конв. меньше полвины интервала и нечетное, то менять однозначно.
Если в перв конв. меньше половины интервала и четное, то не так однозначно. Но если менять, то в среднем получим на четверть больше, чем в первом конверте.

Если игрок не знает предел, то сложнее. Однозначно только, что конверт с нечетной суммой надо менять.

maxal,
Такую игру не помню. Можно почетче, кто выигрывает?

[venco]

eLectric в сообщении #243689 писал(а):

Положим, что в конверты кладутся числа (денежки) из интервала от 1 до 100.
Все числа целые. В нижней половине интервала (от 1 до 50) может быть любое целое.
Тогда в верхней половине интервала (от 51 до 100) только четные.

Такая стратегия легко обходится случайным выбором большего числа и округлением меньшего.