2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение13.09.2009, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13870
...

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение13.09.2009, 17:24 
Заблокирован


07/08/09

988
eLectric в сообщении #243024 писал(а):
А расскажите подробнее, почему р(А)*А + р(б)*Б является ошибочной?


Ошибочно не (p(x)*2*x+p(x/2)*x/2)/2
а предположение, что для любого x p(x) больше, чем
0.5*p(x/2).

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение13.09.2009, 19:56 
Модератор


16/01/07
1566
Северодвинск
 !  Vallav и eLectric! По предупреждению за неправильное оформление формул. Вы уже написали много сообщений, но продолжаете нарушать пункт 1)к) правил форума.
Использование тега [math] объясняется в темах http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение13.09.2009, 23:09 


06/04/09
392
Vallav, Jnrty видимо прав и я плохо понял вашу формулу.
Какое предположение вы считаете ошибочным. Откуда оно взялось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение14.09.2009, 07:50 
Заблокирован


07/08/09

988
eLectric в сообщении #243206 писал(а):
Vallav, Jnrty видимо прав и я плохо понял вашу формулу.
Какое предположение вы считаете ошибочным. Откуда оно взялось?


В статье неправильно считается математическое ожидание
суммы во втором конверте при условии, что в первом конверте обнаружена сумма $x$.
Расчет справедлив в предположении, что $p(x/2)=p(x)$, что не может выполняться для любых
$x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение14.09.2009, 12:30 


06/04/09
392
Ну, мы про то и говорим, что вероятности сильно зависят от условий.
И если множество денег неограничено, то формула справедлива. Поскольку для любого x существует как вдвое меньшее, так и вдвое большее число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение14.09.2009, 13:15 
Заблокирован


07/08/09

988
eLectric в сообщении #243316 писал(а):
Ну, мы про то и говорим, что вероятности сильно зависят от условий.
И если множество денег неограничено, то формула справедлива. Поскольку для любого x существует как вдвое меньшее, так и вдвое большее число.


Не, если $p(x/2)\neq p(x)$, то
формула для матожидания неверна.
В общем случае
Матожидание суммы во втором конверте равно
$\frac{p(x/2)*x/2+p(x)*2*x}{p(x/2)+p(x)}$
где
$p(x)$ - вероятность того, что при изготовлении конвертов меньшая сумма равна $x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение14.09.2009, 18:16 


06/04/09
392
Vallav,
Ну так вы согласны, что вероятности зависят от условий?
Они неравны, если общее количество денег ограничено. А какие именно вероятности, зависит от других условий распределения - дискретные или нет, а если дискретные, то какая плотность распределения. Потому, как не может быть одинаковая плотность по всему интервалу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение15.09.2009, 08:19 
Заблокирован


07/08/09

988
eLectric в сообщении #243386 писал(а):
Vallav,
Ну так вы согласны, что вероятности зависят от условий?
Они неравны, если общее количество денег ограничено. А какие именно вероятности, зависит от других условий распределения - дискретные или нет, а если дискретные, то какая плотность распределения. Потому, как не может быть одинаковая плотность по всему интервалу.


Вероятности естественно зависят от условий.
Но если они заданы - про условия, от которых они
зависят - можно забыть.
Основная фишка данного парадокса - неправомерный
переход к бесконечности.
На любом конечном интервале сумм $x$
парадокса нет. Парадокс появляется, если интервал
устремляется к бесконечности а величина $p(x)$ при этом стремится к нулю.
Если забыть, что в пределе $p(x)$
равно нулю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение15.09.2009, 15:01 


06/04/09
392
ОК.
Тепреь можно и дальше. Многие люди видят в статье только парадокс и воюют только с парадоксом. Тогда как работа математиков, описаная в статье, о выйгрышной стратегии.
Конечно, в статье как-то невнятно выражены условия задачи, ну что уж сказать...
Имхо, задача выглядит так:
Мнжество денег ограничено, значения в конвертах дискретны.
Распределение не очень понятно. Естественнее всего предположить, что нижняя половина всего интервала (от 1 до max) заполнена плотно, т.е. там все натуральные числа подряд до половины max. А в верхней половине только четные числа.
Игрок не знает предела.
Требуется определить оптимальную стратегию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение15.09.2009, 16:12 
Заблокирован


07/08/09

988
eLectric в сообщении #243611 писал(а):
ОК.
Тепреь можно и дальше. Многие люди видят в статье только парадокс и воюют только с парадоксом. Тогда как работа математиков, описаная в статье, о выйгрышной стратегии.
Конечно, в статье как-то невнятно выражены условия задачи, ну что уж сказать...
Имхо, задача выглядит так:
Мнжество денег ограничено, значения в конвертах дискретны.
Распределение не очень понятно. Естественнее всего предположить, что нижняя половина всего интервала (от 1 до max) заполнена плотно, т.е. там все натуральные числа подряд до половины max. А в верхней половине только четные числа.
Игрок не знает предела.
Требуется определить оптимальную стратегию.


То есть, вероятность, что меньшая сумма в конвертах
равна $x$ не зависит от $x$
при $0 \geq x\leq x_0$ и равна нулю
при $x > x_0 $?
Так если $x_0$ известно, стратегия
очевидная и давно известная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение15.09.2009, 18:33 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5467
А есть еще в чем-то похожая игра, где двум игрокам, сидящим друг напротив друга, показывают карточки с написанными на них числами (вроде бы из ограниченного итервала - например, от 1 до 100), так что каждый игрок видит только число написанное с его стороны, и для выигрыша нужно в некоторый момент заявить, что твое число больше чем у противника и оказаться правым. Не напомните, как называется эта игра и в чем там соль стратегии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение15.09.2009, 21:04 


20/07/07
834
Цитата:
Не, распределение такое, как я указывал.
Изначально ( до открытия конвертов ) неизвестно, какие
в них суммы денег. Известно только, что в одном в два раза меньше, чем в другом.


Хитрость тут в том, что такое распределение невозможно. Пара двух сумм не может быть выбрана абсолютно равномерно случайно из натурального ряда чисел. Это значит, что условие задачи некорректно: невозможно, чтобы вероятность пар х,2х и 2х,4х всегда была равна. В реальности, так как количество денег у предлагающего игру ограниченно (хотя мы и не знаем, какой суммой), разумно предположить, что вероятность меньшей пары чисел больше. А значит, во втором конверте, скорее всего, сумма меньшая, чем в первом конверте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение15.09.2009, 23:06 


06/04/09
392
Vallav,
Цитата:
То есть, вероятность, что меньшая сумма в конвертах
равна $x$ не зависит от $x$
Чего-то мне этого не понять.
.......
Положим, что в конверты кладутся числа (денежки) из интервала от 1 до 100.
Все числа целые. В нижней половине интервала (от 1 до 50) может быть любое целое.
Тогда в верхней половине интервала (от 51 до 100) только четные.

Если игрок знает предел, то тогда стратегия такая:
Если в первом конв больше, чем от половины интервала, то не менять однозначно.
Если в перв конв. меньше полвины интервала и нечетное, то менять однозначно.
Если в перв конв. меньше половины интервала и четное, то не так однозначно. Но если менять, то в среднем получим на четверть больше, чем в первом конверте.

Если игрок не знает предел, то сложнее. Однозначно только, что конверт с нечетной суммой надо менять.

maxal,
Такую игру не помню. Можно почетче, кто выигрывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение15.09.2009, 23:47 
Заслуженный участник


04/05/09
4526
eLectric в сообщении #243689 писал(а):
Положим, что в конверты кладутся числа (денежки) из интервала от 1 до 100.
Все числа целые. В нижней половине интервала (от 1 до 50) может быть любое целое.
Тогда в верхней половине интервала (от 51 до 100) только четные.

Такая стратегия легко обходится случайным выбором большего числа и округлением меньшего.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group