2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение16.09.2009, 00:02 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5467
eLectric в сообщении #243689 писал(а):
акую игру не помню. Можно почетче, кто выигрывает?

Выигрывает тот, кто первым скажет, что его число больше, и окажется при этом прав. А если скажет и окажется неправ - то проигрывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение16.09.2009, 18:10 


06/04/09
392
venco,
Ну, это не стратегия обходится. Это другой вариант распределения возможных величин.
Его "цена" - правило двойного отношения между конвертами. Если в первом конверте находится 2, то в другом, кроме 1, может быть и 3 и 4.

maxal,
Цитата:
Выигрывает тот, кто первым скажет, что его число больше, и окажется при этом прав

А не получится игра на скорость? Кто быстрее выкрикнет, что его число больше половины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение06.10.2009, 00:49 
Заслуженный участник


04/05/09
4526
Похоже, в игре с конвертами есть выигрышная стратегия.
Если менять конверт в зависимости от суммы $x$ в первом конверте с вероятностью $c(x)$, тогда средний выигрыш будет равен
$$\frac 1 2 \int\limits_{0}^{\infty} x \cdot p(x) \cdot (c(x)-c(2x)) dx$$где $p(x)$ - плотность вероятности меньшей суммы, закладываемой в конверты.
Получается, если обеспечивается строгое неравенство $c(x) > c(2x), x \in (0,\infty)$, то выигрыш строго положителен независимо от функции $p(x)$.
Т.е., надо просто взять монотонно-убывающую функцию $c(x)$, например $c(x) = e^{-x}$.
Скорее всего, $p(x)$ можно только оценить, тогда $c(x)$ лучше выбрать близкой к усреднённой оценке $1-\frac{P(x)+P(2x)}2$, где $P(x)$ - предполагаемая функция распределения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение06.10.2009, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
venco в сообщении #249379 писал(а):
Похоже, в игре с конвертами есть выигрышная стратегия.
Если менять конверт в зависимости от суммы $x$ в первом конверте с вероятностью $c(x)$, тогда средний выигрыш будет равен
$$\frac 1 2 \int\limits_{0}^{\infty} x \cdot p(x) \cdot (c(x)-c(2x)) dx$$где $p(x)$ - плотность вероятности меньшей суммы, закладываемой в конверты.

Мне кажется, средний выигрыш равен
$$\int\limits_{0}^{\infty} x \cdot p(x) c(x) \,dx - \int\limits_{0}^{\infty} \frac{x}{2} \cdot p\left(\frac{x}{2}\right) c(x) \,dx = \int\limits_{0}^{\infty} x \cdot p(x) \cdot (c(x)-2c(2x)) dx.$$
Соответственно, чистый выигрыш гарантирует функция $c(x)$ такая, что $c(x) \geq 2c(2x)$ для всех $x > 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение06.10.2009, 16:07 
Заслуженный участник


04/05/09
4526
Вы забыли перенормировать $p(\frac x 2)$ -> $\frac 1 2 p(\frac x 2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение06.10.2009, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
venco в сообщении #249513 писал(а):
Вы забыли перенормировать $p(\frac x 2)$ -> $\frac 1 2 p(\frac x 2)$.

Это зачем? Вот $1/2$ перед каждым из интегралов у меня, конечно, потеряна, но сути дела это не меняет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение06.10.2009, 16:47 
Заслуженный участник


04/05/09
4526
Если $p(x)$ - плотность вероятности что меньшая сумма равна $x$, то для большей суммы плотность будет равна $\frac 1 2 p(\frac x 2)$.
Вот этот множитель вы потеряли во втором интеграле.
Для проверки проинтегрируйте плотность - должна получиться единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение06.10.2009, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
Да, Вы правы. Прошу прощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс конвертов
Сообщение11.11.2009, 23:46 


19/11/08
347
Все не так.

Пусть в конверте находится сумма N или 2N

Каково "реальное" математическое ожидание выигрыша?
При обоих стратегиях (в силу симметрии), вероятность будет одинакова!

(N+2N)/2 = 1,5N

Действительно, какая разница что игрок сначала возмет конверт N а потом его заменит на 2N или наоборот возьмет 2N и поменяет его на N.

Средний выигрыш всегда будет равен 1,5N.

Это если смотреть с точки зрения ведущего.

Ну у игрока своё мнение, он считает что его мат ожидание:
(X/2+2X)/2 = 1,25X
(где X - вскрытая сумма)
Т.е. игроку кажется, что мат ожидание игры больше суммы, которую он открыл и что стоит попытаться угадать ещё раз.

Но ведь эти суммы (мат. ожиданий) должны совпадать!

Приравняем их:

1,5N=1,25X

X=1,2N

Т.е. игрок "думает" (когда вскрывает конверт), что он получил сумму 1,2N , а не 1,5N.

Но у кого больше информации? У игрока или ведущего?
Ошибается ,естественно, игрок, а не ведущий!

Итак, оценка игрока просто напросто неверна.

Как игроку надо рассуждать правильно?

А вот как:
Предположим я вскрываю миллион конвертов и в среднем получаю сумму 10$
Тогда среднее значение, N=6+2/3 - маленький конверт, 2*N=13+1/3 - большой конверт.
А математическое ожидание ... = (N+2*N)/2 = 10 ! (это восклицание, а не факториал)

Т.е. открывая 10 игрок уже получает сумму равную мат. ожиданию (1,5N), а вовсе не сумму посредине между двумя числами (X/2 и 2X).
Т.е. он должен предполагать, что альтернативные (статистически) варианты это 6,66 и 13,33 а не 5 и 20.

Поэтому, нет никакой разницы между двумя стратегиями (менять конверт или нет) - выигрыш будет все тот-же.
Следовательно выигрыш ,опять же, не возрастет от применения любой , зависящей от суммы, функции, или каких либо других манипуляций со стратегиями выбора.

Это напоминает мне "принцип неопределённости" из квантовой физики: если мы зафиксируем гринцы отрезка , то у нас будет статистически определяемая середина.
Но если мы зафиксируем середину (как в "парадоксе двух конвертов") ... то уж будьте добры границы отрезков определять через их мат. ожидание.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group