2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 11  След.
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 15:21 
Заблокирован


07/08/09

988
ewert в сообщении #242963 писал(а):
Vallav в сообщении #242958 писал(а):
2. У элемента 0 нет обратного элемента относительноумножения.

Это не аксиома, а следствие из аксиом.


Из каких?
Из:
у любого элемента, кроме нуля, есть обратный
элемент относительно умножения?

Или из каких то других?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 15:23 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Vallav в сообщении #242976 писал(а):
Из каких?


Из аксиомы $0 \neq 1$ и... Кстати, как выводится равенство $x \cdot 0 = 0$? Это же не аксиома. Откуда оно следует?

-- Вс сен 13, 2009 18:25:58 --

А, понял!!!

$x \cdot x = x \cdot (x + 0) = x \cdot x + x \cdot 0$, откуда $x \cdot 0 = 0$. Привлекаются аксиома дистрибутивности и список аксиом, утверждающий, что кольцо является абелевой группой по сложению с нейтральным элементом $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 15:32 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Профессор Снэйп в сообщении #242979 писал(а):
Vallav в сообщении #242976 писал(а):
Из каких?


Из аксиомы $0 \neq 1$ и... Кстати, как выводится равенство $x \cdot 0 = 0$? Это же не аксиома. Откуда оно следует?

-- Вс сен 13, 2009 18:25:58 --

А, понял!!!

$x \cdot x = x \cdot (x + 0) = x \cdot x + x \cdot 0$, откуда $x \cdot 0 = 0$. Привлекаются аксиома дистрибутивности и список аксиом, утверждающий, что кольцо является абелевой группой по сложению с нейтральным элементом $0$.

Можно и так доказать.
$\forall x \in \mathbb{F}$
$x \cdot 0 = x \cdot (a-a)=x \cdot a - x \cdot a=0.$
$Q.E.D.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 15:53 
Заблокирован


07/08/09

988
Профессор Снэйп в сообщении #242979 писал(а):
Vallav в сообщении #242976 писал(а):
Из каких?


Из аксиомы $0 \neq 1$ и...


И что?
Как из этого вывести, что ноль - единственный элемент,
у которого нет обратного элемента относительно умножения?

Может все же проще использовать приведенную мной аксиому?

Или Вы полагаете, что система аксиом алгебраического поля избыточна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 15:58 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Vallav в сообщении #243001 писал(а):
И что?
Как из этого вывести, что ноль - единственный элемент,
у которого нет обратного элемента относительно умножения?


А Вы подумайте, я всё достаточно подробно расписал :)

То, что ко всем элементам, кроме $0$, есть обратный по умножению --- это одна из аксиом поля. Нужно лишь доказать, что к нулю нет обратного. Так как $x \cdot 0 = 0$ для любого $x$, то $1 = 0^{-1} \cdot 0 = 0 \neq 1$ :)

-- Вс сен 13, 2009 19:00:52 --

Mathusic в сообщении #242985 писал(а):
Можно и так доказать.
$\forall x \in \mathbb{F}$
$x \cdot 0 = x \cdot (a-a)=x \cdot a - x \cdot a=0.$
$Q.E.D.$


Пардон, не понял. С чего Вы взяли, что $x \cdot (y - z) = x \cdot y - x \cdot z$? Это ведь не аксиома!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 17:30 
Заблокирован


07/08/09

988
Профессор Снэйп в сообщении #243006 писал(а):
Vallav в сообщении #243001 писал(а):
И что?
Как из этого вывести, что ноль - единственный элемент,
у которого нет обратного элемента относительно умножения?


А Вы подумайте, я всё достаточно подробно расписал :)

То, что ко всем элементам, кроме $0$, есть обратный по умножению --- это одна из аксиом поля. Нужно лишь доказать, что к нулю нет обратного. Так как $x \cdot 0 = 0$ для любого $x$, то $1 = 0^{-1} \cdot 0 = 0 \neq 1$ :)

Согласен, что нет обратного, доказывается.
Но то, что он такой - единственный - все таки - аксиома.

Профессор Снэйп в сообщении #243006 писал(а):
Пардон, не понял. С чего Вы взяли, что $x \cdot (y - z) = x \cdot y - x \cdot z$? Это ведь не аксиома!


Перепешите
$x \cdot (y +(- z)) = x \cdot y + x \cdot (- z)$
Получится аксиома.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 17:46 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Vallav в сообщении #243063 писал(а):
Перепешите
$x \cdot (y +(- z)) = x \cdot y + x \cdot (- z)$
Получится аксиома.


Пардон. Равенство $x \cdot (-z) = -x \cdot z$ откуда брать будете?

-- Вс сен 13, 2009 21:48:09 --

Vallav в сообщении #243063 писал(а):
Но то, что он такой - единственный - все таки - аксиома.


Аксиома --- то, что его не более одного. То, что единственный, надо доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25993
Единственность нуля (и единицы) же легко доказуема. Предположим, что нуля два...

-- Вс сен 13, 2009 21:53:49 --

Профессор Снэйп в сообщении #243070 писал(а):
не более одного
М.б., не менее? :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 19:17 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Нет, именно не более. Не более одного означает $\leqslant 1$.

-- Вс сен 13, 2009 22:18:42 --

arseniiv в сообщении #243092 писал(а):
Единственность нуля (и единицы) же легко доказуема. Предположим, что нуля два...


А вот то, что ноль отличен от единицы, приходится задавать отдельной аксиомой :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 19:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Профессор Снэйп в сообщении #243108 писал(а):
Нет, именно не более.

Нет, именно не менее. То, что не более -- это уже не аксиома, а следствие коммутативности сложения (или хотя бы того, что ноль -- и правый, и левый).

Профессор Снэйп в сообщении #243108 писал(а):
А вот то, что ноль отличен от единицы, приходится задавать отдельной аксиомой

Нет, не приходится. Если бы единичка совпадала с нулём, то всё множество состояло бы только из нуля. Что, конечно, не запрещено, но.

 Профиль  
                  
 
 Кольца, тела, поля:
Сообщение13.09.2009, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16903
Москва
Someone писал(а):
Предположим, что на множестве $R$ заданы две бинарные операции, которые будем называть сложением (обозначаем $a+b$) и умножением (обозначаем $ab$). Об этих операциях предполагаем следующее:
1) $a+b=b+a$ (коммутативность сложения);
2) $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность сложения);
3) существует такой элемент $0\in R$, что $a+0=a$ для любого $a\in R$ ($0$ - нулевой элемент);
4) для каждого $a\in R$ существует такой $b\in R$, что $a+b=0$ (противоположный элемент);
5) $a(b+c)=ab+ac$ и $(a+b)c=ac+bc$ (дистрибутивность умножения относительно сложения; предполагается стандартное соглашение о порядке выполнения операций).

Множество $R$ с такими операциями называется кольцом.
Здесь последовательно доказываем ряд утверждений.

I. Нулевой элемент единственен.
Доказательство. Пусть $0'$ и $0''$ - два нулевых элемента. Тогда
$0'=0'+0''=0''+0'=0''$.\qed

II. Противоположный элемент единственен.
Доказательство. Пусть $b'$ и $b''$ - два противоположных элемента для $a$. Тогда
$b'=b'+0=b'+(a+b'')=(b'+a)+b''=(a+b')+b''=0+b''=b''+0=b''$.\qed

Поскольку элемент, противоположный заданному элементу $a\in R$, единственен, целесообразно ввести для него специальное обозначение: $-a$. Таким образом, $a+(-a)=0$. Поскольку в силу коммутативности $(-a)+a=a+(-a)=0$, то $-(-a)=a$.

III. Уравнение $a+x=b$ имеет решение, и это решение единственно.
Доказательство. Существование решения. Проверим, что $x=b+(-a)$ является решением. Подставляя его в уравнение, получим
$a+(b+(-a))=b$,
$a+((-a)+b)=b$,
$(a+(-a))+b=b$,
$0+b=b$,
$b+0=b$,
$b=b$ - верное равенство.
Единственность решения. Пусть $x_1$ и $x_2$ - два решения, то есть, $a+x_1=b$ и $a+x_2=b$. Тогда $a+x_1=a+x_2$. Прибавляя к обеим частям равенства $-a$ слева, получим
$(-a)+(a+x_1)=(-a)+(a+x_2)$,
$((-a)+a)+x_1=((-a)+a)+x_2$,
$(a+(-a))+x_1=(a+(-a))+x_2$,
$0+x_1=0+x_2$,
$x_1+0=x_2+0$,
$x_1=x_2$.\qed

Решение уравнения $a+x=b$ называется разностью элементов $b$ и $a$ и обозначается $b-a$. Как мы видели, $b-a=b+(-a)$. В частности, $a-a=a+(-a)=0$.

IV. Законы дистрибутивности выполняются и для разности: $a(b-c)=ab-ac$ и $(a-b)c=ac-bc$.
Доказательство. По определению разности, $c+(b-c)=b$. Умножая обе части равенства слева на $a$, получим
$a(c+(b-c))=ab$,
$ac+a(b-c)=ab$,
откуда, опять по определению разности, $a(b-c)=ab-ac$. Аналогично доказывается второе равенство.\qed

V. $0a=a0=0$ для любого элемента $a\in R$.
Доказательство. Пусть $b\in R$. Тогда
$0a=(b-b)a=ba-ba=0$.
Аналогично доказывается, что $a0=0$.\qed

По аналогии с вычитанием определяется и деление. Если рассматривать произвольные кольца, для которых выполняются только перечисленные выше пять аксиом, можно определить только деление слева и деление справа как решение уравнений $ax=b$ и $ya=b$ при условии, что соответствующее решение существует и единственно (мы же хотим, чтобы операция деления - пусть их даже две - давала определённый результат).

Однако, если кольцо $R$ имеет больше одного элемента, то мы столкнёмся с тем, что уравнения $0x=b$ и $y0=b$ при $b\neq 0$ вообще не могут иметь решений, а при $b=0$ имеют более одного решения. Поэтому деление на ноль оказывается невозможным, если мы хотим, чтобы оно было однозначным.


VI. Выполняются равенства $(-a)b=a(-b)=-(ab)$ и $(-a)(-b)=ab$.
Доказательство. $ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0$, поэтому $(-a)b=-(ab)$. Аналогично и $a(-b)=-(ab)$. Наконец, $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$.

Элемент $1_{\text{л}}$ (соответственно, $1_{\text{п}}$) кольца $R$ называется левой единицей (соответственно, правой единицей), если $1_{\text{л}}a=a$ (соответственно, $a1_{\text{п}}=a$) для любого элемента $a\in R$.

По аксиоме 3), кольцо обязано содержать элемент $0$. Других элементов оно может и не содержать.

VII. Если кольцо содержит больше одного элемента и имеет левую (правую) единицу, то эта единица не совпадает с нулём.
Доказательство. Пусть $a\neq 0$ (такой элемент существует по условию), $1_{\text{л}}$ - левая единица. Тогда $1_{\text{л}}a=a\neq 0=0a$, то есть, $1_{\text{л}}a\neq 0a$, откуда $1_{\text{л}}\neq 0$. Аналогично - для правой единицы.\qed

VIII. Если в кольце есть и левая, и правая единицы, то они совпадают.
Доказательство. Пусть $1_{\text{л}}$ - левая, а $1_{\text{п}}$ - правая единица. Тогда
$1_{\text{л}}=1_{\text{л}}1_{\text{п}}=1_{\text{п}}$.\qed

Заметим, что в этом доказательстве $1_{\text{л}}$ - любая левая, а $1_{\text{п}}$ - любая правая единица. Поэтому предыдущее утверждение означает, что любая левая единица совпадает с любой правой (если они существуют). Однако в кольце может быть несколько левых единиц и ни одной правой, или наоборот.

Элемент кольца называется единицей, если он является и левой, и правой единицей.

IX. В кольце с единицей единица единственна.
Доказательство. Это утверждение сразу следует из предыдущего замечания, но можно доказать и непосредственно. Пусть $1'$ и $1''$ - две единицы. Тогда
$1'=1'1''=1''$.\qed

Тело, в дополнение к перечисленным выше аксиомам кольца, имеет ещё следующие аксиомы:

6) $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность умножения);
7) существует такой элемент $1\in R$, $1\neq 0$, что $1a=a$ и $a1=a$ для любого $a\in R$ ( $1$ - единичный элемент);
8) для каждого $a\in R$, $a\neq 0$, существует такой $b\in R$, что $ab=1$ (обратный элемент).

Пусть $R$ - тело.

X. Если элемент $b$ является обратным элементу $a$, то элемент $a$ является обратным элементу $b$.
Доказательство. Нам нужно доказать, что $ba=1$.
Так как $ab=1\neq 0$, то $b\neq 0$, поэтому по аксиоме 8) элемент $b$ имеет обратный элемент $c$. Тогда
$ba=(ba)1=(ba)(bc)=((b}a)b)c=(b(ab))c=(b1)c=bc=1$.\qed

XI. Обратный элемент является единственным.
Доказательство. Пусть некоторый элемент $a$ имеет два обратных - $b'$ и $b''$. Тогда
$b'=b'1=b'(ab'')=(b'a)b''=1b''=b''$.\qed

Поскольку для заданного элемента $a\neq 0$ обратный элемент является единственным, имеет смысл ввести для него специальное обозначение: $a^{-1}$. Таким образом, $aa^{-1}=1$; как только что доказано, $a^{-1}a=1$ и $(a^{-1})^{-1}=a$.

XII. Если $a\neq 0$, то уравнения $ax=b$ и $ya=b$ имеют решения, причём, эти решения единственны.
Доказательство. Рассмотрим уравнение $ax=b$.
Существование решения. Проверим, что $x=a^{-1}b$ является решением. Подставляя его в уравнение, получим
$a(a^{-1}b)=b$,
$(aa^{-1})b=b$,
$1b=b$,
$b=b$ - верное равенство.
Единственность решения. Пусть $x_1$ и $x_2$ - два решения, то есть, $ax_1=b$ и $ax_2=b$, то $ax_1=ax_2$. Умножая обе части этого равенства слева на $a^{-1}$, получим
$a^{-1}(ax_1)=a^{-1}(ax_2)$,
$(a^{-1}a)x_1=(a^{-1}a)x_2$,
$1x_1=1x_2$,
$x_1=x_2$.
Аналогично существование и единственность решения доказываются для уравнения $ya=b$. Для него получается $y=ba^{-1}$.\qed

Как видим из доказательства, решения уравнений $ax=b$ и $ya=b$ при $a\neq 0$ даются формулами $x=a^{-1}b$ и $y=ba^{-1}$. Это даёт для тела две операции деления на элементы, не равные $0$: деление слева $x=a^{-1}b$ и деление справа $y=ba^{-1}$.

Наконец, поле имеет ещё одну аксиому:
9) $ab=ba$ (коммутативность умножения).

Из этой аксиомы следует, что приведённые выше решения уравнений $ax=b$ и $ya=b$ совпадают: $x=a^{-1}b=ba^{-1}=y$. Это позволяет ввести для поля операцию деления на элементы, не равные $0$.

Кольцо может состоять из одного нулевого элемента, тогда он же будет и единичным. В теле и поле по аксиоме 7) $1\neq 0$. Это требование формулируется для того, чтобы не считать полем кольцо, состоящее из одного элемента. Можно было бы потребовать, чтобы тело (поле) содержало больше одного элемента, тогда неравенство $1\neq 0$ было бы доказуемым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение13.09.2009, 23:42 


07/09/07
463
Существование нейтрально элемента можно не постулировать а доказать. Для этого возьмем следующие базовые аксиомы. Мы ими пользуемся часто но не всегда говорим про них явно.

А1. Есть набор различающихся элементов $A,B,C,...$.
А2. Эти элементы могут взаимодействовать по операции умножения $*$. Каждой паре взаимодействующих обязательно соответствует некий один элемент из этого набора.
А3. Взаимодействие $*$ коммутативно. $A*B=B*A$
А4. Если умножить левую и правую часть равенства на один и тотже элемент, то равенство сохранится. Тоесть из $X=Y$ следует $X*Z=Y*Z$. (обратное не постулируем). (Эта аксиома обычно явно не проговаривается но используется)
А5. Можно подставлять вместо комплекса взаимодействующих элементов равный ему. Например, если $X=A*B$, то $X*Y=A*B*Y$. Если $X=Y*Z$ и $Z=A*B$, то $X=Y*A*B$. (Это тоже обычно не постулируется но используется)

Теперь, имея только эти аксиомы попробуем построить конкретные системы.
1. Если только один элемент в наборе $A$ то получим единственны вариант $A*A=A$. $A$ - нейтральный элемент. Он может быть как нулем так и единицей.
2. Если только два элемента в наборе $A,B$ то что получим? Попробуем построить те системы, которые при использовании аксиом А1-А5 не дадут противоречия. Противоречие может быть в том, что в результате манипуляций мы получим $A=B$. Итак неизвестные у нас будут три взаимодействия $A*B=?, A*A=?, B*B=?$. Вместо каждого $?$ можно поставить один из двух вариантов: $A$ или $B$. Итого 8 табличек умножения. Если вы их выпишите все и поиграетесь по правилам А1-А5 (советую это проделать чтоб прочувтсвовать), то обнаружите что 4 из них приведут к противоречию $A=B$ и 4 не приведут. Из четырех не противоречивых будут две пары изоморфных друг другу. Итого имеем две непротиворечивые системы. Угадайте какие :-).
Первая: $A*A=A, A*B=B, B*B=A$ - по поведению $A$ видно, что это "сохраняющий" элемент. Это нейтральный элемент, единица, которую мы обычно постулируем. Сей час мы ее не постулировали а получили. В этой системе каждый элемент имеет обратный. И это не постулировано а просто видно из системы. Также эта система - правила умножения положительных и отрицательных чисел: $A$ это $+1$, $B$ это $-1$
Вторая: $A*A=A, A*B=A, B*B=A$ - по поведению $A$ видно, что это "поглощающий" элемент. Это ноль. По поведению его видно что он ноль.
3. Можно построить для любого количества элементов. Критерий будет один - манипуляция по правилам А1-А5.

Замечу, что если мы захотим А4 расширить и в обратную сторону то система Вторая будет противоречивая. Тогда аксиомы А1-А5 дадут нам все нам известные группы. (Ну эта модификация хорошо согласуется с теорией групп, так что все сходится :-))

Это пример для групп. По похожим аксиомам можно работать для получения алгебр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение14.09.2009, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16903
Москва
STilda, Ваши A4 и A5 - это аксиомы равенства, а не аксиомы алгебраической системы. Их обычно включают в число логических аксиом. Изучаются и используются на практике разнообразные некоммутативные алгебраические системы, поэтому ограничение коммутативными операциями не является удачным. Наконец, я не проверял, но подозреваю, что Вы в своих выводах используете ассоциативность операции, не формулируя её явно. Кроме того, по крайней мере в одном случае Вы ошибаетесь: если взять двухэлементную алгебраическую структуру с операцией $A*A=A*B=B*A=B*B=A$, то будет и коммутативность, и ассоциативность, и никаких противоречий не возникнет, но нейтрального элемента нет.

STilda в сообщении #243222 писал(а):
Вторая: $A*A=A, A*B=A, B*B=A$ - по поведению $A$ видно, что это "поглощающий" элемент. Это ноль. По поведению его видно что он ноль.


Называйте его как хотите, но нейтральным элементом он не является. Нейтральный элемент - это такой элемент, "взаимодействие" с которым не изменяет никакого элемента, с которым этот нейтральный элемент "взаимодействует". То есть, $A$ нейтральный, если $A*B=B*A=B$ для любого элемента $B$.

STilda в сообщении #243222 писал(а):
Тогда аксиомы А1-А5 дадут нам все нам известные группы.


Ну неправда. Некоммутативные группы Вы успешно запретили своей аксиомой A3:

STilda в сообщении #243222 писал(а):
А3. Взаимодействие $*$ коммутативно. $A*B=B*A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение14.09.2009, 04:50 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
ewert в сообщении #243115 писал(а):
Нет, именно не менее.


В каждом поле существует не более одного элемента, для которого нет обратного, я это имел в виду. Вы, вероятно, что-то другое.

ewert в сообщении #243115 писал(а):
Нет, не приходится. Если бы единичка совпадала с нулём, то всё множество состояло бы только из нуля. Что, конечно, не запрещено, но.


Если бы единица совпадала с нулём, то к нулю существовал бы обратный (сам ноль). А речь ведь идёт о том, что ноль --- единственный элемент, к которому в поле нет обратного, я правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноль
Сообщение14.09.2009, 07:46 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Профессор Снэйп в сообщении #243251 писал(а):
Вы, вероятно, что-то другое.

Я имел в виду вот что:

Профессор Снэйп в сообщении #243070 писал(а):
Аксиома --- то, что его не более одного. То, что единственный, надо доказывать.

arseniiv в сообщении #243092 писал(а):
М.б., не менее? :?

Дело в том, что те две Ваших фразы противоречили друг дружке. "Единственный" и "не более одного" -- это одно и то же. А "надо доказывать" и "аксиома" -- наоборот.

Профессор Снэйп в сообщении #243251 писал(а):
Если бы единица совпадала с нулём, то к нулю существовал бы обратный (сам ноль). А речь ведь идёт о том, что ноль --- единственный элемент, к которому в поле нет обратного,

И тем не менее -- никаких противоречий. В аксиоматике нет утверждения о том, что ноль не имеет обратного по умножению. Есть лишь снисходительное разрешение ему не иметь. Если есть ещё хоть один элемент, кроме ноля, то ноль этим разрешением пользуется. Ну а если он в одиночестве -- то и не пользуется.

(Да-а, тяжёлая это штука -- матлогика...)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 159 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group